2017-2021北京初二(上)期中数学汇编：勾股定理的逆定理.docx

2017-2021北京初二（上）期中数学汇编
勾股定理的逆定理
一、单选题
1．（2021·北京大兴·八年级期中）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（       ）
A．2，3，4 B．7，24，25 C．6，8，10 D．5，12，13
2．（2018·北京西城·八年级期中）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是(       )
A．3，4，5 B．1，1，2
C．8，12，13 D．2、3、5
3．（2019·北京昌平·八年级期中）下列各组数据分别为三角形的三边长，不能组成直角三角形的是（       ）
A．9，12，15 B．7，24，25 C．8，15, 17 D．3，5，7
4．（2018·北京西城·八年级期中）下列线段不能组成直角三角形的是(       )．
A．a＝6，b＝8，c＝10 B．a=1，b=2，c=3
C．a=54，b=1，c=34 D．a=2，b=3，c=6
5．（2017·北京东城·八年级期中）在下列由线段a，b，c的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（       ）．
A．a=1.5，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4
C．a=4，b=5，c=6 D．a=5，b=12，c=13
6．（2017·北京西城·八年级期中）以长度分别为下列各组数的线段为边，其中能构成直角三角形的是（       ）．
A．2，3，4 B．5，12，12 C．1，2，3 D．6，8，9
7．（2017·北京海淀·八年级期中）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（       ）．
A．6，8，10 B．8，15，17 C．1，3，2 D．2，2，23
8．（2017·北京东城·八年级期中）下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．1.5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15
二、填空题
9．（2019·北京昌平·八年级期中）若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为_____cm2．
10．（2017·北京东城·八年级期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC是__________三角形．

三、解答题
11．（2021·北京大兴·八年级期中）△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a:b:c=1:3:2，试判断△ABC的形状并说明理由．
12．（2021·北京朝阳·八年级期中）如图，每个小正方形的边长都是1．A、B、C、D均在网格的格点上．

（1）∠BCD是直角吗？请证明你的判断．
（2）直接写出四边形ABCD的面积
（3）找到格点E，并画出四边形ABED（一个即可），使得其面积与四边形ABCD面积相等．
13．（2020·北京海淀·八年级期中）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1顶点B1,C1的坐标；
（2）△ABC的面积等于 ．

14．（2019·北京昌平·八年级期中）如图所示，在△ABC 中，CD⊥AB 于 D，AC=4，BC=3，CD=125

（1）求 AD 的长；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
15．（2017·北京东城·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AB=2，BC=4，CD=AD=6．
（1）求∠BAD的度数．
（2）求四边形ABCD的面积．

16．2017·北京东城·八年级期中）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5．
(1)求证：AD⊥BC；
(2)求CD的长

17．（2019·北京西城·八年级期中）如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，求BC的长．

