2020北京中考金榜冲刺卷(三)数学含答案.doc

2020北京中考金榜冲刺卷（三）
数 学
学校 姓名 准考证号
1. 2019年4月17日，国家统计局公布2019年一季度中国经济数据. 初步核算，一季度国内生产总值213433亿元，按可比价格计算，同比增长6.4%. 数据213433亿用科学记数法表示应为（ ）.
A． B.  C. D.
2．某个几何体的展开图如图所示，该几何体是（ ）.
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．圆锥
3．在下列运算中，正确的是（ ）.
A． B． C． D．
4．下列标志的图形中，是轴对称图形的是但不是中心对称图形的是（ ）.

(A) (B) (C) (D)
5.四位同学在研究二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）时，甲同学发现函数图象的对称轴是直线x=1；乙同学发现3是一元二次方程ax2+bx+3=0（a≠0）的一个根；丙同学发现函数的最大值为4；丁同学发现当x=2时，y=5，已知这四位同学中只有一位同学发现的结论是错误的，则该同学是（ ）.
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．如果，那么代数式的值为（ ）.
A． B． C． D．
7．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB = 30°，OD = 2，那么DC的长等于（ ）.
A．2 B．4
C． D．

8．伴随着经济全球化的发展，中外文化交流日趋频繁，中国以其悠久的历史文化和热情吸引了越来越多的外国游客的光临，据国家统计局统计，2007年至2017年中国累计接待外国游客入境3.1亿人次.小元制作了2007年至2017年外国人入境情况统计图，如下图所示.

数据来源：国家统计局，2016年含边民入境人数．
根据以上信息，下列推断合理的是（ ）.
A．2007年45岁以上外国人入境游客约为2611万人次；
B．外国游客入境人数逐年上升；
C．每年的外国游客入境人数中，25-44岁游客人数占全年游客入境人数的；
D．外国游客入境人数较前一年増涨幅度最大的是2017年．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 .
10．分解因式：= ．
11．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点为O，ACAB，CD边的中点为E.若，，则= .

12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=10，AE=1，则弦CD的长是 ．
13．在如图所示的正方形网格中， .（填“”，“=”，“<”）

14．用一组a，b，c（）的值说明命题“如果，那么”是错误的，这组值可以是a = ，b = ，c = ．
15. 甲地有42吨货物要运到乙地，有大、小两种卡车可供选择，具体情况如下表：
类型
载重量（吨）
运费（元/车）
大卡车
8
450
小卡车
5
300
那么运完这批货物最少要支付运费 元．
16. 16．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=x+1交y轴于点A1，点A2，A3，…，An在直线l上，点B1，B2，B3，…，Bn在x轴的正半轴上，若△OA1B1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，△AnBn-1Bn依次均为等腰直角三角形，则点B1的坐标是 ；点Bn的坐标是　 　．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题,每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17. 计算：．
18．解不等式组：并求非负整数解．
19. 已知：如图，∠MAN=90°，线段a和线段b
求作：矩形ABCD，使得矩形ABCD的两条边长分别等于线段a和线段b．
下面是小东设计的尺规作图过程．
作法：如图，
①以点A为圆心，b为半径作弧，交AN于点B；
②以点A为圆心，a为半径作弧，交AM于点D；
③分别以点B、点D为圆心，a、b长为半径作弧，两弧交于∠MAN内部的点C；
④分别连接BC，DC．
所以四边形ABCD就是所求作的矩形.
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：
∵AB=______；AD=___________；
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠MAN=90°；
∴四边形ABCD是矩形（填依据____．
20．已知：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
21．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于E．
（1）求证：BE=AD ；
（2）若∠DCE=15°，AB=2，求在四边形ABCD的面积.

22．为了调查A、B两个区的初三学生体育测试成绩，从两个区各随机抽取了1000名学生的成绩（满分：40分，个人成绩四舍五入向上取整数）
A区抽样学生体育测试成绩的平均分、中位数、众数如下：
平均分
中位数
众数
37
36
37

B区抽样学生体育测试成绩的分布如下：
成绩
28x＜31
31x＜34
34x＜37
37x＜40
40（满分）
人数
60
80
140
m
220
B区抽样学生体育测试成绩37分至39分分布情况

