2022年重庆市中考数学模拟试题(1)(解析版).doc

2022年重庆市中考数学模拟试题（1）
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）
1．（4分）﹣2的相反数是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【答案】A
【解析】根据相反数的定义，﹣2的相反数是2．
故选：A．
2．（4分）如果“□×2ab＝4a2b”，那么“□”内应填的代数式是（　　）
A．2b B．2ab C．a D．2a
【答案】D
【解析】□×2ab＝4a2b，
∴4a2b÷2ab＝2a，
则“□”内应填的代数式是2a．
故选：D．
3．（4分）若，则a的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】不等式组的解集为0＜a＜1，
表示在数轴上，如图所示：

故选：B．
4．（4分）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝6，则A′B′的长为（　　）

A．8 B．9 C．10 D．15
【答案】B
【解析】∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为2：3，AB＝6，
∴＝，即＝，
解得，A′B′＝9，
故选：B．
5．（4分）圆内接四边形ABCD的各角度数之比即：∠A：∠B：∠C：∠D＝5：m：4：n，则m、n满足的条件是（　　）
A．5+m＝4+n B．5m＝4n C．m+n＝9 D．m+n＝180°
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，∠B+∠D＝180°，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D，
∵∠A：∠B：∠C：∠D＝5：m：4：n，
∴m+n＝5+4＝9，
故选：C．
6．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．＝﹣5 B．4﹣3＝1 C．×＝ D．÷＝9
【答案】C
【解析】A、＝5，故此选项错误；
B、4﹣3＝，故此选项错误；
C、×＝，故此选项正确；
D、÷＝3，故此选项错误；
故选：C．
7．（4分）如图，AB＝14，AC＝6，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B．点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿AB向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线BD方向运动．点P、点Q同时出发，当以P、B、Q为顶点的三角形与△CAP全等时，a的值为（　　）

A．2 B．3 C．2或3 D．2或
【答案】D
【解析】当△CAP≌△PBQ时，则AC＝PB，AP＝BQ，
∵AC＝6，AB＝14，
∴PB＝6，AP＝AB﹣AP＝14﹣6＝8，
∴BQ＝8，
∴8÷a＝8÷2，
解得a＝2；
当△CAP≌△QBP时，则AC＝BQ，AP＝BP，．
∵AC＝6，AB＝14，
∴BQ＝6，AP＝BP＝7，
∴6÷a＝7÷2，
解得a＝；
由上可得a的值是2或，
故选：D．
8．4分）A，B两地相距30km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．如图，反映的是两人行进路程y（km）与行进时间t（h）之间的关系，①甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的；②乙用了5个小时到达目的地；③乙比甲迟出发0.5小时；④甲在出发5小时后被乙追上．以上说法正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】由图象可得，
甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的，故①正确；
乙用了5﹣0.5＝4.5个小时到达目的地，故②错误；
乙比甲迟出发0.5小时，故③正确；
甲在出发不到5小时后被乙追上，故④错误；
故选：B．
9．（4分）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（　　）

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【解析】延长PF交AB于点G，
∵PF⊥CD，AB∥CD，
∴PG⊥AB，即∠PGB＝90°．
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形GBEP为矩形，
又∵∠PBE＝∠BPE＝45°，
∴BE＝PE，
∴四边形GBEP为正方形，四边形PFCE为矩形．
∴GB＝BE＝EP＝GP，
∴GP＝PE，AG＝CE＝PF，
又∠AGP＝∠C＝90°，
∴△AGP≌△FPE（SAS）．
∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，
故①、②正确；
在Rt△PDF中，由勾股定理得PD＝，
故③正确；
∵P在BD上，
∴当AP＝DP、AP＝AD、PD＝DA时，△APD才是等腰三角形，
∴△APD是等腰三角形共有3种情况，故④错误．
∴正确答案有①②③，
故选：B．

10．（4分）小李同学想测量广场科技楼CD的高度，他先在科技楼正对面的智慧楼AB的楼顶A点测得科技楼楼顶C点的仰角为45°．再在智慧楼的楼底B点测得科技楼楼顶C点的仰角为61°，然后从楼底B点经过4米长的平台BF到达楼梯F点沿着坡度为i＝1：2.4的楼梯向下到达楼梯底部E点，最后沿水平方向步行20米到达科技楼楼底D点（点A、B、C、D、E、F在同一平面内，智慧楼AB和科技楼CD与水平方向垂直）．已知智慧楼AB的高为24米，则科技楼CD的高约为（　　）米．（结果精确到0.1，参考数据：sin61°≈0.87．cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）

