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上海中学高考月考练习
数学 2015.3
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1. 不等式的解集是_________.
2. 设集合,则=_______.
3.三角形的三边之比为,则此三角形的最大内角是_______.
4. 若纯虚数满足（其中是虚数单位，），则____.
5.已知双曲线的两个焦点分别是、，点在双曲线上，且垂直于轴，，则此双曲线的渐近线方程是________.
6.某产品经过4次革新后，成本由原来的10
2、5元下降到60元.如果这种产品每次革新后成本下降的百分率相同，那么每次革新后成本下降的百分率是______（精确到）.
7. 双曲线的渐近线与圆相切，则r=____.
8.已知复数（其中是虚数单位）,若在复平面上对应的点位于第三象限,则实数的取值范围是_______.
9.已知，则的值为_______．
10.已知是虚数单位，集合，，（可以等于)，从集合中任取一元素，则该元素为实数的概率为________.
11. 如图1所示的正方体的棱长为1,沿对角面(图中阴影部分)将其分割成两块,重新拼接成如图2所示的斜四棱柱,则所得的斜四棱柱的表面积是_______.
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12.在极坐标系中，已知点，点是曲线上任意一点，设点到直线的距离为，则的最小值为______.
13. 有一堆形状、大小相同的珠子，其中只有一粒重量比其它的轻，某同学经过思考，他说根据科学的算法，利用天平，四次肯定能找到这粒最轻的珠子，则这堆珠子最多有_____粒.
14. 以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，是该椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点）.若存在锐角，使，则直线、的斜率乘积为______.
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
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4、下列命题中错误的是（ ）
A．正棱锥的所有侧棱长相等；
B．圆柱的母线垂直于底面；
C．直棱柱的侧面都是全等的矩形；
D．用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形．
16．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则满足的实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
17．曲线与直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 、、、…，则等于 ( )
A ． B． C． D．
18. 若当为圆上任意一点时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．
5、 B．
C． D．
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
已知一个圆柱和一个圆锥等底等高,如图,点O为底面的圆心，点P为圆锥的顶点.若圆柱的高等于它的底面直径，
（1）求证:圆柱的任意一条母线和圆锥的任意一条母线所成的角都相等;
（2）求圆柱的全面积和圆锥的全面积的比值.
20.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分.
已知函数，
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（1）求的最小正周期及判断函数的奇偶性；
（2）在中，，.若对任意实数恒有,求面积的最大值.
21．（本大题满分14分）本大题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满8分.
已知展开式的各项依次记为．
设．
（1）若的系数依次成等差数列，求的值；
（2）求证：对任意，恒有.
22．（本大题满分16分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满6分.
抛物线的方程为，过抛物线上一点()作斜率为、的两条直线分别交抛物线于、两点（、、三点互不相同)，且满足.
(1) 求抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2) 当时，若点的坐标为，求为钝角时点的纵坐标的取值范围；(3) 设直线上一点，满足，证明线段的中点在轴上.
23. （本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.
已知是由非负整数组成的数列，且是存在的, 满足，
，n=3，4，5，…… .
（1）求；
（2）证明：（n=3,4,5，…）;
（3）求的通项公式及前n项和.
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