2022北京通州高三(上)期末数学(教师版).docx

2022北京通州高三（上）期末
数 学
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合，0，1，，，则　　
A．，0，1，2， B．，0， C．， D．，
2．（4分）复数在复平面内对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（4分）双曲线的渐近线方程是　　
A． B． C． D．
4．（4分）已知数列是公比为正数的等比数列，是其前项和，，，则　　
A．31 B．63 C．127 D．255
5．（4分）“直线与直线没有公共点”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（4分）若，则下列不等式成立的是　　
A． B．
C． D．
7．（4分）函数是　　
A．奇函数，且最大值为2 B．奇函数，且最大值为1
C．偶函数，且最大值为2 D．偶函数，且最大值为1
8．（4分）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为　　
A．8 B．10 C．12 D．14
9．（4分）经过点的直线与圆交于，两点，则面积的最大值为　　
A． B． C．10 D．
10．（4分）中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，有一种茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．某研究人员在室温下，每隔测量一次茶水温度，得到数据如下：
放置时间
0
1
2
3
4
5
茶水温度
85.00
79.00
73.60
68.74
64.37
60.43
为了描述茶水温度与放置时间的关系，现有以下两种函数模型供选择：

①，，，②，，．
选择最符合实际的函数模型，可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为　　
（参考数据：，
A． B． C． D．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）抛物线的焦点坐标为　　．
12．（5分）最小正周期为2的函数的解析式可以是 　　．（写出一个即可）
13．（5分）如图，圆锥的体积为，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，设圆柱体积为，则　　．

14．（5分）已知平面向量，的夹角为，且，，则的值为 　　，的最小值为 　　．
15．（5分）已知函数，给出下列四个结论：
①若，则有一个零点；
②若，，则有三个零点；
③，在上是增函数；
④，使得在上是增函数．
其中所有正确结论的序号是 　　．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16．（14分）在中，，．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题：
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
17．（14分）如图，在长方体中，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离．

18．（14分）人类常见的遗传病类型主要分为单基因遗传病、多基因遗传病和染色体异常遗传病三大类高度近视度以上）、红绿色盲都是较常见的单基因遗传病．某学校课后实践活动对学生这两种遗传病情况进行统计，分别从男、女同学中各随机抽取100人进行调查，对患病情况统计如下，其中“”表示是，“”表示否．
人数
男生
高度近视
红绿色盲
3

2

1

1

2

（Ⅰ）分别估计该校男生红绿色盲的发病率和该校女生红绿色盲的发病率；
（Ⅱ）为做家庭访问，从已调查出患红绿色盲的同学中任选两人，记这两人中男同学人数为，求的分布列及数学期望；
（Ⅲ）假设已知该校男生人数为1500，女生人数为2500，试估计该校学生的高度近视发病率与该校学生红绿色盲发病率的大小关系，并说明理由．
（注：某种遗传病发病率
19．（14分）已知函数．
（Ⅰ）若，求曲线在点，处的切线方程；
（Ⅱ）求的单调区间与极值．
20．（14分）已知椭圆过点，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线与椭圆交于，两点，过，作直线的垂线，垂足分别为，，点为线段的中点，为椭圆的左焦点．求证：四边形为梯形．
21．（15分）已知数列满足以下条件：①，且；②共有100项，且各项互不相等．定义数列，，，，，2，3，，为数列的一个“10阶连续子列”．
（Ⅰ）若的通项公式为，写出的一个“10阶连续子列”，并求其各项和；
（Ⅱ）求证：对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于505；
（Ⅲ）若对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于正整数，求的最大值．

