2021北京二中初二(上)期中数学(教师版).docx

2021北京二中初二（上）期中
数 学
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）
1．（3分）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在中国北京市和张家口市联合举办．以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中是轴对称图形的是　　
A． B． C． D．
2．（3分）下列计算正确的是　　
A． B． C． D．
3．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是　　
A． B．
C． D．
4．（3分）如果与的乘积中不含的一次项，那么的值为　　
A． B． C．0 D．1
5．（3分）如图，直线是四边形的对称轴，点是直线上的点，下列判断错误的是　　

A． B．
C． D．
6．（3分）要使成为完全平方式，那么常数的值是　　
A．4 B． C． D．

7．（3分）如图，中，，的垂直平分线分别交，于点，，连接，则的大小为　　

A． B． C． D．
8．（3分）如图，是等边的一条中线，若在边上取一点，使得，则的度数为　　)

A． B． C． D．
9．（3分）平面直角坐标系中，已知，若在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是　　
A．4 B．6 C．7 D．8
10．（3分）如图，，平分，且．若点，分别在，上，且为等边三角形，则满足上述条件的有　　

A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
二、填空题（每题2分，共16分）
11．（2分）当时，等于　 　．
12．（2分）若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为　 　．
13．（2分）已知，，则的值为　　．
14．（2分）若，，则　　．
15．（2分）如图，从边长为的大正方形中去掉一个边长为的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，这个操作过程能验证的等式是 　　．

16．（2分）如图，点为内任一点，，分别为点关于，的对称点．若，则　　．

17．（2分）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为 　　．

18．（2分）如图，在等边中，为边的中点，为边的延长线上一点，，于点．下列结论正确的有 　　．（把所有正确的序号写在横线上）
① ②
③ ④

三、解答题（共54分）
19．（6分）因式分解；
（1）；
（2）．

20．（4分）计解：．

21．（4分）计算：．

22．（5分）已知，求代数式的值．

23．（5分）如图，在平面直角坐标系中，直线是第一、三象限的角平分线．已知的三个顶点坐标分别为，，．
（1）若与△关于轴对称，画出△；
（2若直线上存在点，使最小，则点的坐标为 　　，的最小值为 　　．

24．（5分）如图，在中，，．
（1）画图：
①作的垂直平分线，分别与交于点，与交于点；（要求尺规作图，保留作图痕迹）
②连接；
③过点作垂直，垂足为．
（2）求证：．

25．（6分）如图，是的角平分线，在延长线上，，为中点，判断与的位置关系并证明．

26．（6分）老师在黑板上写出了一道思考题：已知，求的最小值．
（1）爱思考的小明同学想到了一种方法：先用表示，；
再把代入；　　；
再进行配方得到：　　　　；
根据完全平方式的非负性，就得到了的最小值是 　　．
（2）请你根据小明的方法，当时，求的最小值．

27．（6分）在中，，，点在线段上，，，垂足为，与相交于点．
（1）当，两点重合时（如图
直接写出　　；
直接写出线段与之间的数量关系 　　；
（2）当，不重合时（如图，写出线段与的数量关系，并证明．

28．（7分）如图，在平面直角坐标系中，经过点，且平行于轴的直线记作直线．我们给出如下定义：点先关于轴对称得到点，再将点关于直线对称得到点，则称点称为点关于轴和直线的二次反射点．
（1）点关于轴和直线的二次反射点的坐标是 　　；
（2）点关于轴和直线的二次反射点的坐标是，　　；
（3）若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的二次反射点是，求线段的长（用含的式子表示）；
（4）如图，正方形的四个顶点坐标分别为、、、，若点，关于轴和直线的二次反射点分别为，，且线段与正方形的边没有公共点，直接写出的取值范围．

2021北京二中初二（上）期中数学
参考答案
一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）
1．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：选项、、均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（A）与不是同类项，不能合并，故错误．
（B）原式，故错误．
（C）原式，故错误．
故选：．
【点评】本题考查整式运算，解题的关键是熟练整式的运算法则，本题属于基础题型．
3．【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
．等式的右边是一个整式和一个分式的积，即从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4．【分析】先根据多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，根据乘积不含的一次项得出，再求出即可．
【解答】解：

，
与的乘积中不含的一次项，
，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，能正确根据多项式乘多项式法则进行计算是解此题的关键．
5．【分析】根据直线是四边形的对称轴，得到点与点对应，根据轴对称的性质即可得到结论．
【解答】解：直线是四边形的对称轴，
点与点对应，
，，，
点时直线上的点，
，
，，正确，错误，
故选：．
【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
6．【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值．
【解答】解：，
，
解得．
故选：．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
7．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：是的垂直平分线，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8．【分析】由等边三角形的性质可得，，结合等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解的度数，进而可求解．
【解答】解：为等边三角形，
，
是等边的一条中线，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，求解的度数是解题的关键．
9．【分析】分为、，三种情况画图判断即可．
【解答】解：如图所示：

当时，符合条件的点有3个；
当时，符合条件的点有3个；
当点在的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．
故符合条件的点共有7个．
故选：．
【点评】本题主要考查的是等腰三角形的定义、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
10．【分析】如图在、上截取，作，只要证明即可推出是等边三角形，由此即可得结论
【解答】解：如图在、上截取，作．

