“解析几何”小题强化保分练.doc

“解析几何”小题强化保分练
1．已知直线l1：a2x＋y－2＝0与直线l2：x－(2a＋3)y＋1＝0垂直，则a＝(　　)
A．3　　　　　　　　　　 B．1或－3
C．－1 D．3或－1
解析：选D　直线l1：a2x＋y－2＝0与直线l2：x－(2a＋3)y＋1＝0垂直，所以a2－(2a＋3)＝0，解得a＝－1或a＝3.
2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选A　由题意知2b＝2,2c＝2，所以b＝1，c＝，由a2＝c2－b2＝2，解得a＝，该双曲线的焦点在y轴上，所以渐近线方程为y＝±x＝±x.
3．已知F1，F2是椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点，点D在椭圆C上，∠F1DF2＝120°，点O为坐标原点，则|OD|＝(　　)
A．1 B.
C. D.
解析：选A　设|DF2|＝m，由椭圆的定义可得|DF1|＝4－m，由余弦定理可得|F1F2|2＝|DF1|2＋|DF2|2－2|DF1|·|DF2|cos∠F1DF2，即m2＋(4－m)2－2m(4－m)×＝12，即m2－4m＋4＝0，解得m＝2，
所以|DF1|＝|DF2|＝2，即点D与椭圆C的上顶点重合，所以|OD|＝1.
4．已知双曲线－＝1的右焦点到其一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D．2
解析：选B　由－＝1可得：a＝3，b2＝m，所以c2＝a2＋b2＝9＋m，所以双曲线的右焦点F(，0)，渐近线方程为y＝±x，即x±3y＝0，所以右焦点到渐近线的距离为d＝＝＝，解得m＝3，所以c＝＝＝2，所以离心率为e＝＝，故选B.
5．(2021·厦门三模)如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量进行炊事烹饪食物的一种装置．由于太阳光基本上属于平行光线，所以当太阳灶(旋转抛物面)的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光轴上．现有一抛物线型太阳灶，灶口直径AB为2 m，灶深CD为0.5 m，则焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为(　　)

A．3 m B．1.5 m
C．1 m D．0.75 m
解析：选B　由题意建立如图所示的平面直角坐标系，O与C重合．设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，由题意可得A，将A点坐标代入抛物线的方程可得3＝2p×，解得p＝3，所以抛物线的方程为y2＝6x，焦点的坐标为，即，所以焦点到灶底(抛物线的顶点)的距离为＝1.5 m.
6．(2021·中央民族大学附属中学高三三模)已知圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，点P在直线y＝x＋3上，线段AB为圆C的直径，则|＋|的最小值为(　　)
A. B．3
C．4 D．3
解析：选B　因为C为AB的中点，所以＋＝2，从而|＋|＝|2|＝2||，可知||的最小值为点C到直线y＝x＋3的距离，d＝＝，所以|＋|min＝2×＝3.
7．(2021·厦门二模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P是C上一点，且＝4，以PF为直径的圆截x轴所得的弦长为2，则p＝(　　)
A．2 B．4
C．2或4 D．2或6
解析：选D　设P，由于|PF|＝4，所以＋＝4，因为以PF为直径的圆截x轴所得的弦长为2，设弦长为|AF|＝2，则PA⊥AF，所以|PF|2＝|AF|2＋|PA|2＝4＋y＝16，则y＝12，代入＋＝4得p2－8p＋12＝0，解得p＝2或6.
8．已知圆C：x2＋y2－8y＋14＝0，直线l：mx－y－3m＋1＝0与x轴、y轴分别交于A，B两点．设圆C上任意一点P到直线l的距离为d，当d取最大值时，△PAB的面积为(　　)
A．3 B．8
C．6 D．4
解析：选B　直线l：mx－y－3m＋1＝0过定点M(3,1)．
圆C：x2＋y2－8y＋14＝0的圆心为C(0,4)，半径r＝.
当MC⊥l时，圆心C到直线l的距离最大，
此时圆心C到直线l的距离为|MC|＝3，
则点P到直线l的最大距离d＝3＋r＝4.
又|MC|＝＝3，
所以m＝1，直线l的方程为x－y－2＝0，
所以|AB|＝2.
从而△PAB的面积S＝×2×4＝8.
9．已知F1，F2是椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，A，B是椭圆C上且位于x轴上方的任意两点，且满足＝μ (μ≠0)，AF2与BF1交于P，则|PF1|＋|PF2|＝(　　)
A．2 B．3
C. D.
解析：选C　如图所示，因为＝μ，特取AF1⊥x轴，BF2⊥x轴，所以F1(－1,0)，F2(1,0)，A，B，联立
解得
所以P，则|PF1|＝|PF2|＝＝.则|PF1|＋|PF2|＝，故选C.
