2022北京西城高三二模数学(教师版).docx

2022北京西城高三二模
数 学
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知双曲线的焦点分别为，，，双曲线上一点满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
3. 已知为等差数列，首项，公差，若，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知直线与圆：交于，两点，且，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
6. 已知是单位向量，向量满足，则的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
7. 已知函数，，那么“”是“在上是增函数”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知，记关于的方程的所有实数根的乘积为，则（ ）
A. 有最大值，无最小值 B. 有最小值，无最大值
C. 既有最大值，也有最小值 D. 既无最大值，也无最小值
9. 若函数定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图为某商铺、两种商品在2022年前3个月的销售情况统计图，已知商品卖出一件盈利20元，商品卖出一件盈利10元.图中点、、的纵坐标分别表示商品2022年前3个月的销售量，点、、的纵坐标分别表示商品2022年前3个月的销售量.根据图中信息，下列四个结论中正确的是（ ）

①2月、两种商品的总销售量最多；
②3月、两种商品的总销售量最多；
③1月、两种商品的总利润最多；
④2月、两种商品的总利润最多.
A. ①③ B ①④ C. ②③ D. ②④
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 二项式的展开式中的系数为21，则__________.
12. 已知复数在复平面内所对应的点的坐标为，则为__________.
13. 已知抛物线的焦点为，准线为，则焦点到准线的距离为___________；直线与抛物线分别交于、两点（点在轴上方），过点作直线的垂线交准线于点，则__________.
14. 已知数列是首项为16，公比为的等比数列，是公差为2的等差数列.若集合中恰有3个元素，则符合题意的的一个取值为__________.
15. 已知四棱锥高为1，和均是边长为的等边三角形，给出下列四个结论：
①四棱锥可能为正四棱锥；
②空间中一定存在到，，，，距离都相等的点；
③可能有平面平面；
④四棱锥的体积的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在中，.
（1）求的大小；
（2）若，证明：.
17. 2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布.义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分.其中过程性考核40分，现场考试30分.该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容.某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为和，选考1分钟跳绳的比例分别为和.假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立.
（1）从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；
（2）从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率；
（3）已知乒乓球考试满分8分.在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为，其中男生的乒乓球平均分的估计值为，试比较与的大小.（结论不需要证明）
18. 如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点为棱上动点（不与，重合），平面与棱交于点.

（1）求证：；
（2）若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.条件①：平面平面；条件②：；条件③：.
19. 已知函数.
（1）若，求的值；
（2）当时，
①求证：有唯一的极值点；
②记的零点为，是否存在使得？说明理由.
20. 已知椭圆：左顶点为，圆：经过椭圆的上、下顶点.
（1）求椭圆的方程和焦距；
（2）已知，分别是椭圆和圆上的动点（，不在坐标轴上），且直线与轴平行，线段的垂直平分线与轴交于点，圆在点处的切线与轴交于点.求线段长度的最小值.
21. 已知数列：，，…，，其中是给定的正整数，且.令，，，，，.这里，表示括号中各数的最大值，表示括号中各数的最小值.
（1）若数列：2，0，2，1，-4，2，求，值；
（2）若数列是首项为1，公比为的等比数列，且，求的值；
（3）若数列是公差的等差数列，数列是数列中所有项的一个排列，求的所有可能值（用表示）.