参考答案
1．A
【分析】
欲判断能否构成直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】
解：A、22＋32≠42，不能构成直角三角形；
B、72＋242＝252，能构成直角三角形；
C、62＋82＝102，能构成直角三角形；
D、52＋122＝132，能构成直角三角形．
故选：A．
【点睛】
本题考查了利用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法．在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
2．C
【分析】
根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可作出判断．
【详解】
A. 32+42=52，能构成直角三角形，故不符合题意；
B. 12+12=（2）2，能构成直角三角形，故不符合题意；
C. 82+122≠132，不能构成直角三角形，故符合题意；
D.（2）2+（3）2=（5）2，能构成直角三角形，故不符合题意，
故选C.
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
3．D
【分析】
由已知得其符合勾股定理的逆定理才能构成直角三角形，对选项一一分析，选出正确答案．
【详解】
A、92+122=152，能构成直角三角形，故正确；
B、72+242=252，能构成直角三角形，故正确；
C、82+152=172，能构成直角三角形，故正确；
D、32+52≠72，不能构成直角三角形，故错误．
故选D．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
4．D
【分析】
根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】
解：A、∵62＋82＝102，∴能组成直角三角形，故本选项错误；
B、∵12＋（2）2＝（3）2，∴能组成直角三角形，故本选项错误；
C、∵（34）2＋12＝（54）2，∴能组成直角三角形，故本选项错误；
D、∵22＋（6）2≠32，∴不能组成直角三角形，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
5．D
【详解】
A、1.52+22=254≠32=9，故选项A错误；
B、22+32=13≠42=16，故选项B错误；
C、42+52=41≠62=36，故选项C错误；
D、52+122=169=132=169，故选项D正确．
故选D.
点睛:本题考查了勾股定理逆定理的应用,如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
6．C
【详解】
根据勾股定理可判断，若a2+b2=c2，则称三角形为直角三角形．
A．22+32=13≠42．
B．52+122=169≠122．
C．12+(2)2=3=(3)2．
D．62+82=100≠92．
故选C．
7．D
【详解】
A选项中，因为62+82=100=102，所以A中三条线段能构成直角三角形；
B选项中，因为82+152=289=172，所以B中三条线段能构成直角三角形；
C选项中，因为12+(3)2=4=22，所以C中三条线段能构成直角三角形；
D选项中，因为22+22=8≠(23)2，所以D中三条线段不能构成直角三角形.
故选D.
点睛：三条线段中，若较短两条线段的“平方和”等于其中最长线段的“平方”，则这三条线段能构成直角三角形，否则就不能构成直角三角形.
8．A
【分析】
由勾股定理的逆定理可以判断能不能构成直角三角形．
【详解】
A、由1.52+22≠32，所以不能作为直角三角形的三边长，故本选项正确；
B、由72+242=252，所以能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；
C、由62+82=102，所以能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；
D、由92+122=152，所以能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；
故选A．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理逆定理是解题关键．
9．120
【分析】
设三边的长是5x，12x，13x，根据周长列方程求出x的长，则三角形的三边的长即可求得，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，然后利用面积公式求解．
【详解】
解：设三边分别为5x，12x13x，
则5x+12x+13x＝60，
∴x＝2，
∴三边分别为10cm，24cm，26cm，
∵102+242＝262，
∴三角形为直角三角形，
∴S＝10×24÷2＝120cm2．
故答案为：120．
【点睛】
本题考查三角形周长，一元一次方程，直角三角形的判定以及勾股定理逆定理的理解与运用，三角形面积，比较基础，掌握三角形周长，一元一次方程，直角三角形的判定以及勾股定理逆定理的理解与运用，三角形面积是解题关键．
10．直角三角形
【详解】
∵AB2=32+22=13，BC2=42+62=52，AC2=12+82=65，
∴AB2+BC2=AC2,
∴△ABC为直角三角形．
点睛：本题考查了勾股定理逆定理的应用，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
11．△ABC是直角三角形，理由见解析
【分析】
根据勾股定理的逆定理进行判断即可；
【详解】
△ABC是直角三角形
理由：
∵a:b:c=1:3:2，
∴设a=k，b=3k，c=2k，
∵k<3k<2k
∵a2+b2=k2+3k2=4k2，
c2=4k2，
∴a2+b2=c2
所以△ABC是直角三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理的应用，熟记简单的能构成直角三角形的三边之比的数字是解题的关键．
12．（1）不是直角，证明见解析；（2）14；（3）见解析
【分析】
（1）利用勾股定理，判断即可．
（2）利用分割法求解即可．
（3）取格点E，连接BE，DE即可．
【详解】
解：（1）∠BCD不是直角．
理由：∵BC2＝52+22＝29，CD2＝5，BD2＝42+42＝32，
∴BC2+CD2≠BD2，
∴∠BCD不是直角．
（2）S四边形ABCD＝5×5﹣12×2×5﹣12×1×5﹣12×1×2﹣12×1×3﹣1＝14．
（3）如图，四边形ABED即为所求．

【点睛】
本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理以及逆定理，四边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

