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第2节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
考纲要求　1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．

知识梳理
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C>0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
2.点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.
3．线性规划的有关概念
名称
意义
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件
目标函数
关于x，y的解析式
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数达到最大值或最小值的可行解
线性规划问题
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题

1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：
(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；
(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．
2．判定二元一次不等式表示的区域
(1)若B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方．
(2)若B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．
诊断自测

1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　　)
(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．(　　)
(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．(　　)
(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
解析　(1)不等式x－y＋1>0表示的平面区域在直线x－y＋1＝0的下方．
(4)直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距是.

2．不等式组表示的平面区域是(　　)

答案　B
解析　x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2＜0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.
3．已知x，y满足约束条件则z＝2x＋y＋1的最大值、最小值分别是(　　)
A．3，－3 B．2，－4
C．4，－2 D．4，－4
答案　C
解析　不等式组所表示的平面区域如图所示．

其中A(－1，－1)，B(2，－1)，
C，
画直线l0：y＝－2x，平移l0过B时，zmax＝4，平移l0过点A时， zmin＝－2.

4．(2020·浙江卷)若实数x，y满足约束条件 则z＝x＋2y的取值范围是(　　)
A．(－∞，4] B．[4，＋∞)
C．[5，＋∞) D．(－∞，＋∞)
答案　B
解析　画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线x＋2y＝0，平移该直线，易知当直线经过点A(2,1)时，z取得最小值，zmin＝2＋2×1＝4，再数形结合可得z＝x＋2y的取值范围是[4，＋∞)．

5.(2020·汉中质检)不等式组所表示的平面区域的面积等于________．
答案　
解析　画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，

通过上图，可以发现不等式组表示的平面区域以点A，B(1,0)和C(2,0)为顶点的三角形区域(含边界)，因此S△ABC＝×(2－1)×＝.
6．(2021·成都诊断)已知x，y满足若使得z＝ax＋y取最大值的点(x，y)有无数个，则a的值为________．
答案　－1
解析　先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线z＝ax＋y和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，∴－a＝kAB＝1，∴a＝－1.

考点一　二元一次不等式(组)表示的平面区域
1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为(　　)
A．(－24,7)
B．(－7,24)
C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
答案　B
解析　根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0，即(a＋7)(a－24)<0，解得－7
解析　不等式组对应的平面区域如图，即对应的区域为正方形ABCD，其中A(0,1)，D(1,0)，边长AD＝，则正方形的面积S＝×＝2.

3．若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是(　　)
A. B．(0,1]
C. D．(0,1]∪
答案　D
解析　作出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分表示)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)，故0的平面区域，然后判断其形状；
(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．
考点二　求目标函数的最值
角度1　求线性目标函数的最值
【例1】　(2021·郑州模拟)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x－y的最小值为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．3
答案　C
解析　由约束条件可得可行域如图阴影部分(含边界)所示，

将z＝2x－y变为y＝2x－z，
当z取最小值时，y＝2x－z在y轴截距最大，由y＝2x图象平移可知，当y＝2x－z过点A时，在y轴截距最大，由得A(1,1)，∴zmin＝2×1－1＝1，故选C.
角度2　求非线性目标函数的最值
【例2】　(1)已知实数x，y满足则z＝的取值范围是________．
(2)(2020·景德镇模拟改编)若变量x，y满足约束条件则(x－1)2＋y2的最小值为________．
答案　(1)　(2)
解析　(1)作出不等式组
表示的平面区域如图中阴影部分所示，

这是一个三角形区域(包含边界)，三角形的三个顶点的坐标分别为B(1,2)，C，D(2,3)，的几何意义是可行域内任一点(x，y)与点P(－2,0)连线的斜率，连接PB，PC，由于直线PB的斜率为，直线PC的斜率为，由图可知z＝的取值范围是.
(2)画出约束条件
表示的可行域，如图中阴影部分所示．

设z＝(x－1)2＋y2，则其几何意义是区域内的点到定点(1,0)的距离的平方，由图知点(1,0)到直线2x－y＝0的距离最小，点(1,0)到直线2x－y＝0的距离d＝＝，则zmin＝d2＝，
所以(x－1)2＋y2的最小值为.
角度3　求参数值或取值范围
【例3】　(2021·太原调研)已知实数x，y满足 若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a＝(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
答案　B
解析　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z＝x＋2y经过点C时，z取得最小值－4，所以－a＋2·＝－4，解得a＝2.