参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：集合，0，1，，，
则，．
故选：．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．【分析】直接由已知的复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案．
【解答】解：在复平面内对应的点位于第二象限．
故选：．
【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
3．【分析】直接利用双曲线的标准方程求解渐近线方程即可．
【解答】解：双曲线的渐近线方程是：．
故选：．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．
4．【分析】设等比数列的公比为，根据可得，从而求出值后再利用求出，进一步利用等比数列前项和公式求出即可．
【解答】解：设等比数列的公比为，
由，得，解得或（舍去），
又，所以．
故选：．
【点评】本题考查等比数列的通项公式与前项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
5．【分析】利用两直线的位置关系，再结合充要条件的定义判定即可．
【解答】解：若直线与直线没有公共点，则直线与直线平行或异面，
直线与直线没有公共点是的必要不充分条件，
故选：．
【点评】本题考查了两直线的位置关系，充要条件的判定，属于基础题．
6．【分析】直接利用不等式的性质和基本不等式的应用判断、、、的结论．
【解答】解：对于：当，时，不等式不成立，故错误；
对于：由于函数为减函数，故，故错误；
对于：由于，所以，故错误；
对于：由于，故满足，故正确．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：不等式的基本性质，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
7．【分析】由函数奇偶性的定义可判断奇偶性；利用二倍角公式结合三角函数的性质可判断最大值．
【解答】解：由题意，，
，
所以该函数为偶函数，
又，
所以当即时，取最大值1．
故选：．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和三角函数的性质，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．
8．【分析】先安排小明和小李，然后剩余3人分两组，一组1人，一组2人，先分组后安排即可．
【解答】解：小明和小李必须安装不同的吉祥物，则有种情况，
剩余3人分两组，一组1人，一组2人，有，然后分配到参与两个吉祥物的安装，有，
则共有种，
故选：．
【点评】本题主要考查排列组合的计数问题，利用先分组后分配的方法进行计算是解决本题的关键，是中档题．
9．【分析】根据弦长公式，三角形面积公式，二次函数的性质以及圆的几何性质即可求出．
【解答】解：设点到直线的距离为，所以，
而面积，
而，即，所以当时，．
故选：．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，面积最值问题等知识，属于基础题．
10．【分析】由表中数据可得，每分钟茶水的温度的减少值呈现越来越小的变化趋势，故选用模型①，更符合实际的模型，将，代入可得，模型（1）的函数，再结合对数函数的公式，即可求解．
【解答】解：由表中数据可得，每分钟茶水的温度的减少值呈现越来越小的变化趋势，
故选用模型①，更符合实际的模型，
将，代入可得，，解得，
故，
令，即，
故，即，
刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置时间大约为．
故选：．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．【分析】先确定焦点位置，即在轴正半轴，再求出的值，可得到焦点坐标．
【解答】解：抛物线是焦点在轴正半轴的标准方程，
焦点坐标为：
故答案为：
【点评】本题主要考查抛物线的焦点坐标．属基础题．
12．【分析】由题意，利用正弦函数的周期性，得出结论．
【解答】解：由于函数的最小正周期为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，属于基础题．
13．【分析】设圆锥的高为，底面半径为，分别计算圆锥和圆柱的体积，即可求解．
【解答】解：设圆锥的高为，底面半径为，
则，
是的中点，圆柱底面半径为，高为，
则，
．
故答案为：．
【点评】本题考查圆锥和圆柱的体积比值的求法，考查圆锥、圆柱的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
14．【分析】直接利用向量数量积的定义求解的值，由已知条件可得，配方后可求得其最小值．
【解答】解：因为平面向量的夹角为，且，
所以，
，
所以当时，的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算以性质，属于基础题．
15．【分析】对于①，当时，则，分段讨论得出函数在上单调递增，再由，（1）可判 断；
对于②，当时，则，分段讨论函数的单调性，再由当时，可判断；
对③，当，即 时，则，分段讨论得出函数在上单调递增，由此可判断；
对于④，当，即时，则，分段讨论函数的单调性，由此可判断．
【解答】解：因为函数，所以函数，
对于①，当 时，则，当时，单调递增，
当时，单调递增，当时，，所以单调递增，
所以函数在上单调递增，且，
（1），所以函数有一个零点，故①正确；
对于②，当时，则，
当时，单调递增，且，
所以在，函数有且只有一个零点，
当时，令，解得，
所以当时，所以，单调递减；
当时，所以，单调递增，
所以当时，，
所以在，，函数 有且只有一个零点，
所以当函数只有两个零点，故②不正确；
对于③，当，即时，则，
当时，单调递增，
当时，，所以单调递增，
所以函数在上单调递增，
综上得，，在上是增函数，故③正确；
对于④，当，即时，则，
当时，单调递增，
当时，令，解得，
所以当 时，所以，单调递减；
当时，所以， 单调递增，
所以当时，函数在和上单调递增，
在上单调递减，
所以不存在，使得在上是增函数，
故④不正确；
综上得，正确结论的序号是①③，
故答案为：①③．
【点评】本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查导数的应用，考查学生的综合能力，属于难题．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16．【分析】由已知结合正弦定理可求，，然后结合所选条件，结合余弦定理及正弦定理可求，进而可求；
由已知结合正弦定理可求，然后结合三角形面积公式可求．
【解答】解：因为，，
由正弦定理得，，
若选①：，此时，三角形无解；
若选条件②：，
由余弦定理得，，
由为三角形内角，得；
若选条件③：，
则，
又，
所以，即，
所以；
由，，，
由正弦定理得，，
所以，
所以，的面积．
【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
17．【分析】（Ⅰ）由线面平行的判定定理可得答案；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，分别求得平面的法向量、平面的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案；
（Ⅲ）直接利用向量根据点到平面的距离公式得到答案．
【解答】（Ⅰ）证明：因为，平面，平面，
故平面．
（Ⅱ）解：如图所示：以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，

