1、
单元过关检测三 导数及其应用
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2022·江苏灌云一中月考]已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝f′(2)x2－3x，则f(1)的值为( )
A．－2 B．－3 C．2 D．3
2．[2022·广东光明月考]已知函数f(x)＝x2ex－2ex，若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与直线2x－ay＋3＝0垂直，则a＝( )
A．－2e B．－ C. D．2e
3．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，若函数f(x)在x
2、＝1处取得极大值，则函数y＝－xf′(x)的图象可能是( )
4．[2022·湖南师大附中月考]已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1处取得极值0，则m＋n＝( )
A．4 B．11
C．4或11 D．3或9
5．[2022·山东新泰一中月考]若函数f(x)＝－x2＋4x＋bln x在区间(0，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是( )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2] D．[－2，＋∞)
6．[2022·湖北武汉一中月考]已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足xf′(x
3、)b>c B．c>a>b
C．b>a>c D．a>c>b
7．若函数f(x)＝3x－x3在区间(a－5,2a＋1)上有最小值，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,4] B．(－1,4)
C. D.
8．[2022·湖南湘潭月考]已知函数f(x)＝ex－ax2＋2ax有两个极值点，则a的取值范围是( )
A．(e，＋∞) B.
C．(e2，＋∞) D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0
4、分，部分选对的得2分．
9．[2022·广东东莞模拟]下图是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列结论正确的是( )
A．f(0)>f(1)
B．x＝1是f(x)的极小值点
C．x＝－1是f(x)的极小值点
D．x＝－3是f(x)的极大值点
10．已知函数f(x)＝xln(x＋1)，则( )
A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增
B．f(x)有极小值
C．f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为＋ln 2
D．f(x)为奇函数
11．[2022·山东淄博实验中学月考]已知函数y＝f(x)在R上可导，其导函数f′(x)满足(f′(x)－f(x))(x＋1)>
5、0，g(x)＝，则( )
A．函数g(x)在(－∞，－1)上为增函数
B．x＝－1是函数g(x)的极小值点
C．函数g(x)必有2个零点
D．e2f(e)>eef(2)
12．[2022·福建宁德模拟]若以函数y＝f(x)的图象上任意一点P(x1，f(x1))为切点作切线l1，y＝f(x)图象上总存在异于P点的点Q(x2，f(x2))，使得以Q为切点的切线l2与l1平行，则称函数f(x)为“和谐函数”，下面函数中是“和谐函数”的有( )
A．y＝x3－3x
B．y＝3x＋
C．y＝sin x
D．y＝(x－2)2＋ln x
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20
6、分．把答案填在题中的横线上．
13．函数f(x)＝3x2－3ln x的单调递减区间是________．
14．函数f(x)＝的图象在点处的切线方程为________________．
15．已知函数f(x)＝x－xcos x，则f(x)在区间[0，π]上的最大值是________．
16．[2021·新高考Ⅱ卷]已知函数f(x)＝|ex－1|，x1<0，x2>0，函数f(x)的图象在点A(x1，f(x1))和点B(x2，f(x2))的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是________．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(1
7、0分)已知f(x)＝ex－ax.
(1)求f(x)与y轴的交点A的坐标；
(2)若f(x)的图象在点A处的切线斜率为－1，求f(x)的极值．
18．(12分)已知函数f(x)＝ax2ln x－bx2－c在x＝1处取得极值3－c，其中a，b，c为常数．
(1)试确定a，b的值；
(2)若对任意x>0，不等式f(x)≥2c2有解，求c的取值范围．
19.(12分)[2022·山东济南模拟]已知函数f(x)＝ln x－ax2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a>0时，求f(x)在区
8、间[1,2]上的最大值．
20．(12分)已知函数f(x)＝(x－2)ex＋ax2－bx，其图象在点(0，f(0))处的切线斜率为－3.
(1)求b的值；
(2)若f(x)>－e－1在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围．
21．(12分)[2022·河北沧州模拟]已知函数f(x)＝ln x＋ax(a∈R)．
(1)当a＝－1时，求f(x)的极值；
(2)若f(x)在(0，e2)上有两个不同的零点，求a的取值范围．
22．(12分)[2022·湖南临澧一中月考]已知函数f(x)＝x2－2ax＋ln x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设g(x)＝xf(x)－x3＋2x 有两个不同的零点x1，x2，且x2－3x1≥0，证明：x1＋x2>6e－2.
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