2020年高考数学一轮(江苏理)-第4章-4-1-任意角、弧度制及任意角的三角函数.docx

考试内容
等级要求
三角函数的概念
B
同角三角函数的基本关系式
B
三角函数的诱导公式
B
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
B
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
A
两角和(差)的正弦、余弦及正切
C
二倍角的正弦、余弦及正切
B
正弦定理、余弦定理及其应用
B
§4.1　任意角、弧度制及任意角的三角函数
考情考向分析　以理解任意角三角函数的概念、能进行弧度与角度的互化和扇形弧长、面积的计算为主，常与向量、三角恒等变换相结合，考查三角函数定义的应用及三角函数的化简与求值，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．题型以填空题为主，低档难度．

1．任意角
(1)角的概念的推广
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
(2)终边相同的角
终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．
(3)弧度制
①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
③弧度与角度的换算：360°＝2π rad；180°＝π rad；1°＝ rad；1 rad＝度．
④弧长公式：l＝|α|r.
2．任意角的三角函数
在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝>0)．
则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
三个三角函数的性质如下表：
三角函数
定义域
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
sin α
R
＋
＋
－
－
cos α
R
＋
－
－
＋
tan α
{α|α≠kπ＋，k∈Z}
＋
－
＋
－

3.三角函数线
如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.
三角函数线

有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线

概念方法微思考
1．总结一下三角函数值在各象限的符号规律．
提示　一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2．三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，怎样定义角α的三角函数？
提示　设点P到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(　×　)
(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　√　)
(3)不相等的角终边一定不相同．　×　)
(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　√　)

题组二　教材改编
2．[P10T6]角－225°＝________弧度，这个角在第________象限．
答案　－　二
3．[P14例1]若角α的终边经过点Q，则sin α＝________，cos α＝________.
答案　　－
4．[P10T8]一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角为________弧度．
答案　

题组三　易错自纠
5．在0到2π范围内，与角－终边相同的角是________．
答案　
解析　与角－终边相同的角是2kπ＋(k∈Z)，令k＝1，可得与角－终边相同的角是.
6．已知点P在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．
答案　
解析　因为点P在第四象限，
所以根据三角函数的定义可知tan θ＝＝－，
又θ∈，所以θ＝.
7．函数y＝的定义域为____________________________．
答案　(k∈Z)
解析　∵2cos x－1≥0，
∴cos x≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，

∴x∈(k∈Z)．

题型一　角及其表示
1.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为____________________．

答案　(k∈Z)
解析　∵在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为，
∴所求角的集合为(k∈Z)．
2．设集合M＝，N＝，那么集合M，N的关系是________．
答案　M⊆N
解析　由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；
而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N.
3．终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为______________________．
答案　
解析　如图，

在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[02π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，π；
在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－π，－π，故满足条件的角α构成的集合为.
4．若角α是第二象限角，则是第________象限角．
答案　一或三
解析　∵α是第二象限角，
∴＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，
∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．
综上，是第一或第三象限角．
思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置．
题型二　弧度制及其应用
例1 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.若α＝，R＝10 cm，求扇形的面积．
解　由已知得α＝，R＝10 cm，
∴S扇形＝α·R2＝··102＝(cm2)．
引申探究
1．若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积．
解　l＝α·R＝×10＝(cm)，
S弓形＝S扇形－S三角形
＝·l·R－·R2·sin
＝··10－·102·＝(cm2)．
2．若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解　由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R(0
解析　设扇形的圆心角为α(rad)，半径为r，
则扇形的面积为S＝r2α.
∴π＝×102×α，解得α＝.
(2)一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为________．
答案　
解析　设圆的半径为r，则扇形的半径为，
记扇形的圆心角为α，
由扇形面积等于圆面积的，
可得＝，解得α＝.
所以扇形的弧长与圆周长之比为＝＝.

题型三　三角函数的概念

命题点1　三角函数定义的应用
例2 (1)已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sin α·tan α＝________.
答案　－
解析　由OP2＝＋y2＝1，
得y2＝，y＝±.
当y＝时，sin α＝，tan α＝－，
此时，sin α·tan α＝－.
当y＝－时，sin α＝－，tan α＝，
此时，sin α·tan α＝－.
所以sin α·tan α＝－.
(2)(2018·江苏省常熟中学月考)在平面直角坐标系xOy中，点P在角的终边上，且OP＝2，则点P的坐标为________．
答案　(－1，)
解析　由题意可知，点P在角的终边上，
所以xP＝2×cos＝－1，
yP＝2×sin＝，
则点P的坐标为(－1，)．
(3)设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是第________象限角．
答案　二
解析　由θ是第三象限角知，为第二或第四象限角，
∵＝－cos ，∴cos <0，
综上可知，为第二象限角．
命题点2　三角函数线
例3 (1)满足cos α≤－的角的集合是________．
答案　
解析　作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连结OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，

故满足条件的角α的集合为.
(2)若－<α<－，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小关系是________．
答案　sin α0.则实数a的取值范围是________．
答案　(－2,3]
解析　∵cos α≤0，sin α>0，
∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．
∴　∴－2cos x成立的x的取值范围是______．
答案　
解析　当x∈时，sin x>0，cos x≤0，显然sin x>cos x成立；当x∈时，如图，

OA为x的终边，此时sin x＝MA，cos x＝OM，sin x≤cos x；当x∈时，如图，OB为x的终边，此时sin x＝NB，cos x＝ON，sin x>cos x．同理当x∈时，sin x>cos x；当x∈时，sin x≤cos x.

