解析：宁夏中卫市海原县第一中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版).doc

海原一中2019--2020学年第一学期第三次月考
高一数学试卷
一、选择题：（本大题共12个小题，各5分，共60分）
1.已知全集，集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求,再求得解.
【详解】由题得，
所以.
故答案为A
【点睛】本题主要考查交集、补集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
2.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设直线的倾斜角是,则有,再由,即可求得答案.
【详解】直线的斜率为
设直线的倾斜角是

又 ,故
故选:B.
【点睛】本题考查了求直线的倾斜角,掌握直线的基础知识是解题本题的关键,属于基础题.
3.计算:( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据对数换底公式,化简原式即可求得答案.
【详解】

故选:D.
【点睛】本题考查了对数的化简求值,掌握对数换底公式是解题关键,考查了计算能力,属于基础题.
4.函数　的定义域是（　 ）
A. {x｜x＞0} B. {x｜x≥1} C. {x｜x≤1} D. {x｜0＜x≤1}
【答案】D
【解析】
,选D.
5.经过两条直线和的交点,且与直线垂直的直线方程是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据两条直线的方程,联立组成方程组,解得的值,即为两条直线的交点坐标,设与直线垂直方程为,即可求得答案.
【详解】 解得:
交点为
设与直线垂直方程为
将代入
解得
可得:
故选:B.
【点睛】本题考查两直线的交点坐标,及求垂直的直线方程.与已知直线垂直的直线方程可设成,再代入一个点的坐标即可求得直线方程.
6.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】D
【解析】
【详解】选项不正确，因为可能；
选项不正确，因为，和都有可能；
选项不正确，因为，可能；
选项正确．故选
7.使得函数有零点的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意可得函数的定义域，令，因为，由函数零点的判定定理可知，函数在上有零点．
考点：函数零点的判定定理
8.直线与直线互相平行，则的值是
A. 1 B. -2 C. 1或-2 D. -1或2
【答案】B
【解析】
【分析】
利用直线平行的性质列方程求解，注意讨论直线重合的情况.
【详解】当时，直线与直线不平行，
当时，，
时，直线与直线重合，不合题意，
所以，
故选：B.
【点睛】本题主要考查两直线平行的性质，属于基础题.遗忘讨论直线重合的情况是易错点.
9.一个体积为的正方体的顶点都在球面上,则球的表面积是( )
A. 20 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方体的体对角线为球的直径,可得球直径,再根据球的表面积计算公式进行计算,即可得到答案.
【详解】设正方体的棱长为,

正方体的顶点都在球面上

故选：C.
【点睛】本题是一道关于球内接正方体的题目,熟练掌握正方体的外接球的直径的计算方法是解答此题的关键;
10.如果正四棱锥的侧面积等于底面积的倍，则侧面与底面所成的角等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意画出立体图像,根据正四棱锥的侧面积等于底面积的倍,即可求得答案.
【详解】根据题意画出立体图形:

设正四棱锥的底面边长为,侧面面高为
，
根据正四棱锥的侧面积等于底面积的倍
可得 故
即
取中点为,链接
,
为侧面与底面所成的角

故
故选:C.
【点睛】本题考查了侧面与底面所成的角,解题关键是掌握面面角的定义,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.
11.已知,,直线过定点,且与线段相交,则直线斜率的取值范围是( )
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
因为,,直线过定点,且与线段相交,画出图像,即可求得直线的斜率的取值范围.
【详解】画出图像,如图:

结合图像可知,要保证线段与直线相交
需满足斜率的取值范围: 或
故选:D.
【点睛】本题考查了求过定点直线的斜率范围问题,解题关键是根据题意画出图像,数形结合,考查了分析能力,属于基础题.
12.设奇函数在上为增函数,且.则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数为奇函数,且在为增函数,若,画出函数的大致图像,结合图像即可求得答案.

【详解】画出的大致图像,如图:

函数为奇函数,
,可化简为
即和异号,
故有或
结合图像可得得解集为:或
故选:B.
【点睛】本题考查了根据函数图像求解函数不等式,解题关键是根据题意画出函数图像,结合和单调性和奇偶性进行求解,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分
13.直线和间的距离是________.
【答案】
【解析】
【分析】
直线与直线,根据两平行线间的距离公式 即可求得答案.
【详解】将直线,化简为
与是平行线
根据两平行线间的距离公式得:
两平行线间的距离为:
故答案为:.
点睛】本题考查平行线之间距离公式的应用,考查计算能力,属于基础题.
14.过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是______．
【答案】或
【解析】
【分析】
当直线过原点时，由点斜式求出直线的方程．当直线不过原点时，设方程为，把点代入可得的值，从而得到直线方程．综合以上可得答案．
【详解】当直线过原点时，由于斜率为，故直线方程为，即．
当直线不过原点时，设方程为，把点代入可得，
故直线的方程为，
故答案为或．
【点睛】本题主要考查用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
15.已知函数，若，则________.
【答案】
【解析】

