备战2023年高考数学一轮复习-第7节-二项分布、超几何分布与正态分布.docx

第7节　二项分布、超几何分布与正态分布

1.通过具体实例,了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题.
2.了解超几何分布,理解超几何分布与二项分布的区别与联系,并能解决简单的实际问题.
3.通过误差模型,了解正态分布的意义,理解正态曲线的性质,会用正态分布解决实际问题.

1.两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验,用A表示“成功”,A表示“失败”,定义X=1,A发生,0,A发生.
如果P(A)=p,则P(A)=1-p,那么X的分布列如表所示.
X
0
1
P
1-p
p
我们称X服从　　　　　　或　　　　　　. 
一般地如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=　　　,
D(X)=　　　　.
2.二项分布
(1)n重伯努利试验
①我们把只包含　　　个可能结果的试验叫做伯努利试验. 
②我们将一个伯努利试验　　　　　　　进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.显然,n重伯努利试验具有如下共同特征: 
同一个伯努利试验重复做n次;各次试验的结果　　　　　　. 
(2)二项分布
一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0则称随机变量X服从二项分布,记作　　　　　　. 
(3)二项分布的均值与方差
如果X～B(n,p),那么E(X)=　　　,D(X)=　　　　. 

(1)两点分布是二项分布的特殊情况.
(2)二项分布是放回抽样问题(独立重复).
3.超几何分布
(1)超几何分布
一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为
P(X=k)=CMkCN-Mn-kCNn,k=m,m+1,m+2,…,r.
其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
(2)超几何分布的均值
设随机变量X服从超几何分布,则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中,不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p=MN,则p是N件产品的　　　　,而Xn是抽取的n件产品的　　　　,则E(Xn)=p,即E(X)=nMN=　　　. 

超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征:
(1)考察对象分两类.
(2)已知各类对象的个数.
(3)从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典
概型.
4.正态分布
(1)连续型随机变量
随机变量不是离散型的,它们的取值往往充满某个　　　甚至　　　　　　,但取一点的概率为　　　,我们称这类随机变量为连续型随机变量. 
(2)正态密度函数
①f(x)=1σ2πe-(x-μ)22σ2,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数.
对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为　　　　　　　　　,简称正态曲线. 
②若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从
　　　分布,记为X～N(μ,σ2).特别地,当　　　,　　　时,称随机变量X服从标准正态分布. 
③若X～N(μ,σ2),则如图所示,X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域 　　　的面积,而P(a≤X≤b)为区域 　　　的面积. 

(3)正态曲线的特点
①曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
②曲线在x=μ处达到峰值1σ2π;
③当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴;
④当σ取固定值时,正态曲线的位置由μ确定,且随着μ的变化而沿x轴平移,如图所示.

当μ取定值时,因为曲线的峰值1σ2π与σ成反比,而且对任意的σ>0,曲线与x轴围成的面积总为1.因此,当σ较小时,峰值高,曲线“　　　”,表示随机变量X的分布比较　　　;当σ较大时,峰值低,曲线“　　　”,表示随机变量X的分布比较　　　,如图所示 

(4)正态分布的均值与方差
若X～N(μ,σ2),则E(X)=　　　,D(X)=　　　. 
(5)正态分布在三个特殊区间内的概率
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈　　　, 
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈　　　, 
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈　　　. 

在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.

对于X～N(μ,σ2),由x=μ是正态曲线的对称轴知
(1)对任意的a有P(X<μ-a)=P(X>μ+a);
(2)P(XX有3人获奖的概率是　　　　. 
4.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,则所选3人中女生人数不超过1人的概率是　　　　. 

n重伯努利试验与二项分布
(2021·安徽合肥模拟)某地历史文化积淀深厚,民俗和人文景观丰富,科教资源众多,自然风光秀美,成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目,某旅游学校一位实习生在某旅行社实习期间,把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型,并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”的学校中,随机抽取了100所学校,统计如下:
研学游类型
科技体验游
民俗人文游
自然风光游
学校数
40
40
20
该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”的学校中,随机抽取了3所学校,并以统计的频率代替学校选择“研学游”类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类,且不受其他学校选择结果的影响).
(1)若这3所学校选择的“研学游”类型是“科技体验游”和“自然风光游”,求这两种类型都有学校选择的概率;
(2)设这3所学校中选择“科技体验游”的学校数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.

与二项分布有关的期望、方差的求法
(1)求随机变量ξ的期望与方差时,可首先分析ξ是否服从二项分布,如果ξ～Bn,p),则用公式E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p)求解,可大大减少计算量.
(2)有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用E(aξ+b)=aE(ξ)+b以及E(ξ)=np,求出E(aξ+b),同样还可求出D(aξ+b).
[针对训练]
(2021·四川遂宁高三三模)某校数学教研组,为更好地提高该校高三学生《圆锥曲线》的选择填空题的得分率,对学生《圆锥曲线》的选择填空题的训练运用最新的教育技术做了更好的创新,其学校教务处为了检测其质量指标,从中抽取了100名学生的训练成绩(总分50分),经统计质量指标得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求所抽取的样本平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)将频率视为概率,从该校高三学生中任意抽取4名学生,记这4名学生《圆锥曲线》的选择填空题的训练的质量指标值位于(10,30]内的人数为X,求X的分布列和数学期望.