参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求，再求并集即可
【详解】易得，故
故选：A
2. 已知双曲线的焦点分别为，，，双曲线上一点满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】由双曲线的定义和焦距即可求出和的值，进而可求离心率.
【详解】因为，所以，
又因为，所以由双曲线的定义可知，解得，
则双曲线的离心率，
故选：.
3. 已知为等差数列，首项，公差，若，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出通项公式，再代入得到方程，解得即可；
【详解】解：因为首项，公差，所以，
因为，所以，解得
故选：D
4. 下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指对函数的性质判断A、B，由正弦函数性质判断C，对于D有，即可判断奇偶性和单调性.
【详解】由为奇函数且在上递增，
A、B：、非奇非偶函数，排除；
C：为奇函数，但在上不单调，排除；
D：，显然且定义域关于原点对称，在上递增，满足.
故选：D
5. 已知直线与圆：交于，两点，且，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用圆的弦长、弦心距、半径关系，以及点线距离公式列方程求k值.
【详解】由题设且半径，弦长，
所以到的距离，
即，可得.
故选：B
6. 已知是单位向量，向量满足，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量数量积的定义即可求解.
【详解】依题意， ，
， ， ，
又∵ ， ，
故选：C.
7. 已知函数，，那么“”是“在上是增函数”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】求得当时，是增函数,进而判断时，函数的单调性，即可得出结果.
【详解】当，, 单调递增.
则当时，是增函数,
当时, 在单调递增，可得在上是增函数；
当时, 在单调递增，可得在上是增函数；
反之，当在上是增函数时，由，可知，此时，即不成立.
所以“”是“在上是增函数”的充分而不必要条件.
故选：A.
8. 已知，记关于的方程的所有实数根的乘积为，则（ ）
A. 有最大值，无最小值 B. 有最小值，无最大值
C. 既有最大值，也有最小值 D. 既无最大值，也无最小值
【答案】D

【解析】
【分析】求出方程的实数根，从而可得，再根据指数函数的性质即可得解.
【详解】解：由，
得，所以或，
故，
所以函数既无最大值，也无最小值.
故选：D.
9. 若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先得到函数的定义域，再分析当时的取值，即可得到，再对时分和两种情况讨论，求出此时的取值，即可得到的值域，从而得到不等式，解得即可；
【详解】解：因为，所以的定义域为，，
当时，则在上单调递增，所以；
要使定义域和值域的交集为空集，显然，
当时，
若则，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集，
若时在上单调递减，此时，
则，
所以，解得，即
故选：B
10. 如图为某商铺、两种商品在2022年前3个月的销售情况统计图，已知商品卖出一件盈利20元，商品卖出一件盈利10元.图中点、、的纵坐标分别表示商品2022年前3个月的销售量，点、、的纵坐标分别表示商品2022年前3个月的销售量.根据图中信息，下列四个结论中正确的是（ ）

①2月、两种商品的总销售量最多；
②3月、两种商品的总销售量最多；
③1月、两种商品的总利润最多；
④2月、两种商品的总利润最多.
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
【答案】C
【解析】
分析】对①②，根据统计图的相关点纵坐标高低判断即可；
对③④，根据利润是的两倍，根据卖得更多的商品判断利润高低即可
【详解】对①②，根据统计图可得，，的纵坐标之和显然最大，故3月、两种商品的总销售量最多；故②正确；
对③④，因为商品卖出一件盈利20元，商品卖出一件盈利10元，根据统计图，若用对应的点表示对应点的纵坐标，则易得，故③正确
综上②③正确
故选：C.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 二项式的展开式中的系数为21，则__________.
【答案】7
【解析】
【分析】写出二项式展开式通项，根据已知条件有，即可求n值.
【详解】由题设，展开式通项为，而的系数为21，
所以，即且，可得.
故答案为：7
12. 已知复数在复平面内所对应的点的坐标为，则为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的定义以及运算规则即可求解.
【详解】由题意， ，则 ，
；
故答案为： .
13. 已知抛物线的焦点为，准线为，则焦点到准线的距离为___________；直线与抛物线分别交于、两点（点在轴上方），过点作直线的垂线交准线于点，则__________.
【答案】 ① 2 ②.
【解析】
【分析】求出焦点及准线方程，从而可得焦点到准线的距离，作交准线于点，易得直线过焦点，则从而可得出答案.
【详解】解：抛物线的焦点，准线为，，
所以焦点到准线的距离为2，
如图，作交准线于点，
因为直线过焦点，
则，
因为，所以轴，
又直线的倾斜角为，
所以，所以，
则.
故答案为：2；