A．54.0 B．56.4 C．56.5 D．56.6
【答案】C
【解析】作AM⊥CD于M，FN⊥CD于N，FG⊥DE于点G，则四边形AMNB，四边形NDGF是矩形．

在Rt△FEG中，FG：EG＝1：2.4，
设FG＝5x，则EG＝12x
∴FN＝DG＝12x+20，AB＝24米，AM＝BN＝（24+12x）米，
∵∠CAM＝45°，
∴AM＝CM＝（24+12x）米，
∴CN＝CM+MN＝（48+12x）米，
∵∠CBN＝61°，
∴tan∠CBN＝＝，
∴x＝，
∴CD＝CM+MN+DN＝24+12x+24+5x＝24+17×+24＝56.5（米）．
故选：C．
11．（4分）若关于x的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程有解，则满足条件的所有整数m的积为（　　）
A．15 B．﹣48 C．﹣60 D．120
【答案】A
【解析】解不等式组：，
得＜x＜3，
∵不等式组有且仅有3个整数解，
∴﹣1≤＜0，
∴﹣5≤m＜﹣1，
又∵分式方程有解，
y＝﹣且y≠3，
解得m≠﹣2且m≠﹣4，
∴满足条件的所有整数m的值为﹣5，﹣3，
∴满足条件的所有整数m的积是15．
故选：A．
12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝经过A，B两点，若菱形ABCD面积为8，则k值为（　　）

A．﹣8 B．﹣2 C．﹣8 D．﹣6
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC，
∵A、B两点的纵坐标分别是4、2，反比例函数y＝经过A、B两点，
∴xB＝，xA＝，即A（，4），B（，2），
∴AB2＝（﹣）2+（4﹣2）2＝+4，
∴BC＝AB＝，
又∵菱形ABCD的面积为8，
∴BC×（yA﹣yB）＝8，
即×（4﹣2）＝8，
整理得＝4，
解得k＝±8，
∵函数图象在第二象限，
∴k＜0，即k＝﹣8，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．（4分）计算：﹣（π﹣1）0＝________．
【答案】2．
【解析】原式＝3﹣1＝2．
14．（4分）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢．已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为________．
马匹
姓名
下等马
中等马
上等马
齐王
6
8
10
田忌
5
7
9
【答案】．
【解析】由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场顺序为10，8，6时，田忌的马按5，9，7的顺序出场，田忌才能赢得比赛，
当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下：

双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，
∴田忌能赢得比赛的概率为．
15．（4分）已知x＝1是方程3x﹣m＝x+2n的一个解，则整式m+2n+2020的值为__．
【答案】2022．
【解析】将x＝1代入方程得：3﹣m＝1+2n，即m+2n＝2，
则原式＝2+2020＝2022．
16．（4分）如图，在矩形ABCD中，BC＝1，以点A为圆心，以AD长为半径画弧交BC于点E，∠DAE＝60°，则图中阴影部分的面积为________．

【答案】﹣．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝1，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝60°，
∵∠B＝90°，AE＝AD＝1，
∴AB＝AE•sin60°＝，
∴S阴＝S矩形ABCD﹣S扇形ADE＝﹣＝﹣，
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，BC＝2，D是BC上一点，连接AD，将△ADC沿AD翻折，点C的对应点C′落在平面内，连接BC′．若BC′∥AC，则△ABC′的面积为________．

【答案】．
【解析】连接CC'，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∵AC∥BC'，
∴∠CBC'＝30°，
由折叠可知，△ACD≌△AC'D，
∴CD＝C'D，AC＝AC'，
∵BC＝2，
∴AB＝2，AC＝4，
过A点作AM⊥BC'交延长线于M，
∵∠ABC'＝120°，
∴∠ABM＝60°，
∵AB＝2，
∴BM＝1，AM＝，
∵AC'＝4，
∴C'M＝＝
∴BC'＝﹣1，
∴S△AC'B＝×BC'×AM＝×（﹣1）×＝，