感悟升华　线性规划两类问题的解决方法
(1)求目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的目标函数有： ①截距型：例如z＝ax＋by；②距离型：形如z＝；③斜率型：形如z＝.
(2)求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中．求解步骤为：①注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解．
【训练1】　(1)(2021·昆明质检)设x，y满足约束条件则的取值范围是(　　)
A. B．[－3,1]
C．(－∞，－3)∪(1，＋∞) D．
(2)若x，y满足条件当且仅当x＝y＝3时，z＝ax＋y取最大值则实数a的取值范围是(　　)
A. B．∪
C. D．∪
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，

目标函数z＝表示可行域内的点与点P(－6，－4)连线的斜率，数形结合可知目标函数在点A(－1,1)处取得最大值为＝1，
目标函数在点B(－5，－7)处取得最小值为＝－3，
故目标函数的取值范围是[－3,1]．故选B.
(2)不等式组对应的平面区域如图，由图可知，当目标函数的斜率满足－<－a<，即－安庆联考)某农户计划种植莴笋和西红柿，种植面积不超过30亩，投入资金不超过25万元，假设种植莴笋和西红柿的产量、成本和售价如下表：

年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
莴笋
5吨
1万元
0.5万元
西红柿
4.5吨
0.5万元
0.4万元
那么，该农户一年种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)的最大值为________万元．
答案　43
解析　设莴笋和西红柿的种植面积分别为x，y亩，一年的种植总利润为z万元．
由题意可得
z＝0.5×5x＋0.4×4.5y－(x＋0.5y)＝1.5x＋1.3y，
作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，

当直线z＝1.5x＋1.3y经过点A时，z取得最大值，
又解得x＝20，y＝10，
即A(20,10)，代入z＝1.5x＋1.3y可得z＝43.
感悟升华　1.解线性规划应用题的步骤．
(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；
(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；
(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．
2．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件，写出目标函数，转化成线性规划问题．
【训练2】　某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为(　　)
A．31 200元 B．36 000元
C．36 800元 D．38 400元
答案　C
解析　设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金为z元，则线性约束条件为
目标函数为z＝1 600x＋2 400y.
画出可行域如图中阴影部分所示，

可知目标函数过点N时，取得最小值，
由解得故N(5,12)，
故zmin＝1 600×5＋2 400×12＝36 800(元)．
“隐性”的线性规划问题
数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征．
近几年的高考及模拟考试中常出现一类隐性线性规划问题，即通过数量与数量的关系，抽象出线性规划问题，有时以解析几何、函数、数列为背景综合考查．
【典例】　如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，则mn的最大值为(　　)
A．16 B．18 C．25 D．
答案　B
解析　f′(x)＝(m－2)x＋n－8.由已知得：对任意的x∈，f′(x)≤0，所以f′≤0，
f′(2)≤0，所以
画出可行域，如图，令mn＝t，

