[中学联盟]江苏省江阴市青阳中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学(文)试题.doc

2015-2016学年第二学期期中考试
高二数学（文科）
一、填空题（共14题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题纸相应位置上）
1.已知集合，则集合A的子集的个数为 ▲
2.命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是___▲_____
3.已知i为虚数单位，＝2，则正实数a＝__▲___
4.函数y=的值域为 ▲
5.由①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的依次为 ▲ （写序号）
6.函数的增区间是 ▲
7.若函数f（xm﹣1）xα是幂函数，则函数g（x）=loga（x﹣m）（其中a＞0，a≠1）的图象过定点A的坐标为　▲　．
8.已知命题p:和命题q:，若p是q的充分不必要条件，则实数
的取值范围 ▲
中&华&资*源%库9.若x，a=lnx，b=，c=elnx，则a，b，c的大小关系为 ▲
10.若f(x)为R上的奇函数，且在内是增函数，又f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为_▲
11. 已知函数f(x)是R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log8(x＋1)，则f(－2 013)＋f(2 014)的值为___▲___
12. 已知函数在区间上恒有>0,则实数的取值范围为▲
13.已知函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)－af(x)＝0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是___▲_____．
14.设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数k使得对于任意xM（MA），有x+kA，且f（x+k）≥f（x），则称f（x）为M上的k高调函数，如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，且函数f（x）为R上的4高调函数，那么实数a的取值范围为 ▲
二、解答题：(本大题共6小题，共90分)[来源:学科网ZXXK]

15. (本题满分14分)设复数z=a+bi（a，bR，a＞0，i是虚数单位），且复数z满足，复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．
（1）求复数z；（2）若为纯虚数（其中mR），求实数m的值．

16. (本题满分14分)设命题p：关于x的函数为增函数；命题q：不等式
对一切实数均成立．若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，
求实数a的取值范围．

17. (本题满分14分)若x＞0，y＞0，且x+y＞2，（1）时，分别比较和与2的大小关系；（2）依据（1）得出的结论，归纳提出一个满足条件x、y都成立的命题并证明．

18本题满分16分）在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为每分钟x米，每分钟的用氧量为升；②水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；③返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升．
（1）将y表示为x的函数；（2）若x，求总用氧量y的取值范围．

19.（本题满分16分）已知函数，g（x）=|lgx|．（1）若f（x）是幂函数，求a的值并求其单调递减区间；（2）关于x的方程g（x﹣1）+f（1）=0在区间[来源:Zxxk.Com]
上有两不同实根x1，x2（x1＜x2），求的取值范围．
中&华&资*源%库

20.（本题满分16分）设函数是奇函数．
（1）求常数k的值；（2）设，试判断函数y=f（x）在R上的单调性，并解关于x的不等式f（x2）+f（2x﹣1）＜0．（3）若，且函数在区间上的最小值为﹣2，求实数m的值。

[来源:学+科+网Z+X+X+K]
2015-2016学年第二学期高二数学（文）期中考试试卷
参考答案及评分标准 2016.05
丁蜀高级中学 谈琴 13585039307
说明：本解答给出的解法仅供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准由组长制订相应的评分细则．
一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1. 2个； 2. 若tan α≠1，则α≠ ； 3.；
4. [0，1）； 5. ②③① 6.
7.（3,0）； 8. 9. b＞c＞a； [来源:学§科§网Z§X§X§K]
10.. (－2,0)∪(0,2) ; 11. ； 12.；
13. (0,1) 14. 。
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （本题满分14分）
（1）设z=a+bi（a，bR，a＞0），由得：a2+b2=10．① -------1’
又复数（1+2i）z=（1+2i）（a+bi）=（a﹣2b）+（2a+b）i在复平面上对应的点
在第一、三象限的角平分线上，则a﹣2b=2a+b即a=﹣3b．② --------3’
由①②联立方程组，
解得或． ---------------------------------5’
∵a＞0，∴a=3，b=﹣1．
∴z=3﹣i； --------------------------7’
（2）由， -------------- 8’
可得=
=， --------------------10’
∵为纯虚数，∴， ----------------------------------12’
解得m=﹣5． ----14’
16. （本题满分14分）
当命题p为真命题时， --------3’
当命题q为真命题时，∴ -----------------6’
由命题“p或q”为真，且“p且q”为假，得命题p、q一真一假
① 当p真q假时，则，无解； ----------------------9’
② ②当p假q真时，则，得﹣1≤a≤1， --------12’
∴实数a的取值范围是． -----------------------14’
17. （本题满分14分）
（1）当，时，=3＞2，=1＜2；
当时，=8＞2，＜2；
当时，=＜2，=＜2 ---------------------6’
（2）命题：若x＞0，y＞0且x+y＞2，则，至少有一个小于2．--------9’
证明：假设≥2，≥2， --------------------------------10’
∵x＞0，y＞0，∴1+y≥2x，1+x≥2y．∴2+x+y≥2x+2y，∴x+y≤2．
这与已知x+y＞2矛盾． 假设不成立．∴和中至少有一个小于2． -----14’

