上海市第三女子中学2021-2022学年高二下学期期末线上评估数学试题(含详解).docx

2021学年第二学期期末
高二年级数学学科线上评估试题
时间：90分钟 满分：100分
一、填空题（每小题3分，共36分）
1. 已知等比数列的公比为q，若，，则公比q＝______．
2. 抛物线的焦点坐标是__________．
3. 若双曲线的一个焦点为，则实数__________．
4. 某物体的运动的位移（单位：米）与时间（单位：秒）满足函数关系为，则该物体在时刻时的瞬时速度为______（米/秒）．
5. 圆关于直线对称的圆的方程为______．
6. 数列是公差d＝1的等差数列，如果，则______．
7. 已知P(x，y)是椭圆上的一个动点，则x＋y的最大值是________．
8. 已知，函数导数为．若，则实数______．
9. 已知数列满足，，则数列通项公式为________．
10. 若将方程化简为的形式，则___________.
11. 在R上可导的函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______．

12. 操作变换记为，其规则为：，且规定：，n是大于1的整数，如：，，．根据以上规则，计算______．
二、选择题（每小题3分，共12分）
13. 抛物线上一点到焦点的距离是10，则点到轴的距离是（ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
14. 用数学归纳法证明某命题时，若当时，设，那么当时可表示为（ ）
A. B.
C. D.
15. 下列求导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
16. 过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
三、解答题（共52分）
17. 已知数列前n项和为，和满足，，n>0．求数列的通项公式，并求的值．
18. 已知椭圆：的离心率为，其左右焦点为、，斜率为1的直线经过右焦点，与椭圆交于不同的两点A、B，的周长为12．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的面积．
19. 已知，，函数的图像在原点处的切线方程为．
（1）求实数的值；
（2求函数在上的值域．
20. 某公司今年年初用900万元购进一批机器设备用来扩大生产，预计每年给公司带来300万元收入，为保证机器设备的正常生产，公司需要每年支付机器设备的维护费用，第一年需支付60万元，从第二年起每年的维护费用比上一年增加20万元，
（1）记公司第n（）年支付的维护费用为，求数列的前n项和；
（2）若该公司购进这批机器设备后的第k（）年的年平均利润最大，求k的值，并求出年平均利润最大值（单位：万元）．
21. 已知函数，．
（1）若a＝1，求函数的严格增区间；
（2）若函数在其定义域上没有驻点，求实数a取值范围．

2021学年第二学期期末
高二年级数学学科线上评估试题
时间：90分钟 满分：100分
一、填空题（每小题3分，共36分）
1. 已知等比数列的公比为q，若，，则公比q＝______．
【答案】##0.25
【分析】根据等比数列的性质即可求解.
【详解】解：因为数列为等比数列，且，则，解得.
故答案为：.
2. 抛物线的焦点坐标是__________．
【答案】
【分析】由抛物线的标准方程，可直接写出其焦点坐标.
【详解】因为抛物线方程为，所以焦点在轴上，且焦点为.
故答案为
【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点坐标的问题，属于基础题型.
3. 若双曲线的一个焦点为，则实数__________．
【答案】3
【分析】根据双曲线方程即可得解.
【详解】双曲线的一个焦点为，
所以且，
所以.
故答案为：3
4. 某物体的运动的位移（单位：米）与时间（单位：秒）满足函数关系为，则该物体在时刻时的瞬时速度为______（米/秒）．
【答案】
【分析】利用导数求瞬时速度.
【详解】由，得，
当时，，
故答案为：.
5. 圆关于直线对称的圆的方程为______．
【答案】
【分析】先求圆心关于直线的对称点，半径不变，可得圆的方程.
【详解】圆的圆心为，半径为；
圆心关于直线对称的点为，
所以所求圆的方程为.
故答案为：.
6. 数列是公差d＝1的等差数列，如果，则______．
【答案】20
【分析】利用等差数列的性质可求的值.
【详解】因为是公差为1的等差数列，故：

，
故，
故答案为：20.
7. 已知P(x，y)是椭圆上的一个动点，则x＋y的最大值是________．
【答案】5
【详解】令x＋y＝t，则问题转化为直线x＋y＝t与椭圆有公共点时，t的取值范围问题．
由,去y得25x2－32tx＋16t2－144＝0，
∴Δ＝(－32t)2－100(16t2－144)＝－576t2＋14400≥0，
∴－5≤t≤5，∴x＋y的最大值为5.
8. 已知，函数的导数为．若，则实数______．
【答案】-1
【分析】由已知条件求出函数的导函数，令，即可求出的值.
【详解】已知，则，又，所以当时，即时满足题意，
故答案为：
9. 已知数列满足，，则数列的通项公式为________．
【答案】
【分析】由递推公式求得，即是等比数列，利用公式法写出其通项公式，即得数列的通项公式.
【详解】由，，得，， 即，
所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以，即.
故答案为：.
10. 若将方程化简为的形式，则___________.
【答案】2
【分析】根据双曲线的定义即可得到答案.
【详解】方程表示点到，两点距离差的绝对值为6，∴轨迹为以，为焦点的双曲线，，，∴
故方程为，∴
故答案为：2.
11. 在R上可导的函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为______．