则当n＝0时，t＝0；当n≠0时，m＝.
由线性规划的相关知识，只有当直线2m＋n＝12与曲线m＝相切时，t取得最大值．
由解得n＝6，t＝18.所以(mn)max＝18.
素养升华　1.本例以函数为载体隐蔽“约束条件”，有效实现了知识模块的交汇，本例要求从题设中抓住本质条件，转化为关于“m，n”的约束条件．
2．解题的关键是要准确无误地将已知条件转化为线性约束条件作出可行域，抓住可行域中所求点的相应几何意
义．该题立意新颖，在注意基础知识的同时，提升了数学抽象核心素养，渗透了等价转化思想和数形结合思想，考查了学生的综合应用能力．
【训练】　在等差数列{an}中，已知首项a1>0，公差d>0，a1＋a2≤60，a2＋a3≤100，则5a1＋a5的最大值为________，取到最大值时d＝________，a1＝________.
答案　200　20　20
解析　由题意得点(a1，d)满足
画出可行域，

又5a1＋a5＝6a1＋4d，
故经过B点，
即a1＝d＝20时，5a1＋a5取最大值200.

A级　基础巩固
一、选择题
1．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是(　　)
A．(0,0) B．(－1,1) C．(－1,3) D．(2，－3)
答案　C
解析　把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合，故选C.
2．(2021·合肥模拟)若实数x，y满足不等式组 则2x＋3y的最小值为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
答案　B
解析　画出不等式组

表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，

令z＝2x＋3y，则y＝－x＋z，
分析知，当x＝1，y＝1时，z取得最小值，
且zmin＝2＋3＝5.故选B.
3．设点(x，y)满足约束条件且x∈Z，y∈Z，则这样的点共有(　　)
A．12个 B．11个 C．10个 D．9个
答案　A
解析　画出表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，

由图可知，满足x∈Z，y∈Z的(x，y)为(－4，－1)，(－3,0)，(－2,1)，(－2,0)，(－1,0)，
(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，共12个，故选A.
4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝－4x＋y的最大值为(　　)
A．2 B．3 C．5 D．6
答案　C
解析　由约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示．

∵z＝－4x＋y可化为y＝4x＋z，
∴作直线l0：y＝4x，并进行平移，显然当l0过点A(－1,1)时，z取得最大值，
zmax＝－4×(－1)＋1＝5.故选C.
5．(2021·哈师大附中模拟)已知实数x，y满足约束条件则z＝2－2x＋y的最大值为(　　)
A. B． C． D．2
答案　C
解析　由实数x，y满足约束条件
作出可行域如图，则z＝2－2x＋y的最大值就是u＝－2x＋y的最大值时取得．

联立解得A(1,1)，
化目标函数u＝－2x＋y为y＝2x＋u，
由图可知，当直线y＝2x＋u过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z有最大值2－2＋1＝.故选C.
6．(2019·全国Ⅲ卷)记不等式组表示的平面区域为D.命题p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命题：
①p∨q；②綈p∨q；③p∧綈q；④綈p∧綈q.
这四个命题中，所有真命题的编号是(　　)
A．①③ B．①② C．②③ D．③④
答案　A
解析　法一　画出可行域如图中阴影部分所示．

目标函数z＝2x＋y是一组平行移动的直线，且z的几何意义是直线z＝2x＋y的纵截距．显然，直线过点A(2,4)时，zmin＝2×2＋4＝8，即z＝2x＋y≥8.
∴2x＋y∈[8，＋∞)．
由此得命题p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9正确；
命题q：∀(x，y)∈D,2x＋y≤12不正确．
∴①③真，②④假．
法二　取x＝4，y＝5，满足不等式组且满足2x＋y≥9，不满足2x＋y≤12，故p真q假．
∴①③真，②④假．
7．(2019·北京卷)若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为(　　)
A．－7 B．1 C．5 D．7
答案　C
解析　由|x|≤1－y，且y≥－1，得
作出可行域如图阴影部分所示．

