2021北京重点校初一(下)期末数学汇编：相交线与平行线章节综合.docx

2021北京重点校初一（下）期末数学汇编
相交线与平行线章节综合
一、单选题
1．（2021·北京·清华附中七年级期末）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节间的距离，若间的距离调节到60，菱形的边长，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
2．（2021·北京·北大附中七年级期末）如图，下列能判定的条件有（ ）个．
（1）；（2）；（3）；（4）．

A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2021·北京·人大附中七年级期末）如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A＝108°，则∠BEC的度数是（ ）

A．134° B．140° C．144° D．156°
4．（2021·北京·101中学七年级期末）如图，直线a，b相交于点O，∠1=50°，那么∠3是（　　）

A．50° B．100° C．130° D．150°
5．（2021·北京·北大附中七年级期末）如图所示，下列判断正确的是( )

A．图⑴中∠1和∠2是一组对顶角 B．图⑵中∠1和∠2是一组对顶角
C．图⑶中∠1和∠2是一对邻补角 D．图⑷中∠1和∠2互为邻补角
6．（2021·北京·首都师范大学附属中学七年级期末）如图，已知∠1=∠2=∠3=55°，则∠4的度数是（　　）

A．110° B．115° C．120° D．125°
二、填空题
7．（2021·北京·首都师范大学附属中学七年级期末）如图，直线，点，分别在直线，上，点为直线与之间的一点，连接，，且，的角平分线与的角平分线交于点，则的度数为______．

8．（2021·北京·首都师范大学附属中学七年级期末）如图，把一个长方形纸条沿折叠，已知，，则______．

9．（2021·北京·101中学七年级期末）将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为____________度．

10．（2021·北京·北大附中七年级期末）如图，点A,B,C,D,E在直线上，点P在直线外，PC⊥于点C，在线段PA,PB,PC,PD,PE中，最短的一条线段是_____，理由是___

11．（2021·北京·北大附中七年级期末）以下五个条件中，能得到互相垂直关系的有___________．（填写序号）
①对顶角的平分线；　　　　　　　　　　②邻补角的平分线；
③平行线截得的一组同位角的平分线；　　④平行线截得的一组内错角的平分线；
⑤平行线截得的一组同旁内角的平分线．
12．（2021·北京·人大附中七年级期末）如图,直线AB､CD相交于点O,∠AOC＝60°,OE把∠BOD分成两部分,且∠BOE:∠EOD＝1:2,则∠BOE的度数为____．

三、解答题
13．（2021·北京·首都师范大学附属中学七年级期末）点到的距离定义如下：点为的两边上的动点，当最小时，我们称此时的长度为点到的距离，记为．特别的，当点在的边上时，．在平面直角坐标系中，四边形是以点，，，为顶点的正方形，作射线，则．
（1）如图1，点，,的位置如图所示，请用度量的方式，判断点,,中到的距离等于1的点是______；

（2）已知点在的内部，且，
①若点的横纵坐标都是整数，请写出一个满足条件的图点的坐标______；
②请在图1中画出所有满足条件的点；
（3）如图2，已知点，，，记射线与射线组成的图形为图形．若点在图形上，满足的点有______个．
14．（2021·北京·北大附中七年级期末）如图，已知直线，分别是直线上的点.
（1）在图1中，判断和之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）在图2中，请你直接写出和之间的数量关系（不需要证明）；
（3）在图3中，平分，平分，且，求的度数.

