山东省青岛第五十八中学2021-2022学年高三上学期期中测试数学试题.doc

青岛五十八中2021-2022学年第一学期
高三数学期中测试试题
注意事项：
1．本试卷共3页，22小题，满分150分，考试时间为120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔填土在答题卡上。
3．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在涂其他答案。答案不能答在试卷上。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知点，，，则点A到直线BC的距离是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，终边分别是射线和射线，且射线和射线关于轴对称，射线与单位圆的交点为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．若直线(，)截圆：所得的弦长为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图是四棱锥的平面展开图，四边形是矩形，，，，，.在四棱锥中，（ ）
A． B．
C． D．
6．设，，，则，，的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知直线与圆相交于P，Q两点，O为坐标原点，且，则实数b的所有取值之积为（ ）
A． B． C． D．
8．设是函数的导数，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对的得2分。有选错的得0分。
9．若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，下列结论中错误的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的图像关于直线对称
C．在单调递增 D．的最大值为
11．斐波那契数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称“兔子数列”．指的是这样的一个数列：，，，，，，，，，在数学上定义，，（，），则下列选项正确的是（ ）
A．（，） B．
C．设的前项和为，若，则
D．（）
12．如图1，在矩形与菱形中，，，，分别是，的中点.现沿将菱形折起，连接，，构成三棱柱，如图2所示，若，记平面平面，则（ ）
A．平面平面 B．
C．直线与平面所成的角为60° D．四面体的外接球的表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。
13．过两点、的直线的倾斜角为，则实数的值为_______.
14．已知函数，若对任意两个不相等的实数、，都满足不等式，则实数的取值范围是______．
15．若函数的最小正周期为，则函数在上的值域为_______．
16．将正三角形（1）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图（2）；将图（2）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作正三角形，然后去掉底边，得到图（3）；如此类推，将图（）的每条边三等分，并以中间的那一条线段为底边向外作三角形，然后去掉底边，得到图．上述作图过程不断的进行下去，得到的曲线就是美丽的雪花曲线．若图（1）中正三角形的边长为1，则图（）的周长为__________，图（）的面积为___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。
17．（10分）
如图，已知△ABC与△ADC关于直线AC对称，把△ADC绕点A逆时针旋转，得到△AFE，若B，C，E，F四点共线，且，.
（1）求BC；
（2）求△ADE的面积.

18．（12分）
已知为等比数列，，记数列满足，且.
（1）求和的通项公式；
（2）对任意的正整数，设，求的前项的和.

19．（12分）
大数据时代对于数据分析能力的要求越来越高，数据拟合是一种把现有数据通过数学方法来代入某种算式的表示方式.比如是平面直角坐标系上的一系列点，其中是不小于的正整数，用函数来拟合该组数据，尽可能使得函数图像与点列比较接近.其中一种衡量接近程度的指标是函数的拟合误差，拟合误差越小越好，定义函数的拟合误差为：.已知在平面直角坐标系上，有5个点的坐标数据如下表所示：

2.2
1
2
4.6
7
（1）若用函数来拟合上述表格中的数据，求；
（2）若用函数来拟合上述表格中的数据.
①求该函数的拟合误差的最小值，并求出此时的函数解析式；
②指出用中的哪一个函数来拟合上述表格中的数据更好？

20、（12分）
已知四棱锥，底面为菱形， ,H为上的点，过的平面分别交于点，且平面．
（1）证明： ；
（2）当为的中点， ，与平面所成的角为，求二面角的余弦值．

21．（12分）
已知圆：，点是直线：上的动点，若点，，直线，与圆的另一个交点分别为，.
（1）若点，求直线的方程；
（2）求证：直线与轴交于一个定点，并求定点坐标.

22．（12分）
已知函数.
（1）若，求函数的极值点；
（2）若函数存在两个不同的零点，，证明：.
2021-2022学年第一学期高三期中测试
数学参考答案
一、 单选题CBDB AACC
二、多选题
9.AB 10.ACD 11.ABC 12.AB
三、填空题：
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）解法一：由题意可得，，所以△ACE为正三角形，（旋转前后图形的大小､形状相同及旋转角度得到△ACE为正三角形），则，在△ABC中，，，设，则由余弦定理可得，即，
整理得，得（负值舍去），所以；
解法二：由题意可得，，所以△ACE为正三角形，（旋转前后图形的大小､形状相同及旋转角度得到△ACE为正三角形），则，在△ABC中，，，由正弦定理得：，所以，易得，所以，
在△ABC中，由正弦定理得，即，得；
（2）
解法一：在△ABC中，由余弦定理可得：，
所以， 所以.在△ADE中，，，所以△ADE的面积.
解法二：由（1）知，易得， 所以，在△ADE中，，，
所以△ADE的面积.
18解：（1）设等比数列的公比为，对任意的，则，则，所以，，
因为，可得，因为，则，，所以，；
（2）当为奇数时，，前项中所有的奇数项的和为
当为偶数时，，记，
，
两式相减得，
所以，.
故数列的前项和.

19.解：（1）若用函数来拟合上述表格中的数据，
，
则；
（2）①若用函数来拟合上述表格中的数据，则

，
则当时，的最小值为，此时.
②由上可知， ， ，
当时，>，此时用来拟合上述表格中的数据更好；当或时，=，用拟合效果一样；
当或时，<，此时用来拟合上述表格中的数据更好.
20.解（1）证明：连结交于点，连结．因为为菱形，所以，且为、的中点，因为，所以，
因为且平面，所以平面，
因为平面，所以．
因为平面， 平面，且平面平面，
所以，所以．
（2）由（1）知且，因为，且为的中点，
所以，所以平面，所以与平面所成的角为，
所以，所以，因为，所以．
分别以， ， 为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则
，
所以．
记平面的法向量为，则，
令，则，所以，
记平面的法向量为，则，
令，则，所以，
记二面角的大小为，则．
所以二面角的余弦值为 ．
21.解：（1）直线方程为，由解得，直线的方程，由解得，所以，所以直线的方程为，即.
（2）证明：设，则直线的方程为，直线的方程为.
由得，同理.所以直线的斜率，所以直线的方程为，即.所以直线过定点.
22.解：（1）由题易知，函数的定义域为，当时，，令函数，则.
因为，所以，故函数在上单调递减，又，
所以当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减.
所以函数只有一个极大值点，没有极小值点.
（2）由函数的两个零点分别为，，不妨令.
所以，即，即，
所以，.
要证明，即证，即证.
因为，所以即证，
即证，也就是证.
令，则，即证.
令，
则，
故函数在上单调递增，所以，即，所以.
10