黑龙江省齐齐哈尔市2022届高三第一次模拟考试数学(理科)试题.doc

高三理科数学试题
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：高考范围．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设i为虚数单位，若复数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．命题：的否定为（ ）
A． B．
C． D．
4．设单位向量满足，则向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．若m，n是空间中两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．设，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则实数的值为（ ）
A．4 B． C． D．
8．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a，b，c成等差数列，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．中华文化综罗百代，广博精微，国学经典中蕴藏着中华五千年历史的智慧精髓．某校学生会举办“传承中华文化，诵读国学经典”活动，供选择的诵读经典著作为：《春秋》、《史记》、《左传》、《孙子兵法》．经过层层遴选，有三位选手进入决赛，这三位选手可以从如上著作中，任选一篇文章诵读．那么这三位选手中，恰有两人诵读的篇目取自于同一部著作的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．如图是某几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ）

A． B． C． D．
11．已知双曲线的左，右焦点分别为，直线l过且与双曲线交于A，B两点，若直线l不与x轴垂直，且，则直线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数对任意都有，则正数t的最小值为（ ）
A． B． C．e D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．抛物线的准线与圆，相交所得的弦长为__．
14．橘生淮南则为橘，生于准北则为枳，出自《屡子使楚》．意思是说，橘树生长在淮河以南的地方就是橘树，生长在淮河以北的地方就是积树，现在常用来比喻一且环境改变，事物的性质也可能随之改变．某科研院校培育橘树新品种，使得橘树在淮北种植成功，经过科学统计，单个果品的质量（单位：g）近似服从正态分布，且，在有1000个的一批橘果中，估计单个果品质量不低于的橘果个数为___________．
15．已知，则________．
16．已知函数的部分图象如图所示．将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，则下列有关与的描述正确的有________（填序号）．

①；
②方程所有根的和为；
③函数与函数图象关于对称．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
设数列的前n项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
棉花是我国主要经济作物、纺织工业原料、重要战略物资．量化我国棉花生产碳足迹，解析其时空变化规律，阐明其主要构成因素与影响要素，对于“碳达峰，碳中和”愿景下我国棉花绿色可持续生产具有重要意义．某地因地制宜发展特色棉花种植，随着人们种植意识的提升和科技人员的大力指导，越来越多的农田开始种植棉花，近4年该地区棉花种植面积如下表：（单位：百亩）
年度
2018
2019
2020
2021
年度代码x
1
2
3
4
种植面积y
306
347
390
420
（1）请利用所给数据求棉花种植面积y与年度代码x之间的回归直线方程，并估计该地区2022年棉花的种植面积；
（2）针对近几年来棉花出现的生理性蕾铃脱落，及棉花枯、黄萎病等问题，某科研小组随机抽查了100亩棉花，对是否按时足量施用硼肥和棉花产量进行统计得到如下数据：

亩产
亩产
未按时足量施用硼肥
20
10
按时足量施用硼肥
58
12
问：是否有90%的把握认为棉花产量与是否按时足量施用硼肥有关？
参考公试：线性回归方程：，其中，
，其中．
临界值表：

0.15
0.10
0.05
0.01

2.072
2.706
3.841
6.635
19．（本小题满分12分）
已知平面四边形由等腰和组成，，O为上的点且（如图1所示），将等腰沿折起，点M折至点D位置，使得平面平面（如图2所示）．

（1）求证：；
（2）若点E在棱上，且满足，平面和平面所成锐二面角的余弦值为，求四面体的体积．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆E经过点和点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设圆，直线l与圆C相切于，与椭圆交于A，B两点，且，求直线l的方程．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若关于x的不等式在区间上恒成立，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求曲线C的普通方程以及直线l的直角坐标方程；
（2）设点，直线l交曲线C于A，B两点，求的值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）若的解集为R，求正数m的取值范围；
（2）若，函数的最小值为t，，
求证：．
高三理科数学试题参考答案、提示及评分细则
1．B 因为，故．故选B．
2．D 由，得，由，解得，所以，所以，故选D．
3．C 根据特称命题的否定为全称命题，只有选项C符合题意．故选C．
4．C 设向量的夹角为，两边平方得，所以，因为，所以．故选C．
5．C 对于A，若，则m与相交、平行或，故A错误；对于B，若，则m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若，则，故C正确；对于D，若，则与相交或平行，故D错误．故选C．
6．D 因为，又，所以．故选D．
7．A 根据已知得，所以，解得．故选A．
8．A 因为，故可得，又因为a，b，c成等差数列，故可得，由余弦定理可得，故选A．
9．C 根据分步计数原理得到该三名选手诵读总的情形为种，三人中恰有两人诵读的篇目取自于同一部著作的情况为，结合古典概型得到概率为．故选C．
10．A 由三视图可知，该几何体上半部分是一个圆锥，下半部分是一个半球，圆锥底面半径为r，高为r，母线长为，下半部分是一个半球，半径为r．如图所示：