15．（2021·北京·首都师范大学附属中学七年级期末）已知，如图1，射线分别与直线,相交于、两点，的平分线与直线相交于点，射线交于点，设，，且．

（1）______，______；直线与的位置关系是______；
（2）若点、分别在直线和射线上，且，试找出与之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）若将图1中的射线绕着端点顺时针方向旋转（如图2），分别与、相交于点和点时，作的角平分线与射线相交于点，在旋转的过程中：
①若，则的大小为______．
②的值为______．
16．（2021·北京·北大附中七年级期末）已知：如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3，那么AD是∠BAC的平分线吗？若是，请说明理由．请完成下列证明并在下面的括号内填注依据．
解：是，理由如下：
∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知），
∴∠4＝∠5＝90°（ 　 　），
∴AD∥EG（ 　 　），
∴∠1＝∠E（两直线平行，同位角相等）；
∠2＝　 　（ 　 　）．
∵∠E＝∠3（已知），
∴∠1＝∠2（等量代换），
∴AD平分∠BAC（ 　 　）．

17．（2021·北京·人大附中七年级期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝124°，∠D＝118°，∠BCD的角平分线CF交AD于E，交BA的延长线于点F，连接CF，求∠F的度数．

18．（2021·北京·首都师范大学附属中学七年级期末）如图，//，．

（1）判定与的大小关系，并说明理由；
（2）若平分，于点E，，求的度数．
19．（2021·北京·101中学七年级期末）如图，ABCD，∠A＝70°，∠2＝35°，求∠1的度数．

20．（2021·北京·北大附中七年级期末）已知：∠AOB及∠AOB内部一点P．
（1）过点P画直线PC∥OA交OB于点C；
（2）过点P画垂线PD⊥OB于点D；
（3）测量∠AOB与∠CPD的度数，并猜想∠AOB与∠CPD的数量关系是 　 　．

21．（2021·北京·北大附中七年级期末）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，AB∥CD．
（1）若BC平分∠ABD，∠D＝100°，求∠ABC的度数．
（2）若∠1＝∠2，求证：AE∥FG．

参考答案
1．C
【分析】
如图（见解析），先根据菱形的性质可得，再根据全等的性质可得，然后根据等边三角形的判定与性质可得，最后根据平行线的性质即可得．
【详解】
如图，连接AC
四边形ABCD是菱形

如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，

是等边三角形

故选：C．

【点睛】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，理解题意，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
2．C
【分析】
根据平行线的判定定理分别进行判断即可．
【详解】
解：当∠B+∠BCD=180°，AB∥CD，符合题意；
当∠1=∠2时，AD∥BC，不符合题意；
当∠3=∠4时，AB∥CD，符合题意；
当∠B=∠5时，AB∥CD，符合题意．
综上，符合题意的有3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
3．C
【分析】
由于AB∥CD，根据平行线的性质可得∠A+∠ACD=180°，∠BEC+∠ECD=180°，而∠A=108°，易求∠ACD，再根据CE平分∠ACD，进而可求∠ECD，从而求∠BEC．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠ACD=180°，∠BEC+∠ECD=180°，
又∵∠A=108°，
∴∠ACD=72°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACD=36°，
∴∠BEC=180°-36°=144°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题的关键是先求出∠ECD．
4．C
【分析】
根据两条直线相交邻补角互补即可解决．
【详解】
∵∠1+∠3=180°，∠1=50°
∴∠3=180°－∠1=130°
故选：C．
【点睛】
本题考查了两条直线相交邻补角互补的性质，两条直线相交，有对顶角相等，邻补角互补．
5．D
【详解】
根据对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角；邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此可得图（4）中∠1和∠2互为邻补角，故选D.
6．D
【详解】
试题分析：∵∠1=∠2，∠5=∠1（对顶角相等），∴∠2=∠5，∴a∥b（同位角相等，得两直线平行）；∴∠3∠6=55°（两直线平行，内错角相等），故∠4=180°-55°=125°（邻补角互补）．故选D．

考点：平行线的判定与性质；对顶角、邻补角．
点评：解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
7．50°或130°
【分析】
分两种情况画图讨论：分别过点和点作，，根据平行线的性质，即可求解．
【详解】
分两种情况画图讨论：分别过点和点作，，
∴，
∵，
∴，
①如图1，

图1
∵，
∴，，
∴，
∵的角平分线与的角平分线交于点，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
②如图2，