故，0，，，2，，，0，，，0，，，，
设平面的法向量为，则，
取得到，，即，
易知平面的一个法向量为，
则，
根据图象知二面角的平面角为锐角，故平面与平面所成角的余弦值为．
（Ⅲ）由（Ⅱ），2，，，
故到平面的距离为．
【点评】本题主要考查线面平行的证明，空间向量的应用，面面角的计算，点面距离的计算等知识，属于中等题．
18．【分析】根据表中的数据计算即可，
由表中的数据可知，已调查的学生中，有5人患红绿色盲，其中男生4人，女生 1 人，所以可能取1，2，然后求出各自对应的概率，从而可得分布和数学期望，
根据表中的数据结合所给公式计算，，然后进行比较．
【解答】解：设该校男生红绿色盲为事件，女生红绿色盲为事件，
则
由表中的数据可知，已调查的学生中，有5人患红绿色盲，其中男生4人，女生1人，
所以可能取1，2，则，，
所以的分布列为

1
2

所以，
由题意得，，
所以．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的运算能力，属于中档题．
19．【分析Ⅰ）求出，继而可求得和，利用直线的点斜式可得在点，处的切线方程；
（Ⅱ）求出，分的正负，令可得其增区间；，可得其减区间，进而得到极值．
【解答】解：（Ⅰ）当时，，
，，又，
在点，处的切线方程为，即；
（Ⅱ）函数，
，
由，可得和；
当时，，递增；或，递减．
的单调递增区间为，单调递减区间为和，，
当时，取得极小值，当时，取得极大值；
当时，或，递增；，递减．
的单调递减区间为，，单调递增区间为和，
当时，取得极大值，当时，取得极小值．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查等价转化思想和运求解算能力，属于中档题．
20．【分析】（Ⅰ）由题意可得关于，，的方程组，求得与的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）直线过定点，设，，，，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合斜率公式证明，再由椭圆可得与相交，即可得到四边形为梯形．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，，解得，，．
椭圆的方程为；
证明：（Ⅱ）直线过定点，
设，，，，
联立，得．
则△，且，，
由已知可得，，，
则，，
若，则，即，
，即，
也就是，
即，即，
此时显然成立．
，
由图可知与相交，四边形为梯形．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．
21．【分析】由题意，写出的各项，再求和即可，
由题意，求出的各项，在求和与平均值即可证明，
分类讨论的值，分别求得的最大值为505即可．
【解答】解： 数列 的一个 10 阶连续子列为 1，2，3，，10．其各项和，
证明：将分成10个10阶连续子列：
，，，；，，，；，，，；；，，，．
设它们的各项和分别为，
因为，
所以 的平均值为505，
于是 中至少存在一个不小于505．
假设，即．
考察数列：100，1，99，2，98，3，97，4，，51，50．
其中各项满足，，2，，．
于是，有
，
，
当为奇数时，
，
当为偶数时，
，
即，，使得．这与假设矛盾．
所以．
结合 可知，
所以的最大值为 505．
【点评】本题考查数列的应用，考查学生的综合能力，属于难题．
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