14. 已知数列是首项为16，公比为的等比数列，是公差为2的等差数列.若集合中恰有3个元素，则符合题意的的一个取值为__________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】易得数列逐项递减，可先确定集合中的3项再列式求的范围即可
【详解】易得数列逐项递减，逐项递增，故可考虑，，
此时只需即可，即，解得，
故符合题意的的一个取值为（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）
15. 已知四棱锥的高为1，和均是边长为的等边三角形，给出下列四个结论：
①四棱锥可能为正四棱锥；
②空间中一定存在到，，，，距离都相等的点；
③可能有平面平面；
④四棱锥的体积的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】对①，分析当四棱锥为正四棱锥时是否满足条件即可；
对②，设四棱锥的高为，分析可得点满足；
对③，假设平面平面，再推导得出矛盾即可判断；
对④，设，得出四棱锥的体积表达式再求解即可
【详解】根据题意，设，则，又因为和均是边长为的等边三角形，易得，且

对①，当时，底面为正方形，且为底面中心，此时四棱锥可能为正四棱锥，故①正确；
对②，，故一定存在到，，，，距离都相等的点，故②正确；
对③，当平面平面时，因为，故平面，此时，又因为，此时重合，不满足题意，③错误；
对④，设，则
，因为，故，所以，故④正确
故答案为：①②④
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在中，.
（1）求的大小；
（2）若，证明：.
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
分析】(1)利用降幂公式化简已知条件，求出tanB即可求出B；
(2)结合余弦定理和已知条件即可证明．
【小问1详解】
在中，∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
∵，∴．
由余弦定理得①，
∵，∴②，
将②代入①，得，
整理得，∴．
17. 2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布.义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分，总分值70分.其中过程性考核40分，现场考试30分.该评价方案从公布之日施行，分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类，必考、选考共设置22项考试内容.某区在九年级学生中随机抽取1100名男生和1000名女生作为样本进行统计调查，其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为和，选考1分钟跳绳的比例分别为和.假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立.
（1）从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；
（2）从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳概率；
（3）已知乒乓球考试满分8分.在该区一次九年级模拟考试中，样本中选考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.记这次模拟考试中，选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为，其中男生的乒乓球平均分的估计值为，试比较与的大小.（结论不需要证明）
【答案】（1）
（2）0.32 （3）
【解析】
【分析】（1）分别求出样本中男生和女生的人数，再由频率估计概率即可得解；
（2）根据题意易得从该区九年级全体男生中随机抽取1人和从该区九年级全体女生中随机抽取1人选考跳绳的概率，再分2个男生选考跳绳和1个男生和1个女生选考跳绳结合独立事件的概率公式即可得解；
（3）根据平均数公式分别求出，即可得解.
【小问1详解】
解：样本中男生的人数为人，
样本中女生的人数为人，
设从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，该学生选考乒乓球为事件，
则该学生选考乒乓球的概率；
【小问2详解】
解：设从该区九年级全体男生中随机抽取1人，选考跳绳为事件，
从该区九年级全体女生中随机抽取1人，选考跳绳为事件，
由题意，
则从该区九年级全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率为；
【小问3详解】
解：，
，
所以.
18. 如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点为棱上动点（不与，重合），平面与棱交于点.

（1）求证：；
（2）若，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.条件①：平面平面；条件②：；条件③：.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由棱柱的性质可得，即可得到平面再根据线面平行的性质证明即可；
（2）选条件①②，连接，取中点，连接，，即可得到，根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由，即可建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；
选条件②③，连接，取中点，连接，，依题意可得，再由勾股定理逆定理得到，即可得到平面，接下来同①②；
选条件①③，取中点，连接，，即可得到，由面面垂直的性质得到平面，从而得到，再由勾股定理逆定理得到接下来同①②；
【小问1详解】
证明：在三棱柱中，，又平面，平面，
所以平面，
又因为平面平面，
所以.
【小问2详解】
解：选条件①②.
连接，取中点，连接，.
在菱形中，，
所以为等边三角形.
又因为为中点，所以，
又因为平面平面，
平面平面，
平面，且，
所以平面，平面，
所以.
又因为，所以.
以为原点，以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，.
所以，.
设平面的一个法向量为，
则，所以
令，则，，故.
又因为，
设直线与平面所成角为，
所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
选条件②③.
连接，取中点，连接，.
在菱形中，，
所以为等边三角形.
又为中点，故，且.
又因为，.
所以，
所以.
又因为，所以平面.
以下同选①②.
选条件①③
取中点，连接，.
在中，因为，所以，且，.
又因为平面平面，平面平面，
所以平面.
因为平面，所以.
在中，.
又因为，，
所以，
所以.
以下同选①②.
19. 已知函数.
（1）若，求的值；
（2）当时，
①求证：有唯一的极值点；
②记的零点为，是否存在使得？说明理由.
【答案】（1）
（2）①证明见解析，②不存在，详细见解析.
【解析】
【分析】（1）求得导函数，由，代入计算即可.
(2) ①求得设, 由函数性质可知在上单调递减.进而由，可得有有唯一解，进而利用导数可判断有唯一的极值点.
②由题意，可得假设存在a，使，进而可知由在单调递减，，则，求得，与已知矛盾，则假设错误.
【小问1详解】
因为，所以
因为，所以
【小问2详解】
①的定义域是，

