2019-2021北京重点校初二(下)期中数学汇编：矩形.docx

2019-2021北京重点校初二（下）期中数学汇编
矩形
一、单选题
1．（2019·北京·清华附中八年级期中）如图所示，有一张一个角为60°的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是( )

A．邻边不等的矩形 B．等腰梯形
C．有一角是锐角的菱形 D．正方形
2．（2019·北京四中八年级期中）矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（　　）

A．1 B． C． D．
3．（2019·北京·101中学八年级期中）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，BE＝1，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则EC的长为（　　）

A． B．2 C．3 D．2
4．（2019·北京·北大附中八年级期中）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等
5．（2021·北京师大附中八年级期中）下列关于矩形的说法中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．矩形的对角线互相垂直且平分
6．（2019·北京·北师大实验中学八年级期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOD=120°，AC=4，则CD的长为(　　)

A．2 B．3 C．2 D．2
7．（2019·北京四中八年级期中）如图，在矩形中，对角线交于点，于点，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
8．（2019·北京·清华附中八年级期中）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝4，OC＝7，则另一条直角边BC的长为_____．

9．（2019·北京·北师大实验中学八年级期中）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为_______.

10．（2019·北京·北师大实验中学八年级期中）如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=6，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则线段A'B的长度为____，折痕DG的长度为____．

11．（2019·北京四中八年级期中）如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点落在同一平面内，落点记为，与交于点，若，则的长为_________．

12．（2019·北京·人大附中八年级期中）如图，已知点为矩形边上的一点，作于，且满足．下面结论①；②；③；④．其中正确的结论是：_____________（只填序号）

13．（2020·北京四中八年级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BOC＝120°，AB＝3，则BC的长为_____．

14．（2020·北京四中八年级期中）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，AE＝CF，∠EFB＝45°，若AB＝5，BC＝13，则AE的长为_____．

三、解答题
15．（2019·北京·101中学八年级期中）在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点P是边BC上一点（点P不与点B，点C重合），点C关于直线AP的对称点为C'．
（1）如果C'落在线段AB的延长线上．
①在图①中补全图形；
②求线段BP的长度；
（2）如图②，设直线AP与CC'的交点为M，求证：BM⊥DM．

16．（2019·北京四中八年级期中）在平面直角坐标系xOy中，M为直线l：x＝a上一点，N是直线l外一点，且直线MN与x轴不平行，若MN为某个矩形的对角线，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为直线l的“伴随矩形”．如图为直线l的“伴随矩形”的示意图．

（1）已知点A在直线l：x＝2上，点B的坐标为（3，﹣2）
①若点A的纵坐标为0，则以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”的面积是　 ；
②若以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”是正方形，求直线AB的表达；
（2）点P在直线l：x＝m上，且点P的纵坐标为4，若在以点（2，1），（﹣2，1），（﹣2，﹣1），（2，﹣1）为顶点的四边形上存在一点Q，使得以PQ为对角线的直线l的“伴随矩形”为正方形，直接写出m的取值范围．
17．（2020·北京四中八年级期中）如图，矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上的任意一点，点P为线段AE的中点，连接BP并延长与边AD交于点F，点M为边CD上的一点，且CM＝DE，连接FM．
（1）依题意补全图形；
（2）求证∠DMF＝∠ABF．

参考答案
1．D
【详解】
如图：此三角形可拼成如图三种形状，

（1）为矩形，∵有一个角为60°，则另一个角为30°，∴此矩形为邻边不等的矩形；
（2）为菱形，有两个角为60°；
（3）为等腰梯形．故选D．
2．C
【详解】
分析：延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP=GF=1，GH=PH=PG，再利用勾股定理求得PG=，从而得出答案．
详解：如图，延长GH交AD于点P，

∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，
∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，
∴AD∥GF，
∴∠GFH=∠PAH，
又∵H是AF的中点，
∴AH=FH，
在△APH和△FGH中，
∵，
∴△APH≌△FGH（ASA），
∴AP=GF=1，GH=PH=PG，
∴PD=AD﹣AP=1，
∵CG=2、CD=1，
∴DG=1，
则GH=PG=×=，
故选C．
点睛：本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．
3．B
【分析】
根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AE=2，再根据直角三角形两锐角互余求出∠AEB=60°，根据翻折变换的性质可得∠AEB1=∠AEB，根据两直线平行，内错角相等可得∠EAC1=∠AEB1=60°，然后判断出△AEC1是等边三角形，根据等边三角形的性质可得EC1=AE，再根据翻折变换的性质可得EC=EC1．
【详解】
∵矩形纸片ABCD，∠BAE＝30°，
∴AE＝2BE＝2×1＝2，
∠AEB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣30°＝60°，
∵AB沿AE翻折点B落在EC1边上的B1处，
∴∠AEB1＝∠AEB＝60°，
∵矩形对边AD∥BC，
∴∠EAC1＝∠AEB1＝60°，
∴△AEC1是等边三角形，
∴EC1＝AE＝2，
∵EC沿BF翻折点C落在AD边上的C1处，
∴EC＝EC1＝2．
故选B．
【点睛】
本题考查了翻折变换，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，熟记翻折前后对应边相等，对应角相等是解题的关键．
4．B
【分析】
矩形、菱形正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
【详解】
解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键．
5．B
【详解】
试题分析：A．对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；
B．矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；
D．矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；
故选B．
考点：矩形的判定与性质．
6．A
【分析】
根据邻补角的定义求出∠COD＝60°，再根据矩形的对角线互相平分且相等可得AO＝BO＝CO＝DO＝2，然后判断出△COD是等边三角形，根据等边三角形三条边都相等可得CD＝DO＝2．
【详解】
∵∠AOD=120°，
∴∠COD=180°﹣∠AOD=180°﹣120°=60°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO=2，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=DO=2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并判断出△COD是等边三角形是解题的关键．
7．B
【分析】
根据，求出，进而求出，根据矩形性质证明，推出，即可求出答案．
【详解】
解：设，则，
四边形是矩形，
，
，
，
即，
，
，
，
四边形是矩形，
相等且互相平分，
，
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，关键是求出，明确本题中所含的四个等腰三角形．
8．
【分析】
过O作OF⊥BC，过O作OM⊥AC，根据正方形的性质得出∠AOB＝90°，OA＝OB，求出∠BOF＝∠AOM，根据AAS证△AOM≌△BOF，推出AM＝BF，OM＝FO，求出四边形CMOF为矩形，得出等腰直角三角形OCF根据勾股定理求出CF＝OF的长，求出BF，即可求出答案．
【详解】
过O作OF⊥CB，交CB的延长线于F，过O作OM⊥AC于M，

∵∠ACB＝90°，
∴∠BCM＝∠OFB＝∠CMO＝90°，
∴四边形CMOF是矩形，
∴OM＝CF，CM＝OF，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠AOM+∠BOM＝90°，
又∵∠FOM＝90°，
∴∠BOF+∠BOM＝90°，
∴∠BOF＝∠AOM，
在△AOM和△OBF中

∴△AOM≌△BOF(AAS)，
∴AM＝BF，OM＝OF，
∴OF＝CF，
∵∠CFO＝90°，
∴△CFO是等腰直角三角形，
∵OC＝7，
由勾股定理得：CF＝OF＝,
∴BF＝AM＝AC﹣CM＝AC﹣OF＝﹣＝,
∴BC＝﹣＝3．
故答案为：3．
【点睛】
此题考查矩形的判定定理，正方形的性质，三角形全等的判定及性质定理，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理.
9．20．
【详解】
∵AB＝5，AD＝12，
∴根据矩形的性质和勾股定理，得AC＝13.
∵BO为Rｔ△ABC斜边上的中线
∴BO＝6.5
∵O是AC的中点，M是AD的中点，
∴OM是△ACD的中位线
∴OM＝2.5
∴四边形ABOM的周长为：6.5＋2.5＋6＋5＝20
故答案为20
10． 4 3．
【分析】
在矩形中根据勾股定理可求出BD的长，由折叠得DA＝DA′＝6，进而求出A′B，在Rt△A′BG中，由勾股定理建立方程可求出A′G，即AG，在Rt△ADG中，由勾股定理可求出DG．
【详解】
∵矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=6，
∴BD10，
由折叠得：DA=DA'=6，GA=GA'，
∴A'B=DB﹣DA'=10﹣6=4，
设GA=GA'=x，则GB=8﹣x，
在Rt△A'BG中，由勾股定理得：x2+42=(8﹣x)2，
解得：x=3，即AG=3，
在Rt△ADG中，由勾股定理得：DG3．
故答案为：4，3．
【点睛】
本题考查矩形的性质、勾股定理、折叠的性质，设未知数建立方程是解决此类问题的常用方法．
11．
【分析】
先根据折叠与矩形性质，证明，再设，在Rt△中，根据勾股定理构造关于的方程，解方程即可．
【详解】
解：由折叠得，，
∵四边形ABCD为矩形，
∴，
∴，
，
，
设，则，
在Rt△中，，
解得，
的长为．
故答案为：
【点睛】
本题考查了轴对称的性质以及勾股定理．折叠在数学上一般表现为轴对称变换，折叠前后图形全等，即对应边和对应角相等．解题时，结合矩形特点利用勾股定理构造方程，即可求解．本题中证明是解题关键．
12．①②④
【分析】
利用“HL”即可证明Rt△DEF≌Rt△DEC得出①正确；在证明△ABE≌△DFA得出S△ABE=S△ADF，即可判定②④正确；没有条件可证明AF=AB，③不正确，从而得出结论．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠ABE=90°，AD∥BC，AB=CD，
∵DF=AB，
∴DF=CD，
∵DF⊥AE，
∴∠DFA=∠DFE=90°，
在Rt△DEF和Rt△DEC中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DEC(HL)，①正确；
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAF，
在△ABE和△DFA中，
，
∴△ABE≌△DFA(AAS)，
∴S△ABE=S△ADF；②正确；
∴BE=AF，④正确，
没有条件可证明AF=AB，③不正确；
正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
13．3．
【分析】
根据矩形的性质求出AC＝2AO，AO＝BO，根据等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，求出AB＝AO＝3，求出AC，再根据勾股定理求出BC即可．
【详解】
解：，
，
四边形是矩形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
14．4
【分析】
过E作EM⊥BC于M，根据矩形的性质得出∠A＝∠B＝90°，得出四边形ABME是矩形，根据矩形的性质得出EM＝AB＝5，AE＝BM，求出EM＝FM＝5，根据BC＝13和AE＝CF＝BM求出即可．
【详解】
解：如图，过E作EM⊥BC于M，
则∠EMF＝∠EMB＝90°，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABME是矩形，
∵AB＝5，
∴EM＝AB＝5，AE＝BM，
∵∠EFB＝45°，∠EMF＝90°，
∴∠MEF＝45°＝∠EFB，
∴EM＝FM＝5，
∵BC＝13，AE＝CF＝BM，
∴2AE+5＝13，
解得：AE＝4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定，熟练掌握这些知识并合理的作出辅助线是解题的关键．
15．（1）①详见解析；② ；（2）详见解析.
【分析】
（1）①根据要求画出图形即可；
②连接AC，作PH⊥AC于H．则△APB≌△APH，可得AB=AH=1，PB=PH，设PB=PH=x，利用勾股定理构建方程即可；
（2）如图②中，连接AC、BD交于点O．连接OM．只要证明A、B、M、C、D五点共圆，即可解决问题.
【详解】
（1）①如图①所示：

