2019-2021北京高三(上)期末数学汇编：平面向量数量积的坐标表示.docx

2019-2021北京高三（上）期末数学汇编
平面向量数量积的坐标表示
一、单选题
1．（2019·北京通州·高三期末（理））设向量a=−3,4，b=0,−2,则与a+b垂直的向量的坐标可以是
A．(3,2) B．(3,−2) C．(4,6) D．(4,−6)
2．（2019·北京石景山·高三期末（理））已知向量a=(−12,32),b=(32,−12)，则下列关系正确的是（　　）
A．(a+b)⊥b B．(a+b)⊥a
C．(a+b)⊥(a−b) D．(a+b)//(a−b)
3．（2020·北京顺义·高三期末）设非零向量a,b满足(a−2b)⊥a，则“|a|=|b|”是“a与b的夹角为π3”的（       ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2019·北京海淀·高三期末（文））已知向量a=(2,0),b=(t,1)，且a⋅b=|a|，则a−b=
A．(1,1) B．(1,−1) C．(−1,1) D．(−1,−1)
5．（2019·北京大兴·高三期末（文））已知向量i→=(1,0)，j→=(0,1)，若|a→|=1，则（a→+i→）•（a→+j→）的最大值为
A．3 B．2−1 C．2 D．2+1
6．（2020·北京大兴·高三期末）若向量a=(2,0),b=(1,1)，则下列结论正确的是
A．a⋅b=1 B．|a|=|b|． C．(a−b)⊥b D．a∥b
二、填空题
7．（2021·北京昌平·高三期末）已知向量a=(2,m), b=(1,2)，且a⊥b，则实数m=_______.
8．（2020·北京通州·高三期末）已知向量a→=3,−2,b→=1,m,若a→ ⊥(a→−b→),则m=___________.
三、双空题
9．（2019·北京房山·高三期末（文））已知向量a=(1, 3), b=(2, 1)，则a⋅b=___；a与b夹角的大小为___.
10．（2021·北京丰台·高三期末）已知正六边形ABCDEF的边长为1．那么AB⋅AF=_______．若AD=xAB+yAF，则x+y________．

参考答案
1．C
【分析】
求出a→+b→=(−3，2)，判断哪个选项的向量与（﹣3，2）的数量积是0即可得出答案．
【详解】
a→+b→=(−3，2)；
可看出（4，6）•（﹣3，2）＝0；
∴(4，6)⊥(a→+b→)．
故选C．
【点睛】
本题考查向量坐标的加法和数量积运算，以及向量垂直的充要条件．
2．C
【分析】
根据向量的坐标运算，以及数量积运算，逐项判断即可.
【详解】
解：a+b=(3−12,3−12)；
∴(a+b)•b=3−34−3−14=2−32≠0；
∴a+b不与b垂直；
∴A错误；
(a+b)•a=1−34+3−34=2−32≠C；
∴a+b不与a垂直；
∴B错误；
又(a+b)•(a−b)=a2−b2=1−1=0；
∴(a+b)⊥(a−b)；
∴C正确，D错.
故选C．
【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，以及向量的数量积运算，熟记相关概念，即可求出结果，属于基础题型.
3．C
【解析】
先根据(a−2b)⊥a求出当“|a|=|b|”时a与b的夹角,再判断命题间的关系.
【详解】
因为设非零向量a,b满足(a−2b)⊥a,
所以(a−2b)⋅a=0,即a2−2b⋅a=0，即|a|2−2|b|⋅|a|cos=0
若 “a|=|b|”时，
cos=12,=π3,
即a与b的夹角为π3.
反之，若a与b的夹角为π3，则|a|2−2|b|⋅|a|cos=|a|2−|b|⋅|a|=0⇒|a|=|b|，
所以“|a|=|b|”是“a与b的夹角为π3”充分必要条件.
故选：C
【点睛】
本题考查向量垂直的定义和命题间的基本关系,属于基础题.
4．B
【分析】
利用已知条件求出t，然后可得结果．
【详解】
因为a⋅b=|a|，所以，2t＝2，t＝1，
a−b=（2,0）－（1,1）＝（1，－1），
故选B
【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目．
5．D
【分析】
向量加法的坐标运算及及数量积的运算有：a→+i→=（1+cosθ，sinθ），a→+j→=（cosθ，1+sinθ），（a→+i→）•（a→+j→）＝（1+cosθ）cosθ+sinθ（1+sinθ）
由三角函数辅助角公式有：（a→+i→）•（a→+j→）＝1+2sin（θ+π4），再求最值即可.
【详解】
解：由|a→|＝1设a→=（cosθ，sinθ），
则a→+i→=（1+cosθ，sinθ），a→+j→=（cosθ，1+sinθ），
所以（a→+i→）•（a→+j→）＝（1+cosθ）cosθ+sinθ（1+sinθ）＝1+2sin（θ+π4）≤1+2，
即（a→+i→）•（a→+j→）的最大值为：1+2，
故选D．
【点睛】
本题考查了向量的坐标运算及数量积的运算，三角函数辅助角公式及最值，属简单题．
6．C
【详解】
本题考查向量的坐标运算．
解答：选项A、a⋅b=(2,0)⋅(1,1)=2．
选项B、|a|=2,|b|=2
选项C、(a−b)⋅b=(1,−1)(1,1)=0，正确．
选项D、因为1×2≠1×0所以两向量不平行．
7．−1
【解析】
根据a⊥b，由a⋅b=0利用坐标运算求解.
【详解】
因为向量a=(2,m), b=(1,2)，且a⊥b，
所以2×1+m×2=0，

解得m=−1，
故答案为：-1
8．−5
【解析】
根据向量垂直，数量积为0列方程求解即可.
【详解】
由题：a→ ⊥(a→−b→)，所以a→⋅(a→−b→)=0，a→2−a→⋅b→=0
所以9+4−(3−2m)=0，
解得：m=−5.
故答案为：−5
【点睛】
此题考查向量数量积的坐标运算，根据两个向量垂直，数量积为0建立方程计算求解.
9．     5     π4；
【分析】
直接由向量数量积的坐标运算公式即可得a⋅b，由向量的夹角公式得cosθ=22，进而可求出两向量夹角．
【详解】
因为向量a=(1, 3), b=(2, 1)，
由向量数量积的坐标运算得a⋅b=1×2+3×1=5，
设a与b的夹角为θ，由向量的夹角公式得：cosθ=a⋅ba⋅b=510⋅5=22，
∵θ∈[0,π]，∴θ=π4，故答案为5，π4．
【点睛】
本题考查了向量数量积的坐标运算、向量的夹角公式的坐标运算，考查了学生的计算能力，属简单题．
10．     −12     4
【解析】
以A为原点，建立平面直角坐标系，根据正六边形，分别求得点A，B，D，F的坐标，利用平面向量的数量积和线性运算求解.
【详解】
以A为原点，建立如图所示平面直角坐标系：

则A0,0,B1,0,D1,3,F−12,32，
所以AB=1,0,AF=−12,32,AD=1,3，
所以AB⋅AF=−12，xAB+yAF=x−12y,32y，
因为AD=xAB+yAF，
所以x−12y=132y=3，
解得x=2y=2，
所以x+y=4
故答案为：−12，4

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