请根据以上信息回答下列问题
(1) ___________；
(2) 在两区抽样的学生中，体育测试成绩为37分的学生，在_______(填“A”或“B”)区被抽样学生中排名更靠前，理由是 ；
(1) 如果B区有10000名学生参加此次体育测试，估计成绩不低于34分的人数.
23．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5．在同一平面内，△ABC内部一点O到AB，AC，BC的距离都等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G．
（1）直接写出a的值；
（2）连接BO并延长，交AC于点M，过点M作MN⊥BC于点N．
①求证：∠BMA=∠BMN；
②求直线MN与图形G的公共点个数．

24．如图，点P是上一动点，连接AP，作∠APC=45°，交弦AB于点C．已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm．（当点P与点A重合时，y1，y2的值为0；当点P与点B重合时，y1的值为0，y2的值为6）．

小元根据学习函数的经验，分别对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小元的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值；
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
0
1.21
2.09
m
2.99
2.82
0
y2/cm
0
0.87
1.57
2.20
2.83
3.61
6
经测量m的值是 （保留一位小数）．
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，(x，y2)，并画出函数y1，y2的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当△ACP为等腰三角形时，AP的长度约为 cm（保留一位小数）．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，B（3，），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，函数（x＜0）的图象经过点A．
(1) 求k的值；
(2) 若过点A的直线l平行于直线OB，且交函数
（x＜0）的图象于点D.
①求直线l的表达式；
②定义：横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记函数（x＜0）的图象在点A，D之间的部分与线段AD围成的区域(含边界)为W. 结合函数图象，直接写出区域W内(含边界)的整点个数．

26．已知：二次函数C1：．
（1）把二次函数C1的表达式化成 的形式，并写出顶点坐标；
（2）已知二次函数C1的图象经过点A（－3,1）．
①求a的值；
②点B在二次函数C1的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB．二次函数C2：的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围．

27．如图，在等边三角形ABC中，点D为BC边上的一点，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD、DE，在AD上取点F，使得∠EFD = 60°，射线EF与AC交于点G．
（1）设∠BAD = α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）；
（2）用等式表示线段CG与BD之间的数量关系，并证明．
（3）若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值.

28．在平面直角坐标系xOy中，点P，Q（两点可以重合）在x轴上，点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，若平面内的点M的坐标为，则称点M为P，Q的跟随点．
(1) 若m=0，
①当n=3时，P，Q的跟随点的坐标为 ；
②写出P，Q的跟随点的坐标；（用含n的式子表示）；
③记函数y=kx-1（,k≠0）的图象为图形G，若图形G上不存在P，Q的跟随点，求k的取值范围；
(2) ⊙A的圆心为A（0，2），半径为1，若⊙A上存在P，Q的跟随点，直接写出m的取值范围．
2020北京中考金榜冲刺卷（三）数学
参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
A
D
D
A
D
D
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
题号
9
10
11
12
答案
.x≠2

2.5
6
题号
13
14
15
16
答案

1，2，-1
2400
B1（1,0）；Bn（,0）
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）
17. （本小题满分5分）
解：
………………………………………………………………………………3分
…………………………………………………………………………………………5分
18．（本小题满分5分）
解不等式组：并求非负整数解.
解：由①得 x≤2； ……………………………1分
由②得 x－2＜3x ……………………………2分
x＞－1．……………………………3分
∴不等式组的解集是－1＜x≤2．……………………………4分
∴不等式组的非负整数解是0,1,2．……………………………5分
19．（本小题满分5分）
作图略………………………………………………………………………………2分
CD，BC，…………………………………………………………………………………………………4分
有一个角为直角的平行四边形是矩形. …………………………………………………………………5分
20．（本小题满分5分）
解：（1）由题意得，……………………………………………………… 1分
解得 ………………………………………………………………………………… 2分
（2）∵ m为非负整数，
∴ ………………………………………………………………………………… 3分
当时，原方程为，
解得 ，
当时，原方程为，
解得此方程的根不是整数，