13．（1）图见解析，B1(2,2),C1(1,1)；（2）2．
【分析】
（1）先根据轴对称的性质画出点A1,B1,C1，再顺次连接即可得△A1B1C1，然后根据B1,C1在平面直角坐标系中的位置写出它们的坐标即可；
（2）先利用两点之间的距离公式分别求出AB、AC、BC的长，再根据勾股定理逆定理可得△ABC为直角三角形，然后利用直角三角形的面积公式即可得．
【详解】
（1）先根据轴对称的性质画出点A1,B1,C1，再顺次连接即可得到△A1B1C1，如图所示：

则B1(2,2),C1(1,1)；
（2）由图可知，A(0,4),B(-2,2),C(-1,1)，
∴AB=(2-0)2+(2-4)2=22，
AC=(-1-0)2+(1-4)2=10，
BC=(-1+2)2+(1-2)2=2，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是以∠ABC为直角的直角三角形，
∴△ABC的面积为12AB⋅BC=12×22×2=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了画轴对称图形、勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握轴对称图形的画法是解题关键．
14．（1）   AD=165；（2）直角三角形
【分析】
（1）在Rt△ACD中，直接运用勾股定理求出AD的长即可；
（2）利用勾股定理求出BD的长，得出AB的长，现款通称此股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形.
【详解】
（1）∵在△ACD中，CD⊥AB 于 D，AC=4,CD=125,
∴AD=AC2-CD2=42-(125)2=165；
（2）∵在△BCD中，CD⊥AB 于 D，BC=3,CD=125,
∴BD=BC2-CD2=32-(125)2=95，
∴AB=AD+BD=165+95=5，
∵42+32=52，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形.
【点睛】
此题主要考查了勾股定理.俄国承认知识点是勾股定理及其逆定理，关键是根据勾股定理求出AB的长.
15．（1）135°（2）23+3
【详解】
试题分析： （1）由等腰直角三角形的性质得出∠DAC=∠ACD=45°，由AC2=AD2+CD2=2×6=12可得AC=23，由勾股定理的逆定理证出∠BAC=90°，即可得出所求；
（2）四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积，代入计算即可．
解：（1）连结AC，

∵AD=CD=6，∠D=90°，
∴∠DAC=45°，AC=23，
∵AB=2，BC=4，
∴AB2+AC2=22+(23)2=16，
∵BC2=42=16，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=135°．
（2）在Rt△ABC中，S△ABC=12⋅AB⋅AC=12×2×23=23．
在Rt△ADC中，S△ACD=12⋅AD⋅CD=12×6×6=3．
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=23+3．
点睛：此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、勾股定理的逆定理，割补法求图形的面积，熟练掌握勾股定理和逆定理是解本题的关键．
16．9
【分析】
（1）逆用勾股定理即可正确作答.
            （2）在RT△ADC，应用勾股定理即可求解.
【详解】
(1)证明：∵122=144，52=25，132=169
∴52+122=132
即BD2+AD2=AB2
∴△ABD是直角三角形
∴∠ADB=90°
∴AD⊥BC
(2)解：∵AD⊥BC
∴∠ADC=90°
在RT△ADC中
CD2=AC2-AD2
CD=152-122
CD=9
∴CD的长为9
【点睛】
本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用．灵活应用勾股定理是解决一些实际问题的关键.
17．261
【详解】
试题分析：延长AD到E使AD=DE，连接CE，证△ABD≌△ECD，求出AE和CE的长，根据勾股定理的逆定理求出∠E=90°，根据勾股定理求出CD即可．
试题解析：延长AD到E使AD=DE，连接CE，

在△ABD和△ECD中{AD=DE∠ADB=∠EDCBD=DC，
∴△ABD≌△ECD，
∴AB=CE=5，AD=DE=6，AE=12，
在△AEC中，AC=13，AE=12，CE=5，
∴AC2=AE2+CE2，       ∴∠E=90°，
由勾股定理得：CD=DE2+CE2=61，
∴BC=2CD=261，
答：BC的长是261．
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