10．(多选)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2且|F1F2|＝2，点P(1,1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是(　　)
A．|QF1|＋|QP|的最小值为2－1
B．椭圆C的短轴长可能为2
C．椭圆C的离心率的取值范围为
D．若＝，则椭圆C的长轴长为＋
解析：选ACD　因为|F1F2|＝2，所以F2(1,0)，|PF2|＝1，所以|QF1|＋|QP|＝2－|QF2|＋|QP|≥2－|PF2|＝2－1，当Q，F2，P三点共线时，取等号，故A正确；若椭圆C的短轴长为2，则b＝1，a＝2，所以椭圆方程为＋＝1，＋＞1，则点P在椭圆外，故B错误；因为点P(1,1)在椭圆内部，所以＋＜1，又a－b＝1，所以b＝a－1，所以＋＜1，即a2－3a＋1＞0，解得a＞＝＝，所以＞，所以e＝＜，所以椭圆C的离心率的取值范围为，故C正确；若＝，则F1为线段PQ的中点，所以Q(－3，－1)，所以＋＝1，又a－b＝1，即a2－11a＋9＝0，解得a＝＝＝，所以＝，所以椭圆C的长轴长为＋，故D正确．故选A、C、D.
11．(多选)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，A1，A2是其左、右顶点，F1，F2是其左、右焦点，P是双曲线上异于A1，A2的任意一点，下列结论正确的是(　　)
A．||PF1|－|PF2||＝2a
B．直线PA1，PA2的斜率之积等于定值
C．使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个
D．△PF1F2的面积为
解析：选ABC　根据双曲线方程以及双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2a，所以A正确；
设点P(x，y)，y≠0，x2≠a2，有－＝1(a>0，b>0)，即y2＝b2，则直线PA1，PA2的斜率之积kPA1·kPA2＝·＝＝＝，所以B正确；
根据双曲线的对称性分析：要使△PF1F2为等腰三角形，则F1F2必为腰，在第一象限双曲线上有且仅有一个点P使|PF1|＝2c，|PF2|＝2c－2a，此时△PF1F2为等腰三角形，也有且仅有一个点P′使|P′F2|＝2c，|P′F1|＝2c＋2a，此时△P′F1F2为等腰三角形，同理可得第二、三、四象限每个象限也有且仅有两个点，一共八个，所以C正确；
0<<<，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义可得|m－n|＝2a，
则(m－n)2＝m2＋n2－2mn＝4a2，　①
由余弦定理可得4c2＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2，　②
②－①得，2(1－cos∠F1PF2)mn＝4b2，
则S△PF1F2＝mnsin∠F1PF2＝
＝＝，所以D不正确．故选A、B、C.
12．(多选)(2021·益阳二模)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，则下列结论正确的是(　　)
A．若直线l⊥x轴，则|AB|＝2
B．x1·x2＝
C．y1y2＝－4
D．∠A1FB1＝
解析：选CD　抛物线C的焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，显然l不垂直于y轴，设l的方程为x＝my＋1，由得y2－4my－4＝0，y1，y2是此方程的两根，若直线l⊥x轴，则m＝0，y1＝2，y2＝－2，则|AB|＝4，即选项A错误；y1·y2＝－4，则x1·x2＝·＝＝1，即选项B错误，选项C正确；如图，由抛物线的定义知，|AF|＝|A1A|，∴∠AA1F＝∠AFA1，又AA1∥x轴，∴∠AA1F＝∠A1FO，∴∠AFA1＝∠A1FO＝∠AFO，同理可得，∠BFB1＝∠B1FO＝∠BFO，∴∠A1FB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝(∠AFO＋∠BFO)＝，即选项D正确．
13．已知圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0，圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，则圆N的标准方程为________．
解析：圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6,7)，半径为5.由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为N与x轴相切，与圆M外切，于是圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
答案：(x－6)2＋(y－1)2＝1
14．2022届·苏州质检)写出一个长轴长等于离心率8倍的椭圆标准方程为________．
解析：不妨设椭圆的焦点在x轴上，椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，因为长轴长等于离心率的8倍，故2a＝8，即a2＝4c，不妨令c＝1，则a2＝4，b2＝3，所以满足条件的一个椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1(答案不唯一)
15．(2021·淄博三模)已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，直线AB过F1与椭圆交于A，B两点，当△F2AB为正三角形时，该椭圆的离心率为________．
解析：不妨设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，根据椭圆定义，|AF1|＝2a－|AF2|，|BF1|＝2a－|BF2|，△F2AB为正三角形，|AF2|＝|BF2|，所以|AF1|＝|BF1|，即F1为线段AB的中点，根据椭圆的对称性知AB垂直于x轴．设|F1F2|＝2c，则|AF1|＝2ctan 30°＝，|AF2|＝＝.因为|AF1|＋|AF2|＝2a，即2c＝2a，所以e＝＝.
答案：
16．已知点A(4,4)在抛物线y2＝2px(p>0)上，该抛物线的焦点为F，过点A作直线l：x＝－的垂线，垂足为B，则p＝________，∠BAF的平分线所在的直线方程为________．
解析：因为点A(4,4)在抛物线y2＝2px(p>0)上，
所以42＝2p×4，所以p＝2，
则F(1,0)，kAF＝＝.
设直线AF的倾斜角为θ，
则tan θ＝＝，
解得tan＝，
因为AB⊥l，所以AB∥x轴，所以AF的倾斜角的平分线所在直线斜率即为∠BAF的平分线所在直线的斜率，所以其方程为y－4＝(x－4)，即x－2y＋4＝0.
答案：2　x－2y＋4＝0