∴ 应舍去.
∴ ……………………………………………………………………………………… 5分
21．（本小题满分5分）
（1）证明：∵∠A=90°， CE⊥BD于E，
∴．
∵AD∥BC，
∴．
又∵BD=BC，
∴△ABD≌△ECB. …………………………………………2分
∴BE=AD. ……………………………………………………3分
（2）解：∵∠DCE=15°，CE⊥BD于E，
∴∠BDC=∠BCD =75°，
∴∠BCE=60°，∠CBE=∠ADB=30°，
在Rt△ABD中，∠ADB=30°，AB=2.
∴BD=4，AD=.
∴． …………………………………4分
∵△ABD≌△ECB.
∴CE= AB=2.
∴．
∴+．………………………5分
22．（本小题满分5分）
（1）m=500………………………………………………………1分
（2）A，理由：通过计算可以知道B区样本中大于等于38分的学生有620人，而A区样本中位数是36，所以得分为37分的学生在A区被抽样学生中排名更靠前。…………………………………………………3分
（3）………………………………………………………5分
23．（本小题满分6分）
（1）a=1； ………………1分
（2）①由题意可知图形G是以O为圆心，a为半径的圆， AB，AC，BC与⊙O相切．
∴∠ABM=∠NBM．
∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴∠A=90°．
∵MN⊥BC，
∴∠A=∠BNM=90°．
∴∠BMA=∠BMN． …………………………………3分
②如图，设⊙O与AC的切点为D，连接OD，作OE⊥MN于点E．
∴OD⊥AC．
∴OD = OE．
∴OE为⊙O的半径．
∴MN为⊙O的切线．
∴直线MN与图形G的公共点个数为1． …………………………………6分
24．（本小题满分6分）
解：（1）2.7； 1
（2）如图； 3

（3）2.3或4.2 6

25．（本小题满分6分）
解：（1）∵B（3，﹣3），C（5，0），四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC=5.
∴点A的坐标为（﹣2，﹣3）.
∴k =6. ……………………… 2分
（2）①设直线OB的表达式为y=mx.
由B点坐标（3，﹣3），可求m = –1.
∵过点A的直线l平行于直线OB，
∴设直线l的表达式为.
由点A的坐标（﹣2，﹣3），可求直线l的表达式为.……………………… 4分
②图象可知，区域W内的整点个数为2. ……………………… 6分
26．（本小题满分6分）
解：（1）． 1分
对称轴：x=－1； 2分
（2）①∵二次函数C1经过点A（－3,1），
∴a=． 3分
②∵A（－3,1），对称轴：x－1，
∴B（1,1）． 4分
当k>0时，
当二次函数C2经过点A（－3 ,1）时，，
当二次函数C2经过点B（1,1）时，，
∴． 5分
当k<0时，． 6分
综上所述，或．
图1
27．（本小题满分7分）
解：（1）∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠BAC = 60°. ……………………………………………………………………………… 1分
∵ ∠BAD = α，
∴ ∠DAC =∠BAC -∠BAD = 60°- α. ……………………………………………………… 2分
又∵ ∠AFG = ∠EFD = 60°，
∴ ∠AGE=180°-∠DAC -∠AFG = 60°+ α. ……………………………………………… 3分
（2）线段CG与BD之间的数量关系是CG = 2BD. …………………………………………… 4分
证明如下：在AC上截取CH=BD，交AC于H，
连接BE，BH，AE， BH交AD于M.
∵ D，E关于AB对称，
∴ ∠BAE=∠BAD=α，∠ABE=∠ABC=60°，
∴ BD = BE，AD = AE.
∴ ∠EAC=∠BAE+∠BAC =60°+α.
∴ ∠EAC =∠AGE.
∴ EA = EG.
∵ 等边△ABC中，AB = BC，∠ABD =∠C = 60°.
∴ △ABD≌△BCH（SAS ………………………………………………… 5分
∴ AD=BH，∠HBC = ∠DAB = α.
∴ EG = BH.
∴ ∠ABM=∠ABC-∠HBC = 60°-α.
∴ ∠BMD =∠ABM +∠BAD = 60°.
∴ ∠BMD =∠EFD = 60°.
∴ EG // BH.
∴ 四边形EGHB是平行四边形. ……………………………………………… 6分
∴ BE = GH.
∴ BE = GH = CH = BD.
∴ CG = GH + CH = 2BD. ……………………………………………………… 7分
（3）缺
28．（本小题满分7分）
解：（1）① （3，3）．……………………………………………………………………1分
②（n，n）或（n，-n）．………………………………………………………2分
③由②可知，当m=0时， P，Q的跟随点在函数y=x(x≥0)或 y=-x(x≤0)的图象上，且
函数y=x(x≥0)或 y=-x(x≤0)的图象上的每一个点都是P，Q的跟随点．
令x=1，则y=1，图形G经过点（1，1）时，k=2；
令x=-1，则y=1，图形G经过点（-1，1）时，k=-2；

由图可知，k的取值范围是-2＜k＜0或0＜k＜2． ……………………………4分
（2）≤m≤或≤m≤．……………………………7分
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