图2
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵的角平分线与的角平分线交于点，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴．
综上所述：的度数为50°或130°．
故答案为：50°或130°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，添加平行线，是解题的关键．
8．58°
【分析】
由题意得AE∥BD，由此可求得，继而求得∠BAE的度数，再根据折叠的性质即可求得答案．
【详解】
∵四边形是长方形，
∴，
∵，，
∴ ，
∴，
∵折叠，
∴．
故填：58°．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等；也考查了两直线平行的性质，解题关键是掌握折叠的性质与平行线的性质．
9．75
【分析】
首先计算的度数，再根据平行线的性质可得，进而可得答案．
【详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：75．

【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质并能灵活应用是解题关键．
10．PC； 垂线段最短．
【分析】
点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长，根据定义即可选出答案．
【详解】
根据点到直线的距离的定义得出线段PC的长是点P到直线l的距离，从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．
故答案是：PC；垂线段最短．
【点睛】
本题考查了对点到直线的距离的应用，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长．
11．②⑤
【分析】
根据平行线的性质、邻补角的定义对各小题进行逐一分析即可．
【详解】
解：①对顶角的平分线是一条直线，故本选项错误；
②邻补角的平分线互相垂直，故本选项正确；
③平行线截得的一组同位角的平分线互相平行，故本选项错误；
④平行线截得的一组内错角的平分线互相平行，故本选项错误；
⑤平行线截得的一组同旁内角的平分线互相垂直，故本选项正确．
故答案为②⑤．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质及角平分线的定义等知识，熟知平行线的性质是解答此题的关键．
12．
【分析】
根据对顶角相等求出 的度数,再根据∠BOE:∠EOD＝1:2,即可求出∠BOE的度数．
【详解】
解:∵∠AOC＝60°,
∴ ,
∵∠BOE:∠EOD＝1:2,
∴ ,
故答案为:．
【点睛】
本题考查了对顶角相等的性质,熟记性质并准确识图是解题的关键．
13．（1），；（2）①答案不唯一，如，，等；②见解析；（3）6．
【分析】
（1）根据新定义画出图形，逐一分析并测量点,,中到的距离，从而可得答案；
（2）①在直线上确定点，且点的横纵坐标都是整数，且在的内部，从而可得答案；②作 且之间的距离为 之间的距离为 从而可得答案；
（3） 先求解 结合（2）得：如图，满足的点在的边上，且 平行线之间的距离是 同时在射线上，以及以为圆心为半径的上，且 平行线之间的距离是 再观察图形可得答案.
【详解】
解：（1）如图，过作于 过作于
则到的距离的最小值是
到的距离的最小值是经测量，
到的距离的最小值是经测量，

故答案为：，
（2）① 点在的内部，
如图，根据新定义可得：

如，，等点满足，且满足条件，
故答案为：，，
②点在的内部，
如图所示：作 且之间的距离为 之间的距离为

则满足条件的点在的边上.
（3）

结合（2）得：如图，满足的点在的边上，且 平行线之间的距离是 同时在射线上，以及以为圆心为半径的上，且 平行线之间的距离是

观察图形可得：符合要求，

与的一个交点符合题意，
综上：符合条件的点共有个，
故答案为：
【点睛】
本题考查的是新定义情境下的坐标与图形，同时考查了勾股定理的应用，点到直线的距离，同圆的半径相等，掌握以上知识是解题的关键.
14．（1），证明见析；（2）；（3）
【分析】
(1)如图，过点作直线，由平行线的性质得到，，即可求得；
(2)如图，记AB与NE的交点为G，由平行线的性质得∠EGM=∠DNE，由三角形外角性质得∠BME=∠MEN+∠EGM，由此即可得到结论；
(3)由角平分线的定义设，设，由(1)，得，由(2)，得，再根据，可求得，继而可求得.
【详解】
(1)，证明如下：
如图，过点作直线，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；