设z＝3x＋y，则y＝－3x＋z.
作直线l0：y＝－3x，并进行平移．
显然当l0过点A(2，－1)时，z取最大值，zmax＝3×2－1＝5.故选C.
8．(2021·全国大联考)设不等式组 表示的平面区域为M，则(　　)
A．M的面积为
B．M内的点到x轴的距离有最大值
C．点A(x，y)在M内时，<2
D．若点P(x0，y0)∈M，则x0＋y0≠2
答案　C
解析　作出可行域，如图中阴影部分所示，由图可知，可行域为开放区域，所以选项A、B错误；由图可知点(1,1)在可行域内，而此时x＋y＝1＋1＝2，故选项D错误；表示区域M内的点(x，y)与N(－2,0)连线的斜率，由图知min＝kNB＝，

∴∈，故选项C正确，故选C.
二、填空题
9．(2020·山西名校联考)设x，y满足约束条件 则z＝x－2y的最小值是________．
答案　－4
解析　由约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，将z＝x－2y化为y＝x－，可知z的最小值即为y＝x－在y轴上截距最大时z的取值，由图可知，当y＝x－过点A时，在y轴上的截距最大，由得A(0,2)，∴zmin＝0－2×2＝－4.

10．(2021·平顶山一模)已知O为坐标原点，A(－1，－2)，P为平面区域M：内任意一点，则·的最小值为________．
答案　－2
解析　由题意可得，平面区域M(如图)是由点O(0,0)，D(0,1)，B(1,0)，C围成的四边形区域(包括边界)，由数量积的坐标运算得·＝－x－2y，设z＝－x－2y，当直线z＝
－x－2y平移到与DC重合时，目标函数z＝－x－2y有最小值(此时点P为线段DC上任意一点)，且最小值为－2.故·的最小值为－2.

11．(2020·昆明诊断)已知x，y满足则z＝3x＋2y的最大值为________．
答案　19
解析　根据条件画出可行域如图中阴影部分所表示的整点，由图可知z＝3x＋2y在点M处取得最大值，

由
得M，但M点的坐标不是整数，经过平移可知经过点(5,2)满足要求，且代入得z＝19，故最大值为19.
12．已知点A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面区域D由所有满足＝λ＋μ(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成，则D的面积为________．
答案　3
解析　设P(x，y)，且＝(2,1)，＝(1,2)，
∴＝＋＝(1，－1)＋λ(2,1)＋μ(1,2)，
∴

又1≤λ≤2,0≤μ≤1，
∴表示的可行域是平行四边形及内部．
如图，点B(3,0)到直线x－2y＝0的距离d＝.

又|BN|＝.∴区域D的面积S＝×＝3.
B级　能力提升
13．若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为(　　)
A. B．1 C． D．2
答案　B
解析　在同一直角坐标系中作出函数y＝2x的图象及所表示的平面区域，如图阴影部分所示．
由图可知，当m≤1时，
函数y＝2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故m的最大值为1.

14．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A，B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时．A，B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为(　　)
A．320千元 B．360千元
C．400千元 D．440千元
答案　B
解析　设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润为z千元，则作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示的整点，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，当直线z＝2x＋y经过直线2x＋3y＝480与直线6x＋y＝960的交点(150,60)(满足x∈N，y∈N)时，z取得最大值，为360.故该企业每月利润的最大值为360千元．

15．(2021·西安模拟)已知实数x，y满足(x＋y－2)(x－2y＋3)≥0，则x2＋y2的最小值为________．
答案　
解析　由(x＋y－2)(x－2y＋3)≥0，得
或
不等式组表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示．

x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2，表示平面区域内取一点到原点的距离的平方，
因为原点到x＋y－2＝0的距离为d＝＝，
原点到x－2y＋3＝0的距离为d＝＝＝<，
所以，x2＋y2的最小值为2＝.
16．(2021·九江联考)若x，y满足约束条件则z＝|x－y＋1|的最大值为________．
答案　
解析　根据约束条件画出可行域如图中阴影部分，z＝|x－y＋1|＝表示可行域内的点到直线x－y＋1＝0的距离的倍．由图可知点A到直线x－y＋1＝0的距离最大．
由解得A，所以zmax＝.