【答案】或
【分析】根据原函数的图象可得导数的符号，从而可求不等式的解.
【详解】由的图象可得的解为或，
的解为.
而即为或，
故或，
故答案为：或
12. 操作变换记为，其规则为：，且规定：，n是大于1的整数，如：，，．根据以上规则，计算______．
【答案】
【分析】利用归纳推理，列举前几项，归纳找规律，即可得到答案.
【详解】由题意得:

,
,

……
当n为奇数时，；
当n为偶数时，；
∵2022是偶数,∴.
故答案为:
二、选择题（每小题3分，共12分）
13. 抛物线上一点到焦点的距离是10，则点到轴的距离是（ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
【答案】B
【分析】由抛物线的定义即可求解.
【详解】解：由题可知，抛物线的准线方程为，
因为点到焦点的距离是10，故到准线的距离是10，
则点到轴的距离是9.
故选：B.
14. 用数学归纳法证明某命题时，若当时，设，那么当时，可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】根据和的表达式之间的关系进行求解即可.
【详解】因为，
，
所以可以表示为，
故选：C
15. 下列求导数运算正确的是 ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【分析】根据基本初等函数的导数公式及复合函数的导数公式逐项判断即可.
【详解】解：A项中，，故A项正确；
B项中，，故B项错误；
C项中，，故C项错误；
D项中，，故D项错误.
故选：A.
16. 过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
【答案】D
【分析】设出直线的方程，与双曲线的方程联立，结合方程解的情况进行求解.
【详解】当斜率不存在时，过的直线与双曲线没有公共点；
当斜率存在时，设直线为，联立，得①.
当，即时，①式只有一个解；
当时，则，解得；
综上可知过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条.
故选：D.
三、解答题（共52分）
17. 已知数列的前n项和为，和满足，，n>0．求数列的通项公式，并求的值．
【答案】，.
【分析】由，利用数列通项和前n项和的关系求得通项公式，再利用无穷等比数列前n项和公式求解.
【详解】解：当时，，
当时，由，
得，
两式相减得，
即，
又，
所以是以1为首项，以为公比的等比数列，
所以，
所以.
18. 已知椭圆：的离心率为，其左右焦点为、，斜率为1的直线经过右焦点，与椭圆交于不同的两点A、B，的周长为12．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的面积．

【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据椭圆的几何性质结合离心率，利用待定系数法求解椭圆方程即可.
（2）由（1）可得焦点、的坐标，利用点斜式得直线的方程，联立椭圆的方程和直线的方程，消去，求解的值，进而得到的值，利用即可求解.
小问1详解】
解：由题可知，的周长为12，即，所以，
又椭圆的离心率为，即，所以，
又，所以，所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
解：由（1）得，则直线方程为，
设,且，
由消去，得，，
则，
所以，
因为
所以.
即的面积为.

19. 已知，，函数的图像在原点处的切线方程为．
（1）求实数的值；
（2）求函数在上的值域．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据导数的几何意义可得参数的值；
（2）根据导数判断单调性，进而可得函数值域.
小问1详解】
由，
得，，
所以函数的图像在原点处的切线斜率为，
又切线方程为，
所以；
【小问2详解】
由（1）得，，
令，得，，
故

单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
，，，，
所以函数在上的值域为.
20. 某公司今年年初用900万元购进一批机器设备用来扩大生产，预计每年给公司带来300万元的收入，为保证机器设备的正常生产，公司需要每年支付机器设备的维护费用，第一年需支付60万元，从第二年起每年的维护费用比上一年增加20万元，
（1）记公司第n（）年支付的维护费用为，求数列的前n项和；
（2）若该公司购进这批机器设备后的第k（）年的年平均利润最大，求k的值，并求出年平均利润最大值（单位：万元）．
【答案】（1）
（2）当或时，年平均利润取得最大值为万元
【分析】（1）根据等差数列前项和公式求得.
（2）先求得年平均利润的表达式，结合基本不等式求得年平均利润的最大值以及此时对应的值.
【小问1详解】
依题意，公差为，
所以.
【小问2详解】
年平均利润为
，
当且仅当时等号成立
注意到，经检验可知，或时年平均利润取得最大值为万元.
21. 已知函数，．
（1）若a＝1，求函数的严格增区间；
（2）若函数在其定义域上没有驻点，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）直接求导，解关于导函数大于零的的不等式即可；
（2）函数在其定义域上没有驻点，则导函数在定义域内没有零点，转化为方程无解问题.
【小问1详解】
a＝1时，，
，令
解得，则函数的严格增区间为.
【小问2详解】
,若函数在
其定义域上没有驻点，则在定义域内无解，
令得，令，
则，又因为的值域为
所以在定义域内无解时，，
则函数在其定义域上没有驻点时实数a的取值范围为.