1、专题03 整式的运算与因式分解
知识回顾
1. 合并同类型：
法则：“一相加，两不变”，即系数相加，字母与字母的指数不变照写。
2. 整式的加减的实质：
合并同类项。
3. 整式的乘除运算：
①单项式×单项式：系数相乘，同底数幂相乘，其中一个因式单独存在的字母连同它的指数作为积的一个因式。
②单项式×多项式：单项式乘以多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。
③多项式×多项式：用其中一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，变成单项式乘以单项式。
④单项式÷单项式：系数相除，同底数幂相除，被除数中单独存在的字母连同它的指数作为商的一个因式。
⑤多项式÷单项式：多
2、项式的每一项除以单项式，变成单项式除以单项式。
4. 乘法公式：
①平方差公式：。
②完全平方公式：。
5. 因式分解的方法：
①提公因式法：；
②公式法：平方差公式：
完全平方公式：。
③十字相乘法：在中，若，则：
。
专题练习
1．（2022•湖北）先化简，再求值：4xy﹣2xy﹣（﹣3xy），其中x＝2，y＝﹣1．
2．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．
3．（2022•长春）先化简，再求值：（2
3、a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝﹣4．
4．（2022•北京）已知x2+2x﹣2＝0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值．
5．（2022•广西）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x，其中x＝1，y＝．
6．（2022•衡阳）先化简，再求值．
（a+b）（a﹣b）+b（2a+b），其中a＝1，b＝﹣2．
7．（2022•丽水）先化简，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2），其中x＝．
8．（2022•南充）先化简，再求值：（x+2）
4、3x﹣2）﹣2x（x+2），其中x＝﹣1．
9．（2022•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1﹣|﹣．
（2）先化简，再求值：（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1），其中x＝．
10．（2022•岳阳）已知a2﹣2a+1＝0，求代数式a（a﹣4）+（a+1）（a﹣1）+1的值．
11．（2022•苏州）已知3x2﹣2x﹣3＝0，求（x﹣1）2+x（x+）的值．
12．（2022•荆门）已知x+＝3，求下列各式的值：
（
5、1）（x﹣）2； （2）x4+．
13．（2022•无锡）计算：
（1）|﹣|×（﹣）2﹣cos60°； （2）a（a+2）﹣（a+b）（a﹣b）﹣b（b﹣3）．
14．（2022•安徽）观察以下等式：
第1个等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2个等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3个等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4个等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1
6、写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
15．（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）
＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）
＝（2﹣3b）（a﹣2）
解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）
＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）
＝（a﹣2）（2﹣3b）
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们
7、可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解；
【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；
【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．
根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．
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