设几何体的表面积为．故选A．
11．B 由已知得到．设，直线，显然．由得．因为l与双曲线交于两点，所以，且．设的中点为．根据，得到，从而得到，故．而，，，所以，解得，故l的斜率为，故选B．
12．D 根据题意得，即，令，则，因为在上单调递增，所以，所以在上恒成立，所以，即，所以正数t的最小值为．故选D．
13． 抛物线的准线方程为，圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为2，圆心到准线的距离为1，所以弦长为．
14．300 结合正态分布特征，，，所以估计单个果品质量不低于的橘果个数为．
15． ．
16．①③ 对于①，由题图知，于是，将的图象向左平移个单位长度，得的图象．于是，所以．由题意得，所以①正确；对于②，，由，得，因为，所以，所以或或，所以在给定范围内方程根的和为，故②错误；对于③，因为，所以与图象关于对称，故③正确．
17．解：（1）当时，解得，当时，， 2分
即，即， 4分
所以数列是公比为2的等比数列， 5分
又因为，所以． 6分
（2）结合（1）得，， 9分
所以
． 12分
18．解：（1）根据题意得到． 2分
因为，
所以， 4分
所以棉花种植面积y与年度代码x之间的回归直线方程．
当时，，
所以估计该地区2022年棉花的种植面积为462百亩． 6分
（2）结合已知数据得到列联表如下表所示：

亩产
亩产
合计

未按时足量施用硼肥
20
10
30
按时足量施用硼肥
58
12
70
合计
78
22
100
， 10分
所以有90%的把握认为棉花产量与是否按时足量施用硼肥有关． 12分
19．（1）证明：因为，所以在中，．
又因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，又因为平面，所以． 4分
（2）解：在平面内过点O作的垂线，建立空间直角坐标系如图所示：

设，则， 6分
． 7分
设平面的一个法向量，
则，即解得 8分
不妨取，则．结合（1）知，平面，
取平面的一个法向量，
则解得． 10分
在中，因为，所以， 11分
所以的面积为，
所以四面体的体积为． 12分
20．解：（1）设椭圆E方程为，（t，且）
将点代入椭圆方程得到解得，
所以椭圆的标准方程为． 4分
（2）不妨设直线l的方程为．
因为该直线与圆C相切，所以， 6分
所以，将直线方程代入椭圆方程并消去x得
，则． 8分
所以， 9分
解得，即或 11分
则直线l的方程为或． 12分
21．解：（1）因为函数的定义域为，且，当时，，此时的单调递增区间为； 2分
当时，令，解得，此时的单调递增区间为，令，解得，
此时的单调递减区间为． 3分
综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 4分
（2）不等式在区间上恒成立，
即在区间恒成立，
即在区间恒成立． 5分
所以当时，有成立，即． 6分
设，则．
设，令．
当时，；
当时，，即．
所以． 8分
①当时，，即在区间上单调递减，所以当时，，符合题意； 10分
②当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增，所以函数在上单调递减．
又，所以，使得．
且当，即在上单调递增，此时，不符合题意．
综上，实数a的取值范围是． 12分
22．解：（1）结合曲线C的参数方程，消去参数得． 2分
根据直线l的极坐标方程为得，
所以直线l的直角坐标方程为． 5分
（2）结合（1）得直线l的倾斜角为，其一个参数方程为（t为参数）， 7分
设点A，B两点对应的参数分别为，
则将参数方程代入曲线C的普通方程得， 9分
所以，所以． 10分
23．（1）解：根据题意得，
所以，解得或． 3分
又因为，所以，
所以正数m的取值范围为． 5分
（2）证明：因为，所以，
所以，所以，所以， 7分
两边平方得，
．
因为，
，（当且仅当时取等号），
所以，
所以． 10分
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