②连接AC，作PH⊥AC于H．则△APB≌△APH，
∴AB＝AH＝1，PB＝PH，设PB＝PH＝x，
∵AC＝，
∴CH＝﹣1，
在Rt△PCH中，x2+（﹣1）2＝（2﹣x）2，
解得x＝，
∴PB＝．
（2）如图②中，连接AC、BD交于点O．连接OM．

∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵∠AMC＝90°，
∴OM＝OA＝OB＝OC＝OD，
∴A、B、M、C、D五点共圆，
∵BD是直径，
∴∠BMD＝90°，
∴BM⊥DM．
【点睛】
本题考查作图-轴对称变换，矩形的性质，五点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题．
16．（1）①以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”AMBN的面积为2；②直线AB的表达式为y＝﹣x+1或y＝x﹣5；（2）m的范围为﹣7≤m≤﹣1或1≤m≤7．
【分析】
（1）①根据“伴随矩形”的定义画出图形即可解决问题；
②根据题意，当以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”为正方形时，点A的坐标为（2，-1）或（2，-3），利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图3中，求出经过特殊位置时当P坐标即可解决问题：当Q1坐标为（-2，-1）时，可得P1（-7，4）；当Q2坐标为（2，1）时，可得P2（-14）；当Q3坐标为（2，-1）时，可得P3（7，4）；当Q4坐标为2，1）时，可得P4（1，4）；再结合图象即可解决问题；
【详解】
（1）①如图1中，∵A（2，0），B（3，﹣2）．

∴以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”AMBN的面积＝1×2＝2．
②如图2中，

根据题意，当以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”为正方形时，
点A的坐标为（2，﹣1）或（2，﹣3）．
可得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+1或y＝x﹣5．
（2）如图3中，

当Q1坐标为（﹣2，﹣1）时，可得P1（﹣7，4）；
当Q2坐标为（2，1）时，可得P2（﹣14）；
当Q3坐标为（2，﹣1）时，可得P3（7，4）；
当Q4坐标为（﹣2，1）时，可得P4（1，4）；
观察图象可知：在以点（2，1），（﹣2，1），（﹣2，﹣1），（2，﹣1）为顶点的四边形上存在一点Q，使得以PQ为对角线的直线l的“伴随矩形”为正方形时，m的范围为﹣7≤m≤﹣1或1≤m≤7．
【点睛】
本题考查一次函数综合题、矩形的性质、正方形的性质、“伴随矩形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点解决问题，属于中考压轴题．
17．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）按要求画图即可；
（2）延长BF交CD的延长线于点N，首先证明△APB和△EPN全等，得到EN＝AB，再根据已知条件利用垂直平分线的性质定理证明FN＝FM，可得结论．
【详解】
（1）解：如图所示，

（2）证明：延长BF交CD的延长线于点N，

∵点P为线段AE中点，
∴AP＝PE，
∵AB∥CD，
∴∠PEN＝∠PAB，∠2＝∠N，
∵在△APB和△EPN中，
∵，
∴△APB≌△EPN（AAS），
∴AB＝EN
∴AB＝CD＝EN，
∵EN＝DN+DE，CD＝DM+CM，
∵DE＝CM，
∴DN＝DM，
∵FD⊥MN，
∴FN＝FM，
∴∠N＝∠1，
∴∠1＝∠2，
即∠DMF＝∠ABF．
【点睛】
本题考查了几何作图、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，作出合适的辅助线是解题的关键．
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