1．角－870°的终边所在的象限是第________象限．
答案　三
解析　由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角的终边相同，在第三象限．
2．若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．
答案　
解析　设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，∴正方形边长为r，∴圆心角的弧度数是＝.
3．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是________．
答案　1或4
解析　设扇形的半径为r，弧长为l，
则解得或
从而α＝＝＝4或α＝＝＝1.
4．(2018·无锡期末)已知角α的终边经过点P(x，－6)，且tan α＝－，则x的值为________．
答案　10
解析　根据三角函数的定义，得tan α＝＝－，
所以x＝10.
5．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为________．
答案　
解析　由题意得点P(－8m，－3)，r＝，
所以cos α＝＝－，解得m＝±，
又cos α＝－<0，所以－8m<0，即m>0，
所以m＝.
6．若角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且OP＝，则m－n＝________.
答案　2
解析　由已知tan α＝3，∴n＝3m，
又m2＋n2＝10，∴m2＝1.
又sin α<0，∴m＝－1，n＝－3.故m－n＝2.
7．点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为________．
答案　
解析　点P旋转的弧度数也为，

由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos ＝－，y＝sin ＝.
8．若sin θ·cos θ>0，sin θ＋cos θ<0，则θ在第________象限．
答案　三
解析　∵sin θ·cos θ>0，∴sin θ>0，cos θ>0或sin θ<0，cos θ<0.当sin θ>0，cos θ>0时，θ为第一象限角，当sin θ<0，cos θ<0时，θ为第三象限角．∵sin θ＋cos θ<0，∴θ为第三象限角．
9．若α是第三象限角，则y＝＋＝________.
答案　0
解析　由于α是第三象限角，所以是第二或第四象限角．
当是第二象限角时，y＝＋＝1－1＝0；
当是第四象限角时，y＝＋＝－1＋1＝0.
综上可知，y＝0.
10．已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为________．
答案　
解析　由题意知，点P，r＝1，所以点P在第四象限，
根据三角函数的定义得cos α＝sin ＝，
故α＝2kπ－(k∈Z)，所以α的最小正值为.
11．给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；
④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；
⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角．
其中正确的命题是________．(填序号)
答案　③
解析　举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin ＝sin ，但与的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．
综上可知，只有③正确．
12．函数y＝ 的定义域为________________．
答案　，k∈Z
解析　利用三角函数线(如图)，

由sin x≥，可知
2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.

13.如图，单位圆(半径为1的圆)的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交于点A，与钝角α的终边OB交于点B(xB，yB)，设∠BAO＝β，若sin β＝，则点B的坐标为________．

答案　
解析　由sin α＝，r＝1，得yB＝sin α＝sin＝－cos 2β＝2sin2β－1＝2×2－1＝.
由α为钝角，知xB＝cos α＝－＝－.
所以B.
14．若角α的终边落在直线y＝x上，角β的终边与单位圆交于点，且sin α·cos β<0，则cos α·sin β＝________.
答案　±
解析　由角β的终边与单位圆交于点，得cos β＝，又由sin α·cos β<0，知sin α<0，因为角α的终边落在直线y＝x上，所以角α只能是第三象限角．记P为角α的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x<0，y<0)，则|OP|＝1(O为坐标原点)，即x2＋y2＝1，又由y＝x得x＝－，y＝－，所以cos α＝x＝－，因为点在单位圆上，所以2＋m2＝1，解得m＝±，所以sin β＝±，所以cos α·sin β＝±.

15．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积＝×(弦×矢＋矢2)．弧田(如图1)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径为3米的弧田，如图2所示．按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是________平方米．(结果保留整数，≈1.73)

答案　5
解析　如题图2，由题意可得∠AOB＝，OA＝3，所以在Rt△AOD中，∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×3＝，可得CD＝3－＝，
由AD＝AO·sin ＝3×＝，可得AB＝2AD＝＝3.
所以弧田面积S＝(弦×矢＋矢2)＝×＝＋≈5(平方米)．
16.如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1,0)，∠BOA＝60°.质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动．

(1)求经过1 s后，∠BOA的弧度；
(2)求质点A，B在单位圆上第一次相遇所用的时间．
解　(1)经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，
此时∠BOA的弧度为＋3.
(2)设经过t s后质点A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1＋2)＋＝2π，解得t＝，
即经过 s后质点A，B在单位圆上第一次相遇．