2020北京重点校初二(上)期中数学汇编：三角形.docx

2020北京重点校初二（上）期中数学汇编
三角形3
一、单选题
1．（2020·北京一七一中八年级期中）下列每组数分别是小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（          ）
A．3、4、8 B．8、7、15 C．13、12、20 D．5、5、11
2．（2020·北京二中八年级期中）小明用长度分别为5，a，9的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则a可能是（  ）．
A． B． C． D．
3．（2020·北京四中八年级期中）在平面直角坐标系上，已知点A关于直线x＝1对称的点为B（﹣2，4），则点A的坐标为（　　）
A．（4，4） B．（﹣2，﹣2） C．（2，4） D．（3，4）
4．（2020·北京四中八年级期中）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（　　）

A．△ABC的周长 B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
5．（2020·北京·汇文中学八年级期中）如图，直线，点在直线上，以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线，于，两点，以点为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点（不与点重合），连接，，，，其中交于点．若，则下列结论错误的是（    ）

A． B． C． D．
6．（2020·北京·汇文中学八年级期中）下列有关医疗和倡导卫生的图标中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2020·北京市陈经纶中学八年级期中）已知直线l及直线l外一点P．如图，
（1）在直线l上取一点A，连接PA；
（2）作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，PA于点B，O；
（3）以O为圆心，OB长为半径画弧，交直线MN于另一点Q；
（4）作直线PQ．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　）

A．△OPQ≌△OAB B．PQ∥AB
C．AP＝BQ D．若PQ＝PA，则∠APQ＝60°
8．（2020·北京八十中八年级期中）如图，要测量河两岸相对的两点A． B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C． D，使BC=CD，再作出BF的垂线DE，使点A． C． E在同一条直线上(如图所示)，可以说明△ABC≌△EDC，得AB=DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是(     )

A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．边边角
9．（2020·北京·汇文中学八年级期中）已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（    ）.

A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上
10．（2020·北京·汇文中学八年级期中）如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（    ）

A．40° B．50° C．80° D．100°
11．（2020·北京市陈经纶中学八年级期中）如图，△ABC≌△ABD，若∠ABC＝30°，∠ADB＝100°，则∠BAC的度数是（   ）．

A．30° B．100° C．50° D．80°
12．（2020·北京市陈经纶中学八年级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0,8），点B（6,8），若点P同时满足下列条件：①点P到A,B两点的距离相等；②点P到∠xOy的两边距离相等.则点P的坐标为    ）.

A．（3,5） B．（6,6） C．（3,3） D．（3,6）
13．（2020·北京八十中八年级期中）在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是（     ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
14．（2020·北京二中八年级期中）如图，△ACB ≌△A′CB′，∠A′CB=30°，∠ACB′=110°，则∠ACA′的度数是 （    ）

A． B． C． D．
15．（2020·北京师大附中八年级期中）如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点，，交于，交于，连接、，下列结论：①；②；③垂直平分；④.其中正确的是（  ）

A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
16．（2020·北京二中八年级期中）当三角形的一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“特异三角形”，其中称为“特异角”．若一个“特异三角形”为直角三角形，则这个“特异角”的度数为_______．
17．（2020·北京二中八年级期中）如图，已知AC与BD交于点E，且AB=CD，请你再添加一个边或角的条件使△ABC≌△DCB，添加的条件是：________．（添加一个即可）

18．（2020·北京·汇文中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．若CD=1，AB=4，则△ABD的面积是_________．

19．（2020·北京四中八年级期中）已知等腰三角形一个外角的度数为，则顶角度数为____________.
20．（2020·北京一七一中八年级期中）等腰三角形有一个角是，则它的底角的度数为______.
21．（2020·北京·汇文中学八年级期中）已知，如图 AB=AC，∠BAC=40°，D 为 AB 边上的一点，过 D 作 DF⊥AB，交 AC 于 E，交 BC 延长线于点 F 则∠F=________°.

22．（2020·北京·汇文中学八年级期中）如图△ABC 中，AC=BC，∠ACB=120°，点 D 在线段 AB 上运动（D 不与 A、B 重合），连接 CD，作∠CDE=30°，DE 交 BC 于点 E，若△CDE 是等腰三角形，则∠ADC 的度数是___________.

