待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(基础).doc

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（基础）

【学习目标】
1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；
2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．

【要点梳理】
要点一、用待定系数法求二次函数解析式
1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：
(1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)；
(2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；
(3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．
2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，
或，其中a≠0；
第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；
第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；
第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．
要点诠释：
在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为．

【典型例题】
类型一、用待定系数法求二次函数解析式
1．（2020秋•岳池县期末）已知二次函数图象过点O（0，0）、A（1，3）、B（﹣2，6），求函数的解析式和对称轴．
【答案与解析】
解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
把O（0，0）、A（1，3）、B（﹣2，6）各点代入上式得

解得，
∴抛物线解析式为y=2x2+x；
∴抛物线的对称轴x=﹣=﹣=﹣．
【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax2+bx+c (a≠0).
举一反三：

【变式】已知：抛物线经过A（0，），B（1，），C（，）三点，求它的顶点坐标及对称轴．
【答案】设(a≠0)，据题意列，解得，
所得函数为
对称轴方程：，顶点.
2.（2020•巴中模拟）已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．
【答案与解析】
解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），
设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，
把点（2，3）代入解析式，得：
a﹣2=3，即a=5，
∴此函数的解析式为y=5（x﹣1）2﹣2．
【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式.
举一反三：

【变式】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点.
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标.
【答案】（1）．
（2）令，得，解方程，得，．
∴二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和．
∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．
平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为.
3．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．

【答案与解析】
解法一：设二次函数解析式为(a≠0)，由图象知函数图象经过点(3，0)，(0，3)．
则有 解得
∴ 抛物线解析式为．
解法二：设抛物线解析式为(a≠0)．
由图象知，抛物线与x轴两交点为(-1，0)，(3，0)．
则有，即．
又，∴ ．
∴ 抛抛物物解析式为．
解法三：设二次函数解析式为(a≠0)．
则有，将点(3，0)，(0，3)代入得
解得
∴ 二次函数解析式为，即．
【总结升华】二次函数的解析式有三种不同的形式，它们是相互联系、并可相互转化的，在实际解题时，一定要根据已知条件的特点，灵活选择不同形式的解析式求解．
类型二、用待定系数法解题
4．已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y轴交于点C．
(1)求二次函数解析式；
(2)求△ABC的面积．
【答案与解析】
(1)设抛物线解析式为(a≠0)，将(3，5)代入得，
∴ ．
∴ ．
即．
(2)由(1)知C(0，8)，
∴ ．
【总结升华】此题容易误将(3，5)当成抛物线顶点．将抛物线解析式设成顶点式．