福建省晋江市永春县第一中学2016-2017学年高一数学上学期期末考试试题.doc

福建省晋江市永春县第一中学2016-2017学年高一数学上学期期末考试试题（1班）
考试时间：120分钟 试卷总分：150分

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
开始

结束
输入
否
是
输出

1．在直角坐标系中，下列直线中倾斜角为钝角的是（　 　）
A． B． C． D．
2．线段的垂直平分线方程为（　 　）
A． B．
C． D．
3．执行右面的框图，若输出结果为，则输入的实数的值是（ ）
A． B． C． D．
4．函数与的图象有交点，若，则整数的值为（　 　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知，且满足，则下列大小关系正确的是（　 　）
A． B． C．l D．
y/
x/
O A/ A/
450

O /
6．已知圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则圆锥的体积为（ 　）
A． B． C． D．
7．已知水平放置的一梯形的斜二测画法的平面直观图是一个
如图所示的等腰梯形，且梯形的面积为，
则原梯形的面积为( )
A．2 B． C．2 D．4
8．若直线：和直线关于直线对称，那么直线恒过定点（ ）
　 A． B． C． D．

9．若函数在区间上既有最大值又有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是（　 　）
A． B． C． D．
11．若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是（　 ）
A． B． C． D．
12．若关于、的二元方程组有两组不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是，点和点的中点是，则_____．
14．直线与圆相交，所截得的弦长的范围为_________.
15．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池 盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水。天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸。若盆中积水深九寸，则平均降雨量是________寸。（1尺=10寸，，平均降雨量=）
16．一个多面体的直观图和三视图如图，是的中点，是棱上的任意一点（含顶点）．

①当点是棱的中点时，平面； ②；
③三棱锥的体积为； ④点是该多面体外接球的球心。
其中正确的是　 　．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知直线：和：．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求与之间的距离。

18．（12分）学校从参加高一年级数学竞赛考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分，最低分不小于40分）组成一个样本。共分成六段，，，…后画出频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求样本中数学成绩低于50分的学生人数
（2）求样本的众数、中位数、平均数。（精确到0.1）

19．（12分）如图，与正方形共用一边，平面平面，其中，，点是棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离．

20．（12分）已知函数．
（1）若，，求；
（2）若，且对任意的都成立，求的最小值．

21．（12分）如图，四边形中，，，，，，分别在上，，现将四边形沿折起，使得平面平面．
（1）若，求三棱锥的体积；
（2）求三棱锥的体积的最大值，并求此时二面角的正切值．

22．（12分）已知点，，动点满足．
（1）求点的轨迹方程；
（2）设的轨迹与轴的交点为，过作斜率为的直线与的轨迹交于另一点，若，求面积的最大值，并求出此时直线的方程．

永春一中高一年级期末考试数学科试卷（1）班参考答案（2017.01）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答 案
C
B
A
B
C
A
D
C
C
B
D
C
提示：11解：设f（x）=a|x|，g（x）=x2﹣，
当x∈[﹣1，1]时，g（x）∈[﹣，]，
∵fx）和g（x）都是偶函数，
∴只要保证当x∈[0，1]时，不等式a|x|＞x2﹣恒成立即可．
当x∈[0，1]时，f（x）=ax，
若a＞1时，f（x）=ax≥1，此时不等式a|x|＞x2﹣恒成立，满足条件．
若0＜a＜1时，f（x）=ax为减函数，而g（x）为增函数，
此时要使不等式a|x|＞x2﹣恒成立，则只需要f（1）＞g（1）即可，
即a＞1﹣=，此时＜a＜1，
综上＜a＜1或a＞1，
12解：由题意作函数n=1+与直线n=k（m﹣2）+4的图象如下，