23．（2020·北京·清华附中八年级期中）如图．在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为_________．

24．（2020·北京师大附中八年级期中）点（3，）关于轴的对称点的坐标是__________．
三、解答题
25．（2020·北京四中八年级期中）小宇遇到了这样一个问题：
已知：如图，，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足．
求作：线段OB上的一点C，使的周长等于线段的长．
以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C已经找到，即得周长等于OB的长，那么由，可以得到 ．
对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得，那么就可以得到 ．
若连接AD，由 ．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．
请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．

26．（2020·北京师大附中八年级期中）如图，已知等边三角形ABC，延长BA至点D，延长AC至点E，使AD=CE，连接CD，BE．求证：△ACD≌△CBE．

27．（2020·北京·汇文中学八年级期中）下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l及直线l上一点P．
求作：直线PQ，使得PQ⊥l．
作法：如图2：
①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，以大于AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q；
③作直线PQ．
所以直线PQ就是所求作的直线．
根据小石设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接QA，QB．
∵QA＝　 　，PA＝　 　，
∴PQ⊥l （　 　）（填推理的依据）．

28．（2020·北京·汇文中学八年级期中）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC延长线交于点E，连接AE，如果∠B=50°，∠BAC=21°，求∠CAE的度数.

29．（2020·北京·汇文中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠B=∠ACB,D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F，DB=3,CF=7,求AE.

30．（2020·北京四中八年级期中）如图，，和相交于点，．求证：．

参考答案
1．C
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】解：A、3+4＜8，不能组成三角形；
B、8+7=15，不能组成三角形；
C、13+12＞20，能够组成三角形；
D、5+5＜11，不能组成三角形．
故选：C．
【点睛】此题考查了三角形的三边关系，属于基础知识．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
2．B
【分析】根据三角形的三边关系，经计算即可得到答案．
【详解】根据三角形三边关系，得：

∴
∴四个选项中，选项B符合要求
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形三边关系的知识；解题的关键是熟练掌握三角形三边关系的性质，从而完成求解．
3．A
【分析】根据对称的性质即可得点A的坐标．
【详解】解：∵点A关于直线x＝1对称的点为B（﹣2，4），
∴点A的坐标为（4，4）．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-对称、关于平行于x轴或y轴的直线的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握对称的性质．
4．A
【分析】由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，进而可根据AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF的周长＝AB+BC，从而可得结论．
【详解】解：∵△GFH为等边三角形，
∴FH＝GH，∠FHG＝60°，
∴∠AHF+∠GHC＝120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠GHC+∠HGC＝120°，
∴∠AHF＝∠HGC，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴AF＝CH．
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
∴BE＝FH，
∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF
＝BD+CE+AF+BE+DF
＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），
＝AB+BC．
∴只需知道△ABC的周长即可．
故选：A．

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及多边形的周长问题，熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
5．C
【分析】根据平行线的性质得出∠CAB=40°，进而利用圆的概念判断即可．
【详解】解：∵直线l1∥l2，
∴∠ECA=∠CAB=40°，
∵以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，
∴BA=AC=AD，
,故A正确；
∵以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），
∴CB=CD，
∴∠CAB=∠DAC=40°，
∴∠BAD=40°+40°=80°，故B正确；
∵∠ECA=40°，∠DAC=40°，
∴CE=AE，故D正确；
故选：C．
【点睛】此题考查平行线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的判定，关键是根据平行线的性质得出∠CAB=40°解答．
6．D
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的特点是解题的关键.
7．C
【分析】连接AQ，BP，如图，利用基本作图得到BQ垂直平分PA，OB＝OQ，则可根据“SAS”判断△OAB≌△OPQ，根据全等三角形的性质得∠ABO＝∠PQO，于是可判断PQ∥AB；由BQ垂直平分PA得到QP＝QA，若PQ＝PA，则可判断△PAQ为等边三角形，于是得到∠APQ＝60°，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：连接AQ，BP，如图，
由作法得BQ垂直平分PA，OB＝OQ，
∴∠POQ＝∠AOB＝90°，OP＝OA，
∴△OAB≌△OPQ（SAS）；
∴∠ABO＝∠PQO，
∴PQ∥AB；
∵BQ垂直平分PA，
∴QP＝QA，
若PQ＝PA，则PQ＝QA＝PA，此时△PAQ为等边三角形，则∠APQ＝60°．
故选：C．

【点睛】本题考查基本作图、全等三角形的性质和判定、等边三角形的判定和平行线的判定，牢记性质和判定是解题的关键.
8．B
【分析】先根据题意及图像挖掘出相等的边或角，再根据全等三角形的判定方法即得．
【详解】∵AB是BF的垂线，BF是DE的垂线
∴
∵与互为对顶角
∴
在与中

∴
∴判定三角形全等的方法是：角边角．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形判定的实际问题及数形结合思想等，将题目文字信息转化为几何语言是解题关键．
9．A
【分析】根据角平分线的判定推出M在∠BAC的角平分线上，即可得到答案．
【详解】如图，

∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME=MF，
∴M在∠BAC的角平分线上，
故选：A．
【点睛】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键．
10．C
【分析】由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，再由三角形的外角性质则可求得答案．
【详解】∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∵∠BEC=∠A+∠ABE
∴∠BEC=40°+40°=80°．
故选：C．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
11．C
【分析】根据全等三角形的性质得到∠C的度数，然后利用三角形内角和定理计算即可.
【详解】解：∵△ABC≌△ABD，
∴∠C＝∠ADB＝100°，
∴∠BAC＝180°－100°－30°＝50°，
故选C.
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟知全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题关键.
12．C
【分析】由点P到A、B两点的距离相等，故P在AB的中垂线上，再根据点P到∠xOy的两边距离相等，故点P在∠xOy的角平分线上，可在图中作出点P，然后根据A、B的坐标即可求出P点坐标.
【详解】解：∵点P到A,B两点的距离相等，点P到∠xOy的两边距离相等
∴点P在AB的中垂线上，也在∠xOy的角平分线上
∵点P即为AB的中垂线与∠xOy的角平分线的交点，如下图所示，点P即为所求

∵AB⊥y轴
∴AB的中垂线∥y轴
∴点P的横坐标与AB中点的横坐标相等，且AB中点横坐标为：
∴P点横坐标为3
∵点P在∠xOy的角平分线上
∴P点横坐标=P点纵坐标=3
∴点P的坐标为（3,3）
故选C.
【点睛】此题考查的是垂直平分线的判定和角平分线的判定，利用垂直平分线的判定和角平分线的判定确定P点位置，然后根据平面直角坐标系中点的坐标特征，求点的坐标是解决此题的关键.
13．B
【分析】本题考查三角形的角之间的关系，把三个角都统一成一个角，根据内角和为180°即可求出三个角的大小.
【详解】解：∵∠A=∠B，∠A=∠C，
∴2∠A=∠B，3∠A=∠C
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+2∠A+3∠A=180°
∴∠A=30°，
∴∠C=90°，
所以三角形为直角三角形.
【点睛】三角形的三个角存在关系时，统一成同一个角，再根据内角和为180°，即可求出大小.
14．D
【分析】根据全等三角形对应角相等，∠ACB=∠A′CB′，所以∠ACA′=∠BCB′，再根据角的和差关系代入数据计算即可．
【详解】∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB=∠A′CB′，
∴∠ACB-∠A′CB=∠A′CB′-∠A′CB，
即∠ACA′=∠BCB′，
∵∠A′CB=30°，∠ACB′=110°，
∴∠ACA′=（110°-30°）=40°．
故选D．
【点睛】考查全等三角形对应角相等的性质，对应角都减去∠A′CB得到两角相等是解决本题的关键．
15．B
【分析】①根据角平分线的性质和外角的性质即可得到结论；
②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；
③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；
④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果．
【详解】①

,
②∵AP平分∠BAC，
∴P到AC，AB的距离相等，
∴,故错误.
③∵BE=BC，BP平分∠CBE，
∴BP垂直平分CE(三线合一)，
④∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，可得点P也位于∠BCD的平分线上，
∴∠DCP=∠FCP，
又∵PG∥AD，
∴∠FPC=∠DCP，
∴.
故①③④正确.
故选B.
【点睛】考查角平分线的性质, 线段垂直平分线的性质，综合性比较强，难度较大.
16．30°或22.5°
【分析】结合题意，若一个“特异三角形”为直角三角形，根据三角形的性质，分两种情况分析；再通过求解二元一次方程方程组，即可完成求解．
【详解】结合题意，若一个“特异三角形”为直角三角形
则：有两种情况，第一种是，第二种是直角为
假设时，得

∴
假设直角为时，得

∴
故答案为：30°或22.5°．
【点睛】本题考查了三角形内角和、直角三角形、二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、直角三角形、二元一次方程组的性质，从而完成求解．
17．AC=DB
【分析】本题已知条件是一条公共边BC=BC和AB=CD，所填条件必须和已知条件构成或经推理可以得出SSS、SAS，所以添加的条件可以是一条边对应相等或一个夹角对应相等．
【详解】添加AC=DB或∠ABC=∠DCB或△AOB≌△DOC后可分别根据SAS、SSS、SSS判定△ABC≌△DCB．
故答案为：AC=DB或∠ABC=∠DCB或△AOB≌△DOC．（添加一个即可）
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
18．2
【分析】根据角平分线的性质得到DE=DC=1，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：作DE⊥AB于E，