平分，
，
，
，是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
．
，，
是等边三角形，
只要，就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故选：．
【点评】本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．
二、填空题（每题2分，共16分）
11．【分析】根据零指数幂的定义：，求解即可．
【解答】解：，
，
．
故答案是：1．
【点评】本题考查了零指数幂，掌握运算法则是解答本题的关键．
12．【分析】由等腰三角形中有一个角等于，可分别从①若为顶角与②若为底角去分析求解即可求得答案．
【解答】解：等腰三角形中有一个角等于，
①若为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为；
②若为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：．
这个等腰三角形的顶角的度数为：或．
故答案为：或．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是掌握等边对等角的知识，掌握分类讨论思想的应用．
13．【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，进行运算即可．
【解答】解：．
故答案为：12．
【点评】本题考查了同底数幂的除法运算及幂的乘方的知识，属于基础题，掌握各部分的运算法则是关键．
14．【分析】根据完全平方公式先求得的值，然后根据平方根的概念进行计算求解．
【解答】解：，且，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构是解题关键．
15．【分析】首先分别求出甲乙两图阴影部分的面积，然后根据面积相等可直接求得等式．
【解答】解：，
又

故答案为：
【点评】本题考查的重点是平方差公式的几何背景，运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
16．【分析】连接，根据轴对称的性质解答即可．
【解答】解：连接，
，分别为点关于，的对称点，
，，
，
，
，分别为点关于，的对称点，
，，
，
，
，
故答案为：150．
【点评】此题考查轴对称的性质，关键是根据轴对称中对应角相等．
17．【分析】先设，然后用含有的式子表示，，，进而得到，最后利用三角形的外角性质列出方程求得，即可求得的大小．
【解答】解：设，则，
由折叠得，，，
是的外角，
，
，
解得：，
，
故答案为：72．
【点评】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质，解题的关键是学会利用折叠的性质将其他角的度数用代数式表示．
18．【分析】根据等边三角形的性质得到，求得，连接，得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，故正确；于是得到，故正确；故错误，，故正确；
【解答】解：三角形是等边，
，
又，
，
又，
，
，故①正确，
连接，
等边中，是的中点，
，
，
，
又，
，故②正确；
，
，故③错误，
，
，
，故④正确；
故答案为：①②④．

【点评】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
三、解答题（共54分）
19．【分析】（1）直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）直接提取公因式，进而分解因式即可．
【解答】解：（1）

；
（2）

．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
20．【分析】把原式化为，然后根据平方差公式计算即可．
【解答】解：原式

．
【点评】此题考查的是平方差公式，掌握平方差公式的公式结构是解决此题关键．
21．【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，整式的除法计算即可．
【解答】解：原式

．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，整式的除法，掌握是解题的关键．
22．【分析】先化简代数式，再根据化简结果整体代入可得答案．
【解答】解：原式．
由可得，
．
【点评】本题考查整式的混合运算，应用整体代入是解题关键．
23．【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，此时的值最小，最小值为线段的长．
【解答】解：（1）如图，△即为所求；
（2）如图，点即为所求．，最小值为5，
故答案为：，5．

【点评】本题考查作图轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
24．【分析】1）利用基本作图作出的垂直平分线，然后连接，过点作的垂线即可；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到，然后证明，从而得到．
【解答】（1）解：如图，为所作；
如图，为所作；

（2）证明：垂直平分，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
25．【分析】结论：与的位置关系是垂直．想办法证明即可．
【解答】解：结论：与的位置关系是垂直．
证明：是的角平分线，
，
，
，，
，
，
又为中点，

，
，
，
．

【点评】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26．【分析】（1）根据小明的思路得到关于的代数式，根据平方的非负性即可求得最小值；
（2）根据小明的思路得到关于的代数式，根据平方的非负性即可求得最小值．
【解答】解：（1），
；
代入得到：

；
根据完全平方式的非负性，就得到了的最小值是2；
故答案为：，1，2，2；
（2），
；

；
根据完全平方式的非负性，就得到了的最小值是50．
根据小明的方法，当时，的最小值是50．

【点评】本题考查了配方法的应用和完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
27．【分析】（1）作交的延长线于，根据全等三角形的性质即可得到结论；根据等腰直角三角形的性质得到，根据题意求出，计算即可；
（2）如图2，过点作，与的延长线相交于点，与相交于点，得到，，根据全等三角形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论
【解答】解：（1），，
，
，
又，
，
，
延长，交于，
，
平分，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，，
，
在与中，
，
，
，
；
故答案为：；
故答案为：22.5，；
（2）结论：，
证明：如图2，过点作，与的延长线相交于点，与相交于点，
则，，
，
又，，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
28．【分析】（1）根据二次反射点的定义直接得出答案；
（2）根据二次反射点的定义得出，则，由此可得的值；
（3）根据二次反射点的定义得出，则可得出答案；
（4）根据二次反射点的定义得出，，由题意分两种情况列出不等式组，解不等式组可得出答案．
【解答】解：（1）点，
点关于轴对称得到点，
点关于直线对称得到点．
故答案为：．
（2）点，
点关于轴对称得到点，
点关于直线对称得到点，
，解得，
故答案为：．
（3）点的坐标是，
点关于轴对称得到点，
点关于直线对称得到点，即，
．
（4）由题意可知，点，关于轴和直线的二次反射点分别为，，
且轴，，
线段与正方形的边没有公共点，有三种情况：
①，解得；
②，解得；
③，解得．
综上，若线段与正方形的边没有公共点，则的取值范围或或．
【点评】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形变化，考查了正方形的性质，轴对称性质，新定义二次反射点的理解和运用；解题关键是对新定义二次反射点的正确理解．
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