直线n=k（m﹣2）+4过定点A（2，4），
当直线n=k（m﹣2）+4过点C时，=2，解得，k=，
当直线n=k（m﹣2）+4过点B时，k==，结合图象可知，＜k≤，
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、 14、 　15、3 16、①②③④
提示：16解：①M连接AB中点E，N连接BC中点F，得到MNFE平行于平面ACC1A1，
面面平行⇒线面平行，①正确；②M连接A1C中点G，连接C1G，A1C⊥平面MNC1G．∴MN⊥A1C；②正确；
③三棱锥N﹣A1BC的体积为VN﹣A===a3，③正确；④由三视图可知：此多面体是正方体切割下来了的，M是A1B的中点（空间对角线中点），是正方体中心，∴点M是该多面体外接球的球心．故④正确．
三、解答题第17题10分，其他每题12分，共70分）
17、解：（1）∵直线l1：x+my+1=0和l2：（m﹣3）x﹣2y+（13﹣7m）=0，
∴当l1⊥l2时，1•（m﹣3）﹣2m=0，解得m=﹣3； ……………………5分
（2）由l1∥l2可得m（m﹣3）+2=0，解得m=1或m=﹣2，
当m=2时，l1与l2重合，应舍去，
当m=1时，可得l1：x+y+1=0，l2：﹣2x﹣2y+6=0，即x+y﹣3=0，
由平行线间的距离公式可得d==2 ……………………10分
18、解：(1)在 组的频率为1-（0.015+0.015+0.03+0.025+0.005）*10=0.1
………………2分
所以，样本中数学成绩低于50分的学生人数=0.1*60=6（人）………………4分
(2) 众数为 75； ……………………6分
根据图形信息有：10*0.01+10*0.03+0.03*x=0.5，解得x=3.3,所以中位数为73.3
…………………9分
根据图形信息平均数为：45*0.1+55*0.15+65*0.15+75*0.3+85*0.25+95*0.05=71
…………………12分
19、解：（1）证明：连接AC，交BD于O，连接EO，
∵ABCD是正方形，∴O是AC的中点，
∵点E是棱PA的中点，∴PC∥OE，又∵OE⊂平面BDE，BD平面BDE，
∴PC∥平面BDE； ……………………6分
（2）解：取AD的中点N，连接PN
∵PA=PD，∴PN⊥AD，又∵平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PN⊥平面ABCD，
∴∠PAN为直线PA与平面ABCD所成角∴∠PAN=60° ………………7分
∴PA=PD=AD=2，
∵AB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴AB⊥平面PAD， ……………………8分
∴VB﹣DAE==，………………10分
Rt△EAB中，EA=1，AB=2，BE=，
∵，BD=2，∴DE⊥EB，
∴S△BDE==．………………11分
设点A到平面BDE的距离为h．则，∴h=，
∴点A到平面BDE的距离为．………………12分
20、解：（1）∵f（1）==1，∴b=a﹣2，………………2分
又f（2）﹣4=﹣4＞0，∴﹣4=＞0，………………4分
∴2＜a＜，∵a∈Z，∴a=3，b=1，
∴f（x）=； ………………6分
（2）b=1时，由（1）得：f（x）=，
f（x）＞1恒成立即＞1对任意x∈（2，+∞）恒成立，
即a＞=+对任意x∈（2，+∞）恒成立，………………9分
令t=，∴t∈（0，），于是+=2t2+t∈（0，1），
∴a≥1，a的最小值是1．………………12分
21、解：（1）∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC=EF，FD⊥EF，
∴FD⊥平面ABEF，又AF⊂平面ABEF，
∴FD⊥AF，又AF⊥EF，FD∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC， ………………3分
∴ ………………6分
（2）设BE=x，∴AF=x（0＜x≤6），FD=8﹣x，
∴V三棱锥A﹣CDF=，………………8分
∴当x=4时，V三棱锥A﹣CDF有最大值，且最大值为，………………9分
在直角梯形CDEF中，EF=2，CE=2，DF=4，∴CF=2，CD=2，DF=4，
∴CF2+CD2=DF2，∠DCF=90°，∴DC⊥CF，
又AF⊥平面EFDC，DC⊂平面EFDC，
∴DC⊥AF，又AF∩CF=F，∴DC⊥平面ACF，
∴DC⊥AC，
∴∠ACF为二面角A﹣CD﹣E的平面角，
tan==，
∴二面角A﹣CD﹣E的正切值为．………………12分
22、解解：（1）设M（x，y），∵|MA|=2|MB|，
∴=2，化为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．…5分
（2）令x=0，解得y=2，∴P（0，2）．
直线的方程为：y=kx+2，（k≠0）代入圆的方程可得：（1+k2）x2﹣4x=0，
解得x=0，或x=．∴Q．………………7分
∴|PQ|==．………………8分
点C到直线的距离d==．………………9分
∴△CPQ面积S=|PQ|•d=××==≤=1，当且仅当|k|=1时取等号．
∴△CPQ面积的最大值1时，此时直线的方程为：y=±x+2．………………12分

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