由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=1，
∴△ABD的面积=，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、作角平分线，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
19．或
【分析】等腰三角形的一个外角等于，则等腰三角形的一个内角为72°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
【详解】∵一个外角为，
∴三角形的一个内角为72°，
当72°为顶角时，其他两角都为、，
当72°为底角时，其他两角为72°、36°，
所以等腰三角形的顶角为或．
故答案为：或
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．
20．或
【分析】由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分40°的角是顶角和底角两种情况讨论．
【详解】解：当20°的角为等腰三角形的顶角时，底角＝＝80°；
当20°的角为等腰三角形的底角时，其底角为20°，
故它的底角的度数是80°或20°．
故答案为：20°或80°．
【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想．
21．20
【分析】由AB=AC，∠BAC=40°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠ABC=∠A C B=70°；再由DF⊥AB，根据三角形内角计算即可得到答案.
【详解】因为AB=AC，∠BAC=40°，所以根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠ABC=∠A C B==70°；因为DF⊥AB，所以∠BDF=90°，则根据三角形内角和可得∠F=180°-90°-70°=20°.
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理.
22．60°或105°
【分析】分类讨论：当CD=DE时；当DE=CE时；当EC=CD时；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算.
【详解】△CDE可以是等腰三角形，
∵△CDE是等腰三角形；
①当CD=DE时，
∵∠CDE=30°，
∴∠DCE=∠DEC=75°，
∴∠ADC=∠B+∠DCE=105°，
②当DE=CE时,∵∠CDE=30°，
∴∠DCE=∠CDE=30°，
∴∠ADC=∠DCE+∠B=60°.
③当EC=CD时，
∠BCD=180°−∠CED−∠CDE=180°−30°−30°=120°
∵∠ACB=180°−∠A−∠B=120°，
∴此时，点D与点A重合，不合题意.
综上,△ADC可以是等腰三角形,此时∠ADC的度数为60°或105°.
故答案为60°或105°.
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是分情况讨论.
23．10
【分析】利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到MB＝MO，NC＝NO，将三角形AMN周长转化，求出即可．
【详解】解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线，
∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠BCO，
∴∠ABO＝∠MOB，∠NOC＝∠ACO，
∴MB＝MO，NC＝NO，
∴MN＝MO＋NO＝MB＋NC，
∵AB＝4，AC＝6，
∴△AMN周长为AM＋MN＋AN＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝10，
故答案为10
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和平行线的性质是解题的关键．
24．（3,2）
【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P'的坐标是（x，﹣y），进而求出即可．
【详解】点（3，﹣2）关于x轴的对称点坐标是（3，2）．
故答案为（3，2）．
【点睛】本题考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题的关键．
25．图见解析，BC，DC，线段的垂直平分线的判定
【分析】在线段BO上截取BD=OA，连接AD，作线段AD的垂直平分线交OD于点C，连接AC，△AOC即为所求．
【详解】解：如图，△AOC即为所求．

如图1所示，若符合题意得点C已经找到，即得周长等于OB的长，那么由，可以得到BC．
对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得，那么就可以得到DC．
若连接AD，由线段的垂直平分线的判定．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．
故答案为：BC，DC，线段的垂直平分线的判定．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．见解析
【分析】根据等边三角形的性质求得AC=BC，∠DAC=∠BCE，再根据SAS证明△ACD≌△CBE．
【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠CAB=∠ACB=60°，
∴∠DAC=∠BCE=120°，
在△ACD和△CBE中
，
∵AD=CE，
∴△ACD≌△CBE（SAS）．
【点睛】考查了全等三角形的判定定理、等边三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
27．（1）见解析；（2）QB，PB，等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合．
【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据等腰三角形的性质即可完成证明．
【详解】解：（1）补全的图形如图2所示：

（2）证明：连接QA，QB．
∵QA＝QB，PA＝PB，

∴PQ⊥l （等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）．
故答案为：QB；PB；等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合．
【点睛】本题考查了作图-基本作图、等腰三角形的性质，解决本题的关键掌握等腰三角形的性质．
28．∠EAC=71°
【分析】根据三角形外角的性质得出∠ACE=71°，再根据线段垂直平分线的性质得AE=CE，从而得出∠EAC=∠ECA=71°.
【详解】∵AC的垂直平分线交AC于点D

∴EA=EC
∴∠EAC=∠ECA
∵∠B=50°，∠BAC=21°
∴∠ECA=∠B+∠BAC=71°
∴∠EAC=71°
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，三角形的外角性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
29．5
【分析】先证△ADE≌△CFE，得到AD=CF=7，从而求出AB的长，再根据等角对等边即可得：AC=AB，最后根据AE=AC，即可求出AE.
【详解】解：∵E是边AC的中点
∴AE=EC=AC
∵CF∥AB
∴∠A=∠FCE
在△ADE和△CFE中

∴△ADE≌△CFE
∴AD=CF=7
∴AB=AD+DB=10
∵∠B=∠ACB
∴AC=AB=10
∴AE=AC=5
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和等角对等边是解决此题的关键.
30．证明见解析.
【分析】由平行线的性质先得到， ，继而利用AAS证明，根据全等三角形的性质即可证得结论.
【详解】，
， ，
在和中， ，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

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