18．（4分）重庆市某蛋糕店推出一批新款蛋糕，有草莓味、芒果味、榴莲味三种．最初生产的草莓味、芒果味、榴莲味的数量比是3：5：2．随着新品的推广，该厂家立刻又生产了一批这三种口味的蛋糕，其中榴莲味蛋糕增加的数量占总增加数量的，此时草莓味的总数量将达到三种新品蛋糕两次制作总数量的，草莓味蛋糕两次制作的总量与芒果味蛋糕两次制作的总量之比为5：9，则芒果味蛋糕第一次与第二次制作的数量之比是________．
【答案】5：13．
【解析】设第一次生产总量为x，第二次生产总量为y，
由题意得：榴莲味蛋糕增加的数量为y
草莓味的总数量为（x+y），
第一次草莓味的生产量为x＝x，
∴草莓味的增加量为（x+y）﹣x＝y﹣x，
第一次生产芒果味数量为x＝x，
芒果味增加量＝第二次生产总量﹣榴莲味增加量﹣草莓味增加量＝y﹣﹣（y﹣x）＝y+x，
∴芒果味总量为x+y+x＝y+x，
∵＝＝，
整理得y＝3x，
∴芒果味蛋糕第一次与第二次制作的数量之比是x：y+x＝5：13，
三．解答题（共7小题，满分20分）
19．（10分）计算：
（1）a（2a+3b）+（a﹣b）2；
（2）÷（x+）．
【答案】见解析
【解析】（1）原式＝2a2+3ab+a2﹣2ab+b2
＝3a2+ab+b2；
（2）原式＝÷（+）
＝÷
＝•
＝．
20．（10分）为倡导学生们“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”，某校举行了相关的知识竞赛，现从七八年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析．（成绩得分用x表示，共分成4组：A.60≤x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.90≤x＜100）
下面给出部分信息：
七年级学生的竞赛成绩在C组中的数据为：83，84，89．
八年级抽取的学生竞赛成绩：68，77，76，100，81，100，82，86，98，90，100，86，84，93，87．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
七
87
a
98
99.6
八
87.2
86
b
88.4
（1）直接写出上述图表中a，b的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七八年级共600人参加了此次竞赛活动，请你估计参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生约有多少人？

【答案】见解析
【解析】（1）七年级的竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的一个数是84，因此中位数是84，即a＝84，
八年级的竞赛成绩出现次数最多的是100，共出现3次，因此众数是100，即b＝100，
故答案为：84，100；
（2）八年级的计算成绩较好，理由：八年级竞赛成绩的中位数、众数、都比七年级的高，而方差也较小．
（3）样本中，七八年级学生竞赛成绩在90分及以上的12人，占调查人数的＝，
所以，600×＝240（人），
答：该校七八年级600名学生中，参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生约有240人．
21．如图，在▱ABCD中，点E在边AD上，
（1）若直线l经过点E，将该平行四边形的面积平分，并与平行四边形的另一边交于点F，用无刻度的直尺画出点F；
（2）连接AF，CE，判断四边形AFCE的形状，并说明理由．

【答案】见解析
【解析】（1）如图，直线EF即为所求．

（2）连接AF，EC．结论：四边形AFCE是平行四边形．
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴AE＝CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．

22．小南根据学习函数的经验，对函数y＝a|x﹣2|+b的图象与性质进行了探究．下表是小南探究过程中的部分信息：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
3
2
1
0
﹣1
﹣2
n
﹣2
﹣1
…
请按要求完成下列各小题：
（1）该函数的解析式为________，自变量x的取值范围为________；
（2）n的值为________；点（，﹣）________该函数图象上；（填“在”或“不在”）
（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，解决问题：
①写出该函数的一条性质：________；
②如图，在同一坐标系中是一次函数y＝﹣x+的图象，根据图象回答，当a|x﹣2|+b＜﹣x+时，自变量x的取值范围为________．
【答案】见解析
【解析】（1）把点（﹣1，0）和（0，﹣1代入y＝a|x﹣2|+b得，
解得，
∴该函数的解析式为y＝|x﹣2|﹣3，自变量x的取值范围为x是任意实数；
故答案为y＝|x﹣2|﹣3，x是任意实数；
（2）把x＝2代入y＝|x﹣2|﹣3得，y＝﹣3，
∴n＝﹣3；
把x＝代入y＝|x﹣2|﹣3得，y＝﹣≠﹣，
∴点（，﹣） 不在该函数图象上；
故答案为﹣3，不在；
（3）画出函数图象如图：