中&华&资*源库18.（本题满分16分）
（1）依题意，下潜所需时间为分钟；返回所需时间为分钟，
∴，
整理得：（x＞0）； -------------------------6’
（2）由基本不等式可知，当且仅当即x=6时取等号，----8’
因为,所以在上单调递减，在上单调递增，---------12’
(用定义证明单调性，或求导均可；若直接写出结果，未说明单调性，则扣2分)
所以当x=6时，y取最小值7，
又因为当x=4时；当x=8时，
所以y的取值范围是：． ---16’
19.（本题满分16分）
（Ⅰ）∵f（x）=（a﹣1）xa（aR），f（x）是幂函数，
∴由题有a﹣1=1，得a=2． -------------2’
单调递减区间 -------------4’
（Ⅱ）方程化为g（x﹣1）=1﹣a，
由题有函数y=g（x﹣1）与y=1﹣a在x（1，3）上有两不同交点． ----------5’
y=g（x﹣1）=|lg（x﹣1）|= -------------------7’
在x时，y=g（x﹣1）单调递减，y=g（x﹣1），
在x时，y=g（x﹣1）单调递增，y=g（x﹣1），----------------9’
（作图，数形结合给出关系式也可）
所以0＜1﹣a＜lg2，即1﹣lg2＜a＜1， --------------------------11’
由x1＜x2，可知x1，x2，
且即
相加消去a，可得lg（x1﹣1）+lg（x2﹣1）=0，即（x1﹣1）（x2﹣1）=1，
展开并整理得x1x2=x1+x2，即． --------------------14’
所以的取值范围为（2﹣lg2，2）． ------------------16’

20（本题满分16分）
(1）(解法一)：函数f（x）=k•ax﹣a﹣x的定义域为R，
f（x）是奇函数，所以f（0）=k﹣1=0，即有k=1． ---------------2’
当k=1时，f（x）=ax﹣a﹣x，f（﹣x）=a﹣x﹣ax=﹣f（x），
则f（x）是奇函数，故所求k的值为1； ----------4’
(解法二)：函数f（x）=k•ax﹣a﹣x的定义域为R，
由题意，对任意xR，f（﹣x）=﹣f（x），
即k•a﹣x﹣ax=a﹣x﹣k•ax，（k﹣1）（ax+a﹣x）=0，
因为ax+a﹣x＞0，所以，k=1． ---------------4’
（2）由（1），f（x）=ax﹣a﹣x，设x1，x2R，且x1＜x2，则：
；
∵a＞1，x1＜x2；，又；
∴f（x1）﹣f（x2）＜0；即f（x1）＜f（x2）；
∴函数f（x）在R上是单调递增函数；
由f（x2）+f（2x﹣1）＜0，得f（x2）＜﹣f（2x﹣1）；
即f（x2）＜f（1﹣2x）；
f（x）在R上单调递增； --------------------8’
∴x2＜1﹣2x，即x2+2x﹣1＜0；
解得；
∴原不等式的解为． ----10’
（3）由，得，解得a=3或（舍）．
所以g（x）=32x﹣3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x）， ------------------------------12’[来源:学#科#网]
令t=3x﹣3﹣x，则t是关于x的增函数，，
g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，
当时，则当时，，解得；
当时，则当t=m时，，m=±2（舍去）．----------15’
综上，． -----------------16’