(2)，理由如下：
如图，记AB与NE的交点为G，

又∵AB//CD，
∴∠EGM=∠DNE，
∵∠BME是△EMG的外角，
∴∠BME=∠MEN+∠EGM，
∴∠MEN=∠BME-∠DNE；
(3)∵平分，
∴设，
∵平分，
∴设，
由(1)，得，
由(2)，得，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴.
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
15．（1）40，40；AB//CD；（2）当点H不在线段FM上时，；当点H在线段FM上时，；证明见解析；（3）①40°；②2．
【分析】
（1）根据题中即可求出的度数，然后根据平行线的判定方法即可求解；
（2）根据题意分点H在线段FM上和不在线段FM上两种情况讨论，分别根据平行线的性质求解即可；
（3）①根据平行线的性质求解即可．
②根据题意和平行线的判定方法证明出，然后根据设出未知数根据角度之间的关系求解即可．
【详解】
（1）∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（2）当点H在线段FM上时，．
理由：如图所示，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
当点H不在线段FM上时，．
理由：如图所示，

∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）①∵，
∴；
②如图所示，作的平分线交的延长线于．

∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，，
则有：，
可得，
∴，
∴．
【点睛】
此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的性质等内容，解题的关键是根据题意分析出题目中各角之间的关系．
16．见解析
【分析】
根据平行线的判定与性质即可完成证明．
【详解】
解：是，理由如下：
∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知），
∴∠4=∠5=90°（垂直定义），
∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行），
∴∠1=∠E（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠3（两直线平行，内错角相等），
∵∠E=∠3（已知），
∴∠1=∠2（等量代换），
∴AD平分∠BAC（角平分线定义）．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
17．93°
【分析】
得到， ，再由CF平分∠BCD即可求出答案．
【详解】
∵
∴

∵CF平分∠BCD
∴
∴
【点睛】
此题考查平行线的性质和角平分线的性质，掌握平行线的性质和角平分线的性质是解题的关键．
18．（1），理由见解析；（2）．
【分析】
（1） 由，同旁内角 ，由，推出 ，则由性质可得 ；
（2）由AC平分得 ，可得， 由三角形的外角性质可得，可求 由，，推出，利用余角性质求
【详解】
解（1），理由如下：
∵，
∴ ，
又∵，
∴ ，
∴，
∴ ；
（2）∵AC平分，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴ ，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查平行线的性质与判定，角平分线定义，直线垂直，三角形外角性质，余角性质，掌握平行线的性质与判定，角平分线定义，直线垂直性质与判定，会利用三角形的外角性质，余角性质进行计算是解题关键．
19．75°
【分析】
根据两直线平行，同旁内角互补，由ABCD，得∠A+∠ACD＝180°，故∠ACD＝∠1+∠2＝180°﹣∠A＝110°，那么∠1＝75°．
【详解】
解：∵ABCD，
∴∠A+∠ACD＝180°．
∴∠ACD＝180°﹣∠A
＝180°﹣70°
＝110°．
又∵∠ACD＝∠1+∠2，∠2＝35°，
∴∠1+∠2＝∠1+35°＝110°，
∴∠1＝75°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）见解析；（3）∠AOB=44°，∠CPD=46°．∠AOB+∠CPD=90°
【分析】
（1）根据平行线的定义画出图形即可．
（2）根据垂线的定义画出图形即可．
（3）利用量角器测量角的大小即可．
【详解】
解：（1）如图，直线PC即为所求．
（2）如图，直线PD即为所求．
（3）测量可得：∠AOB=44°，∠CPD=46°．
猜想：∠AOB+∠CPD=90°．

理由如下：

故答案为：∠AOB+∠CPD=90°．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，平行线的定义，垂线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的定义，垂线的定义，属于中考常考题型．
21．（1）40°；（2）见解析
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠ABD+∠D=180°，代入求出∠ABD，再根据角平分线的定义得出即可．
（2）根据平行线的性质得出∠1=∠FGC，求出∠2=∠FGC，再根据平行线的判定得出即可．
【详解】
解：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠D=180°，
∵∠D=100°，
∴∠ABD=80°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠ABD=40°；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠1=∠FGC，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠FGC，
∴AE∥FG．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
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