河南省信阳市2021-2022学年高一上学期期末数学试题.docx

2021—2022学年度高一上学期期末教学质量检测
数学试题
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题知，进而根据集合的交集运算求解即可.
【详解】解：由题知，，
所以.
故选：A
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用诱导公式化简计算即可
【详解】，
故选：B
3. 已知命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由全称命题的否定为存在命题，分析即得解
【详解】由题意，命题
由全称命题的否定为存在命题，可得：
为
故选：D
4. 已知函数的值域为，则实数m的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 9 D. 27
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数型复合函数的性质计算可得；
【详解】解：因为函数的值域为，所以的最小值为，所以；
故选：C
5. 若“”是“”的充分不必要条件，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】转化“”是“”的充分不必要条件为Ü，分析即得解
【详解】由题意，“”是“”的充分不必要条件
故Ü
故
故选：B
6. 随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然､更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横､竖各分三部分，以比例为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用表示黄金分割点.若照片长､宽比例为，设，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得，即可得到，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；
【详解】解：依题意，所以，所以

故选：B
7. 下列各选项中的两个函数的图象关于y轴对称的是（ ）
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，逐一分析各选项中两个函数的对称性，再判断作答.
【详解】对于A，点是函数图象上任意一点，显然在的图象上，
而点与关于y轴对称，则与的图象关于y轴对称，A正确；
对于B，点是函数图象上任意一点，显然在的图象上，
而点与关于原点对称，则与的图象关于原点对称，B不正确；
对于C，点是函数图象上任意一点，显然在的图象上，
而点与关于x轴对称，则与的图象关于x轴对称，C不正确；
对于D，点是函数图象上任意一点，显然在的图象上，
而点与关于直线y=x对称，则与的图象关于直线y=x对称，D不正确.
故选：A
8. 函数的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据辅助角公式,化简三角函数式,结合正弦函数的图像与性质,即可求得其单调递增区间.
【详解】由辅助角公式,化简三角函数式
可得

由正弦函数的图像与性质可知其单调递增区间满足
解得
即单调递增区间,
故选：B
9. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】指数式化为对数式，进而利用换底公式及对数运算公式进行求解.
【详解】由得：，则
故选：A
10. 设，且，则的最小值是（ ）
A. B. 8 C. D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】转化原式为，结合均值不等式即得解
【详解】由题意，故
则
当且仅当，即时等号成立
故选：B
11. 中国扇文化有着深厚的文化底蕴，小小的折扇传承千年的制扇工艺与书画艺术，折扇可以看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设折扇的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当时，折扇的圆心角的弧度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设折扇的圆心角为，则圆面中剩余部分的圆心角为，根据扇形的面积公式计算可得；
【详解】解：设折扇的圆心角为，则圆面中剩余部分的圆心角为，圆的半径为，依题意可得，解得；
故选：C
12. 已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则在区间上零点的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的周期性、偶函数的性质，结合零点的定义进行求解即可.
【详解】因为，所以函数的周期为，
当时，，即，
因为函数偶函数且周期为，
所以有，
所以在区间上零点的个数为，
故选：C
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.
13. 幂函数的图象过点，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】设，代入，求解可得，再代入求解即可
【详解】由题意，设，过点
可得，解得
故
故答案为：
14. 下列函数图象与x轴都有交点，其中不能用二分法求其零点的是___________.（写出所有符合条件的序号）

【答案】（1）（3）
【解析】
【分析】根据二分法所求零点的特点，结合图象可确定结果.
【详解】用二分法只能求“变号零点”， （1），（3）中的函数零点不是“变号零点”，故不能用二分法求
故答案为：（1）（3）
15. ___________.
【答案】1
【解析】
【分析】由直接计算即可.
【详解】
.
故答案为：1.
16. 《三十六计》是中国古代兵法策略，是中国文化的瑰宝.“分离参数法”就是《三十六计》中的“调虎离山”之计在数学上的应用，例如，已知含参数的方程有解的问题，我们可分离出参数（调），将方程化为，根据的值域，求出的范围，继而求出的取值范围，已知，若关于x的方程有解，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】参变分离可得，令，构造函数，利用导数求解函数单调性，分析可得的值域为，即得解
【详解】由题意，，
故
又，，
令
故，令
，故在单调递增
由于时
故的值域为
故，即实数的取值范围为
故答案为：
三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17 （1）计算：.
（2）化简：.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据分数指数幂及对数的运算法则计算可得；
（2）利用诱导公式及特殊值的三角函数值计算可得；
【详解】解：（1）

（2）

18. 已知函数的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【小问1详解】
由题意，
解得，即
故
小问2详解】
由题意
即，又，故

故

19. 已知函数（，且）.
（1）求函数的定义域；
（2）是否存在实数a，使函数在区间上单调递减，并且最大值为1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数型函数定义的求法简单计算即可.
（2）利用复合函数的单调性的判断可知，然后依据题意可得进行计算即可.
【小问1详解】
由题意可得，即，
因为，所以解得.
故的定义域为.
【小问2详解】
假设存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为1.
设函数，由，得，
所以在区间上为减函数且恒成立，
因为在区间上单调递减，
所以且，即.
又因为在区间上的最大值为1，
所以，
整理得，解得.
因为，所以，
所以存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为1
20. 已知函数为R上的奇函数，其中a为常数，e是自然对数的底数.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的最小值，并求取最小值时x的值.
【答案】（1）
（2）在上的最小值是-4，取最小值时x的值为.
【解析】
【分析】（1）根据函数为R上的奇函数，由求解；
（2）由（1）得到，令，转化为二次函数求解.
小问1详解】
解：因为函数为R上的奇函数，
所以，
解得，
所以，经检验满足题意；
【小问2详解】
由（1）知：，
，
另，因为t在上递增，则，
函数转化为，
当时，取得最小值-4，
此时 ，即，
解得，则，
所以在上的最小值是-4，取最小值时x的值为.
21. 观察下列各等式：，，.
（1）请选择其中的一个式子，求出a的值；
（2）分析上述各式的特点，写出能反映一般规律的等式，并进行证明.
【答案】（1）
（2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）利用第三个式子，结合特殊角的三角函数值代入计算即可；
（2）用两角和的正弦公式展开，代入化简，结合，即得解
【小问1详解】
由题意，
【小问2详解】
根据题干中各个式子的特点，猜想等式：
证明：左边

即得证
22. 整治人居环境，打造美丽乡村，某村准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域（底边）种植观赏树木，其余的区域种植花卉.设.

（1）当时，求的长；
（2）求三角形区域面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角函数表达出长；（2）用的三角函数表达出三角形区域面积，利用换元法转化为二次函数，求出三角形区域面积的最大值.
【小问1详解】
设MN与AB相交于点E，则，则，故的长为
【小问2详解】
过点P作PF⊥MN于点F，则PF=AE=，而MN=ME+EN=，则三角形区域面积为
，设，因为，所以，故，而，则，故当时，取得最大值，

故三角形区域面积的最大值为
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