（4）结合函数的图象，
①写出该函数的一条性质：函数有最小值﹣3；
故答案为函数有最小值﹣3；
②如图，在同一坐标系中是一次函数y＝﹣x+的图象，根据图象可知，当a|x﹣2|+b＜﹣x+时，自变量x的取值范围为﹣2＜x＜4，
故答案为﹣2＜x＜4．
23．扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场，与去年相比，今年这种水果的产量增加了25%，每千克的平均批发价降低了1元，批发销售总额增加了20%．
（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元．求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？
（2）今年某水果店从果农处直接批发，专营这种水果，调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，当水果店一天的利润为7260元时，求这种水果的平均售价．（计算利润时，其它费用忽略不计）
【答案】见解析
【解析】（1设这种水果今年每千克的平均批发价是x元，则这种水果去年每千克的平均批发价是（x+1）元，
依题意得：（1+20%）（x+1）＝（1+25%）x，
解得：x＝24．
答：这种水果今年每千克的平均批发价是24元．
（2）设每千克的平均销售价降低了y元，则每千克的平均利润为41﹣y﹣24＝（17﹣y）元，每天的销售量为300+＝（300+60y）千克，
依题意得：（17﹣y）（300+60y）＝7260，
整理得：y2﹣12y+36＝0，
解得：y1＝y2＝6，
∴41﹣y＝35（元）．
答：这种水果的平均售价为35元．
24．对任意一个三位正整数n，如果n满足百位上的数字小于十位上的数字，且百位上的数字与十位上的数字之和等于个位上的数字，那么称这个数n为“攀登数”．用“攀登数”n的个位数字的平方减去十位数字的平方再减去百位数字的平方，得到的结果记为P（n）．例如：n＝123，满足1＜2，且1+2＝3，所以123是“攀登数”，P（123）＝32﹣22﹣12＝4；例如：n＝236，满足2＜3；但是2+3≠6，所以236不是“攀登数”；再如：n＝314，满足3+1＝4，但是3＞1，所以314不是“攀登数”．
（1）判断369和147是不是“攀登数”，并说明理由；
（2）若t是“攀登数”，且t的3倍与t的个位数字的和能被7整除，求满足条件的“攀登数”t以及P（t）的最大值．
【答案】见解析
【解析】（1）∵3＜6＜9，3+6＝9，故369是“攀登数”，
∵1＜4＜7，1+4≠7，故147不是“攀登数”，
（2）设t的百位，十位，个位数分别为x，y，z，由题意可得
，
设M＝3t+z
＝3（100x+10y+z）+z
＝300x+30y+4z
＝300x+30y+4（x+y）
＝304x+34y
＝（301x+28y）+（3x+6y）
＝（301x+28y）+3（x+2y）
∵t的3倍与t的个位数字的和能被7整除，
要使M能被7整除，则x+2y能被7整除，
又∵x＜y＜z，
∴x+y＜9，
∴（x，y）的可能组合有（1，3）2，6），
则t的取值为134，268，
P（134）＝42﹣32﹣12＝6，P（268）＝82﹣62﹣22＝24，
∴P（t）的最大值＝24．
25．如图，若一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象过A、B、C三点．

（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，若点P在直线BC下方的抛物线上运动，过P点作PF⊥BC，交线段BC于点F，在点P运动过程中，线段PF是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
（3）点P在y轴右侧的抛物线上运动，过P点作x轴的垂线，与直线BC交于点D，若∠PCD+∠ACO＝45°，请在备用图上画出示意图，并直接写出点P的坐标．
【答案】见解析
【解析】（1）在y＝﹣3x﹣3中，令x＝0，得y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
令y＝0，得﹣3x﹣3＝0，
解得：x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+c，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
在Rt△BOC中，OB＝OC＝3，BC＝＝＝3，
设P（m，m2﹣2m﹣3），过点P作PT∥y轴交直线BC于点T，则T（m，m﹣3），
∴PT＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∵PF⊥BC，
∴∠PFT＝∠BOC＝90°，
∵PT∥y轴，
∴∠PTF＝∠BCO，
∴△PTF∽△BCO，
∴＝，即：＝，
∴PF＝（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，PF取得最大值；
（3）设P（t，t2﹣2t﹣3），分以下两种情况：
①当点P在直线BC下方的抛物线上时，如图2，过点P作PM⊥y轴于点M，
则M（0，t2﹣2t﹣3），
∴CM＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣3）＝t2﹣2t，PM＝t，
∵∠PCD+∠ACO＝45°，∠BCD＝45°，
∴∠ACP＝90°，
∴∠PCM+∠ACO＝∠CAO+∠ACO＝90°，
∴∠PCM＝∠CAO，
∵∠PMC＝∠AOC＝90°，
∴△PCM∽△CAO，
∴＝，
∴＝，
∴3t2﹣7t＝0，
解得：t1＝0（舍去），t2＝，
当t＝时，t2﹣2t﹣3＝（）2﹣2×﹣3＝﹣，
∴P（，﹣）；
②当点P在直线BC上方的抛物线上时，如图3，过点P作PM⊥y轴于点M，
则M（0，t2﹣2t﹣3），
∴CM＝t2﹣2t﹣3﹣（﹣3）＝t2﹣2t，PM＝t，
∵∠PCD+∠ACO＝45°，∠PCD+∠PCM＝45°，
∴∠PCM＝∠ACO，
∵∠PMC＝∠AOC＝90°，
∴△PCM∽△ACO，
∴＝，
∴＝，
∴t2﹣5t＝0，
解得：t1＝0（舍去），t2＝5，
当t＝5时，t2﹣2t﹣3＝52﹣2×5﹣3＝12，
∴P（5，12），
综上所述，点P的坐标为（，﹣）或（5，12）．