超几何分布
在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列.

[典例迁移1] (变结论)在本例第(2)问,若用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数,求X的分布列.

[典例迁移2] (变结论)在本例第(2)问,若用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差,求X的分布列.

求超几何分布的分布列的步骤
第一步,验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值;
第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率;
第三步,用表格的形式列出分布列.
正态分布
角度一　正态分布的计算
(2021·安徽合肥高三二检)为了解A市高三学生的数学复习备考情况,该市教研机构组织了一次检测考试,并随机抽取了部分高三学生的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图,试估计该市参加此次检测考试的学生的数学平均成绩μ0(精确到个位);
(2)研究发现,本次检测考试的数学成绩X近似服从正态分布N(μ,
σ2),其中μ=μ0,σ=19.3.
①按以往的统计数据,数学成绩能达到升一本分数要求的学生约占46%,据此估计在本次检测考试中达到升一本的数学成绩是多少分(精确到个位)?
②已知A市高三学生约有10 000名,某学生在此次检测考试中数学成绩为107分,则该学生在全市的排名大约是多少?
[说明:P(x≥x1)=1-Φ(x1-μσ)表示x≥x1的概率,Φ(x1-μσ)用来将非标准正态分布化为标准正态分布,即X～N(0,1),从而利用标准正态分布表Φ(x0),求x≥x1时的概率P(x≥x1),这里x0=(x1-μσ).相应于x0的值Φ(x0)是指总体取值小于x0的概率,即Φ(x0)=P(x0).
参考数据:Φ(0.705 4)=0.54,Φ(0.677 2)=0.46,Φ(0.21)=0.583 2]

(1)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]中的哪一个.
(2)利用正态密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称,及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面结论的活用:
①正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上概率相同.
②P(XX≥a),P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a).
解此类问题的关键是利用正态曲线的对称性,把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化.解题时要充分结合图形进行分析、求解,要注意数形结合思想及化归思想的运用.
角度二　正态分布的应用
(2021·山西模拟)某纺织厂为了生产一种高端布料,准备从A农场购进一批优质棉花.厂方技术人员从A农场存储的优质棉花中随机抽取了100份棉花,分别测量了其纤维长度(单位:mm)的均值,得到100个样本数据,并制成频数分布表如表:
长度/
mm
[23,
25)
[25,
27)
[27,
29)
[29,
31)
[31,
33)
[33,
35)
[35,
37)
[37,
39]
频数
4
9
16
24
18
14
10
5
(1)求这100个样本数据的样本平均数x和样本方差s2(同一组数据取该组区间的中点值为代表);
(2)由得到的数据可以认为这批棉花的纤维长度X服从正态分布,即X～N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布,求P(X≥μ-2σ);
②纺织厂将A农场送来的这批优质棉花进行二次检验,从中随机抽取20份测量其纤维长度的均值Yi(i=1,2,…,20),得到的数据如表:
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Y7
Y8
Y9
Y10
24.1
31.8
32.7
28.2
28.4
34.3
29.1
34.8
37.2
30.8
Y11
Y12
Y13
Y14
Y15
Y16
Y17
Y18
Y19
Y20
30.6
25.2
32.9
27.1
35.9
28.9
33.9
29.5
35.0
29.9
若这20个样本中纤维长度的均值Y≥μ-2σ的频率不低于①中的P(X≥μ-2σ),则可判断该批优质棉花合格,否则认为A农场送来的棉花掺杂了次品,判断该批棉花不合格,按照此依据判断A农场送来的这批棉花是否为合格的优质棉花,并说明理由.
附:若Z～N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5;12.28≈3.504.

事件在[μ-3σ,μ+3σ]之外的为小概率事件,一旦发生,则说明生产存在问题,则要调整生产.
[针对训练]
(2021·山东潍坊模拟)为了严格监控某种零件的一条生产线的生产过程,某企业每天从该生产线上随机抽取10 000个零件,并测量其内径(单位:cm).根据长期生产经验,认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径X服从正态分布N(μ,σ2).如果加工的零件内径小于μ-
3σ或大于μ+3σ均为不合格品,其余为合格品.
(1)假设生产状态正常,请估计一天内抽取的10 000个零件中不合格品的个数;
(2)若生产的某件产品为合格品则该件产品盈利;若生产的某件产品为不合格品,则该件产品亏损.已知每件产品的利润L(单位:元)与零件的内径X有如下关系:L=-5,X<μ-3σ,4,μ-3σ≤X<μ-σ,6,μ-σ≤X≤μ+3σ,-5,X>μ+3σ.
求该企业一天从生产线上随机抽取10 000个零件的平均利润.
附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),有P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.

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