徐州高二数学第一学期期中考试试卷(难).docx

徐州高二数学第一学期期中考试试卷（难）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）
1．抛物线的焦点坐标是 ．
2．命题“.”的否定是 ．
3．设是正方体的一条棱，这个正方体中与平行的棱共有 条．
4．“且”是“”成立的 条件．（填充分不必要，必要不充分，充要条件或既不充分也不必要）
5．已知椭圆上一点到左焦点的距离是2，则到左准线的距离为
．
6．曲线在点处的切线方程为 ．
7.在平面直角坐标系中，已知双曲线：（）的一条渐近线与直线： 垂直，则实数 ．
8.函数的单调增区间为 ．
9．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径之比为1：2，母线长为6cm，则圆锥的母线长为 cm．
10．函数在区间[0，π]上的最小值为 ．
11．设命题；命题．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 　 ．
12．已知函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围为
．
13.如图，已知椭圆C：，是其下顶点，是其右焦点，的延长线与椭圆及其右准线分别交于两点，若点恰好是线段的中点，则此椭圆的离心率 ．
14．设，函数，若对任意的，都有成立，则的取值范围为 ．
二、解答题（本大题共6小题，计90分）
15. （本题满分14分）如图，在三棱锥中，分别是边的中点．
G
A
H
E
F
D
C
B
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求证：是菱形．

[来源:Z|xx|k.Com]
[来源:Z.xx.k.Com]

15．（本题满分14分）设命题：关于的方程有实数根；命题：关于的不等式的解集是．若“或”为真，“且”为假，求的取值范围．

17. （本题满分15分）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且过点．
(1)求椭圆C1的标准方程
⑵若P是椭圆上一点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．

18. （本题满分15分）现有一张长80厘米、宽60厘米的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒， 要求材料利用率为l00％，不考虑焊接处损失．
方案一：如图(1)，从右侧两个角上剪下两个小正方形，焊接到左侧中闻，沿虚线折起，求此时铁皮盒的体积；
方案二：如图(2)，若从长方形的一个角上剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，求该铁皮盒体积的最大值，并说明如何剪拼?

19．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知分别是椭圆
E:的左、右焦点，分别是椭圆E的左、右顶点，且.
（1）求椭圆E的离心率；
（2）已知点为线段的中点，M 为椭圆上的动点（异于点、），连接并延长交椭圆于点，连接、并分别延长交椭圆于点、，连接，设直线、的斜率存在且分别为、，试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

20. （本题满分16分）已知函数,其中是实数.设
,为该函数图象上的两点,且.
(1)指出函数的单调区间;
(2)若函数的图象在点处的切线互相垂直,且,求的最小值；
(3)若函数的图象在点处的切线重合,求的取值范围．

高二数学期中试卷参考答案
1.；2.；3.3 ；4.充分不必要； 5. ；6.；7.2 ；
8.； 9.12 ； 10. ； 11. ；12.；13. ；14.
15.（1）为的中点，且．
为的中点，且．
由平行公理，且，所以四边形是平行四边形；
（2），同理，，．
由（1）四边形是平行四边形，所以四边形是菱形．
16.真：或，真：
因为“或”为真，“且”为假，则一真一假。
若真假或，若真假
综上：的范围是
17.（1）；（2）∵，PF1+PF24，∴PF1·PF2=2，
=
18．方案一：设小正方形的边长为，由题意得，，
所以铁皮盒的体积为．
方案二：设底面正方形的边长为，长方体的高为，
由题意得，即，
所以铁皮盒体积，
，令，解得或（舍），
当时，；当时，，所以函数在时取得最大值．将余下材料剪拼成四个长40cm，宽20cm的小长方形作为正方形铁皮盒的侧面即可．
答：方案一铁皮盒的体积为；方案二铁皮盒体积的最大值为，将余下材料剪拼成四个长40cm宽20cm的小长方形作为正方形铁皮盒的侧面即可．
19．解：（1），.，化简得，
故椭圆E的离心率为.
（2）存在满足条件的常数，.点为线段的中点，，从而，左焦点，椭圆E的方程为.设，，，，则直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，.，.从而，故点.同理，点.三点、、共线，，从而.
从而.
故，从而存在满足条件的常数，.
20解:（1）函数的单调递减区间为,单调递增区间为,
（2）由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为,点B处的切线斜率为,故当点A处的切线与点B处的切垂直时,有.
当时,对函数求导,得.
因为,所以,
所以.
因此
当且仅当==1,即且时等号成立.
所以函数的图象在点处的切线互相垂直时,的最小值为1
（3）当或时,,故.
当时,函数的图象在点处的切线方程为
,即
当时,函数的图象在点处的切线方程为
,即.
两切线重合的充要条件是
由①及知,.
由①②得,.
令，则且。
设，则
所以在为减函数。则，而当趋近于0时，无限增大，所以的取值范围是。
故当函数的图象在点处的切线重合,求的取值范围是。