四．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）
26．（8分）如图，△ABC是等边三角形，△BDE是顶角为120°的等腰三角形，BD＝DE，连接CD，AE．
（1）如图1，连接AD，若∠ABE＝60°，AB＝BE＝，求CD的长；
（2）如图2，若点F是AE的中点，连接CF，DF．求证：CD＝2DF；
（3）如图3，在（2）的条件下，若AB＝2，BD＝2，将△BDE绕点B旋转，点H是△AFC内部的一点，当DF最大时，请直接写出2HA+HF+HC的最小值的平方．

【答案】见解析
【解析】（1）∵AB＝BE，∠ABE＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝60°，AB＝AE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ADB≌△ADE（SSS），
∴∠ADB＝∠ADE，∠BAD＝∠EAD＝∠BAE＝30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝，∠CAB＝60°，
∴∠CAD＝∠CAB+∠BAD＝90°，
∵∠BDE＝120°，BD＝DE，
∴∠DBE＝30°，
∴∠ABD＝∠ABE+∠DBE＝90°，
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，
∴AD＝＝＝2，
在Rt△ACD中，CD＝＝，

（2）如图2，
延长DF至M，使FM＝DF，连接CM，AM，
∵F是AE的中点，
∴AF＝EF，
∵∠AFM＝∠EFD，
∴△AFM≌△EFD（SAS），
∴∠MAF＝∠DEF，
∴∠CAM＝∠CAB+∠BAE+∠MAF
＝60°+∠BAE+∠AED
＝60°+∠BAE+∠AEB+∠BED
＝90°+∠BAE+∠AEB，
∵∠CBD＝360°﹣∠ABC﹣∠BDE﹣∠ABE
＝270°﹣∠ABE＝270°﹣[180°﹣（∠BAE+∠AEB）]
＝90°+∠BAE+∠AEB，
∴∠CAM＝∠CBD，
∴△CAM≌△CBD（SAS），
∴CM＝CD，∠ACM＝∠BCD，
∴∠DCM＝∠BCM+∠BCD＝∠BCM+∠ACM＝∠ACB＝60°，
∴△CDM是等边三角形，
∴CD＝DM＝2DF；

（3）由（2）知，CD＝2DF，要DF最大，则CD最大，
∵BC+BD≥CD，
∴当点，C，B，D在同一条线上时，CD最大，其值为BC+BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠DBC＝30°，
∴∠ABC+∠DBC＝90°，
∴∠ABE＝90°，
过点D作DN⊥BE于N，
∵BD＝DE，
∴BN＝EN＝，
∵点F是AE的中点，
∴AF＝EF，
∴FN是△ABE的中位线，
∴FN∥AB，FN＝AB，记CF与AB的交点为O，则点O是AB的中点，
∴∠ACF＝30°，
∴OC＝3，
∴CF＝3+，过点F作FQ⊥CR，交RC的延长线于Q，
∴∠FCQ＝90°﹣∠ACF＝60°，
∴CQ＝，FQ2＝（CFsin60°）2＝[（3+）×]2＝9+，
如图3，过点C作AC的垂线，在AC的左侧取一点R，使CR＝2AC＝4，
∴RQ2＝（CR+CQ）2＝（4+）2＝63+，
根据勾股定理得，AR＝AC，
∴tan∠CAR＝＝2，
过点H作AH的垂线，在AH的左侧取一点P，使PH＝2AH，
根据勾股定理得，AP＝AH，
∴tan∠PAH＝＝2，
∴tan∠CAR＝tan∠PAH，
∴∠CAR＝∠PAH，
∴∠PAR＝∠HAC，
∵AR＝AC，AP＝AH，
∴＝，
∴△APR∽△AHC，
∴＝，
∴PR＝HC，
∴2HA+HF+HC＝HP+HF+PR，
要2HA+HF+HC最小，则点R，P，H，F在同一条线上，连接FR，
即2HA+HF+HC最小值为FR，
则2HA+HF+HC的最小值的平方为FR2＝RQ2+FQ2＝63++9+＝72+18．