【分析】
根据题意，将分段函数分类讨论计算可得答案．
【详解】解：当时，，即，解得，满足题意；
当时，，即，解得，不满足题意．
故.
故答案为.
【点睛】本题考查分段函数的计算，属于基础题．
【此处有视频，请去附件查看】

16.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为___________________．

【答案】36
【解析】
【分析】
由三视图知几何体是一个四棱柱，四棱柱的底面是一个直角梯形，看出直角梯形的上底和下底及高，和四棱柱的高，最后利用体积公式得到结果．
【详解】由三视图知几何体是一个四棱柱，
四棱柱的底面是一个直角梯形，上底是2，下底是4，高是2，
，四棱柱的侧棱与底面垂直，且侧棱长时6，
∴四棱柱的体积是=36
故答案为36
【点睛】由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．
三、解答题：共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋,如果冰淇淋融化了,会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由.

【答案】不会溢出杯子.见解析
【解析】
【分析】
根据中所给数据,分别求出和即可求得答案.
【详解】根据中所给数据:

,所以不会溢出杯子.
【点睛】本题考查了求球的体积和圆锥体积,掌握球体体积公式和圆锥体积公式是解题关键,属于基础题.
18.如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=2 ，AD=2 ，AA′=2，
（Ⅰ）求异面直线BC′ 和AD所成的角；  
（Ⅱ）求证：直线BC′∥平面ADD′A′．

【答案】(1) 异面直线BC′和AD所成的角为30°.
(2)证明见解析.
【解析】
分析：（1）由AD∥BC，得∠CBC′是异面直线BC′和AD所成的角，由此能求出异面直线BC′和AD所成的角．（2）连结AD′，由AD′∥BC′，能证明直线BC′∥平面ADD′A′．
详解：（1）解：∵长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AD∥BC，∴∠CBC′是异面直线BC′和AD所成的角，
∵长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=2，AD=2 ，AA′=2，CC′⊥BC，
∴tan∠CBC′=，
∴∠CBC′=30°，
∴异面直线BC′和AD所成角为30°
（2）解：证明：连结AD′，

∵长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AD′∥BC′，
又AD′⊂平面ADD′A′，BC′⊄平面ADD′A′，
∴直线BC′∥平面ADD′A′
点睛：线线角找平行，通过平行将异面直线转化为两个相交直线，再通过解三角形求夹角，最后根据异面直线所成角范围求角的大小
19.已知三角形的三个顶点,,,求:
（1）边所在直线的方程,以及该边上中垂线所在直线的方程;
（2）的面积.
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】
(1) 已知,,可得:直线方程为:, 设是的中点,则,的中垂线斜率,即可求得答案;
(2) 由题意得,的高,,根据三角面积公式,即可求得答案.
【详解】(1)已知,,根据两点式方程得
,即
故直线的方程为:
设是的中点,则,的中垂线斜率
的中垂线的方程为:
即
(2)由题意得,的高

【点睛】本题考查了求直线的一般方程和求三角形面积,掌握直线方程的解法是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
20.如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧棱底面,,是的中点,作交于点.

(1)求直线于底面所成角的正切值;
(2)证明:∥平面;
(3)证明:平面
【答案】（1）（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】
(1) 因为底面,故是直线与底面所成角,可得,即可求得答案;
(2)根据线面平行判定定理,即可求证∥平面;
(3)根据线面垂直判断定理,即可求证平面
【详解】(1)底面

是直线与底面所成的角
设,
是正方形,
,

故直线与底面所成角的正切值为
(2)连接,交与点,连接
底面是正方形,
点是的中点
在中,是中位线,
∥
又平面EDB,平面

∥平面
(3)面且PC平面ABCD,

,
是等腰直角三角形,而是斜边的中线
①
同样由底面得
底面是正方形,有,
平面,而平面,
②
由①②得:平面平面,

又且,
平面
【点睛】本题考查了求证线面平行和线面垂直,解题关键是掌握线面关系基础知识,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题.
21.已知函数.
(1)若时,函数是单调函数,求实数的取值范围;
(2)记函数的最大值为,求的表达式.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
(1) ,对称轴,若时,函数是单调函数, 即或,即可求得答案;
(2)分别讨论,和时函数的最大值,即可求得的表达式
【详解】(1) ,对称轴
若时,函数是单调函数
或
即或,故a的取值范围为:
(2)当,即时,
在上单调递增,函数的最大值为
当即时
在上单调递减,函数的最大值为
当时,函数的最大值为

【点睛】本题考查了函数含参数一元二次函数的单调性,掌握二次函数基础知识和二次函数的特征是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
22.如图，边长为2的正方形中，

（1）点是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使两点重合于点．求证：
（2）当时，求三棱锥的体积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）由题意，,∴，∴．
（2）把当作底面，因为角=90°，所以为高；
过作H垂直于EF，H为EF中点（等腰三角形三线合一）；
BE＝BF＝BC，；
，，
，．
考点：折叠问题，垂直关系，体积计算．
点评：中档题，对于折叠问题，要特别注意“变”与“不变”的几何元素，及几何元素之间的关系．本题计算几何体体积时，应用了“等体积法”，简化了解题过程．