令，则.
设,因为在上单调递减，
所以在上单调递减.
因为，所以在上有唯一的零点，|
所以有有唯一解，不妨设为.
与的情况如下,

+
0
-

增
极大值
减
所以有唯一的极值点.
②由题意，，则
若存在a，使，则，所以
因在单调递减，，
则需，即，与已知矛盾.
所以，不存在,使得.
20. 已知椭圆：的左顶点为，圆：经过椭圆的上、下顶点.
（1）求椭圆的方程和焦距；
（2）已知，分别是椭圆和圆上的动点（，不在坐标轴上），且直线与轴平行，线段的垂直平分线与轴交于点，圆在点处的切线与轴交于点.求线段长度的最小值.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出，写出椭圆C的方程并计算焦距作答.
（2）设出点P，Q坐标，求线段AP中垂线方程得点M，求圆O在点Q处的切线方程得点N，再借助均值不等式求解作答.
【小问1详解】
依题意，，由，得，
所以椭圆C的方程为：，焦距为.
【小问2详解】
设，则，依题意，设，且，
因，则线段AP的中点为，直线AP的斜率，
则线段AP的中垂线方程为：，
令得点M的纵坐标，而，则，即，
直线OQ的斜率，因此，圆O在点Q处的切线斜率为，
切线方程为，令得点N的纵坐标，即，
则有，当且仅当，即时取“=”，
所以线段长度的最小值为.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.
21. 已知数列：，，…，，其中是给定的正整数，且.令，，，，，.这里，表示括号中各数的最大值，表示括号中各数的最小值.
（1）若数列：2，0，2，1，-4，2，求，的值；
（2）若数列是首项为1，公比为等比数列，且，求的值；
（3）若数列是公差的等差数列，数列是数列中所有项的一个排列，求的所有可能值（用表示）.
【答案】（1），；
（2）；
（3）所有可能值为.
【解析】
【分析】（1）根据函数定义写出，即可.
（2）讨论数列A的项各不相等或存在相等项，当各项都不相等，根据题设定义判断，当存在相等项，由等比数列通项公式求q，进而确定的值；
（3）利用数列A的单调性结合（2）的结论求的取值范围，估计所有可能取值，再应用分类讨论求证对应所有可能值均可取到，即可得结果.
【小问1详解】
由题设，，，，则，
，，，则，
所以，.
【小问2详解】
若数列任意两项均不相等，
当时；
当且时，，
又，，
此时；
综上，，故，不合要求；
要使，即存在且使，即，
又，则，
当，则，不合要求；
当，则，满足题设；
综上，.
【小问3详解】
由题设数列单调递增且，
由（2）知：，
根据题设定义，存在且，，
则，
由比数列中个项大，，同理，
所以；
又至少比数列中一项小，，同理，
所以；
综上，.
令数列，下证各值均可取到，
ⅰ、当，而数列递增，
，且，
此时，，，
则；
ⅱ、当时，，则，
当且时，令，则，
所以，，
此时；
ⅲ、给定，
令()且()，
则()，()，
又数列递增，，
()，()，
所以，
此时且，
故，
综上，.
【点睛】关键点点睛：第三问，首先根据数列的单调性和定义求的取值范围，再由定义结合分类讨论求证范围内所有可能值都可取到.

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