20届高考数学一轮(江苏版)习题-第1讲空间几何体及其表面积与体积.doc

第1讲　空间几何体及其表面积与体积
一、填空题
1．(2017·无锡模拟)若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为________．
解析　该正三棱锥的底面积为×()2＝，高为＝，所以该正三棱锥的体积为××＝.
答案　
2．(2017·宿迁模拟)用半径为2 cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为________cm.
解析　用半径为2 cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，该圆锥的母线长为2，底面圆的周长为2π，所以底面圆的半径为1，则这个圆锥筒的高为＝(cm)．
答案　
3．如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为________．

解析　三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝.
答案　
4．(2017·盐城模拟)若一个圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆面，则该圆锥的体积为________．
解析　由圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆面，得该半圆的半径是2，即为圆锥的母线长．半圆周长即为圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆半径为r，则2π＝2πr，解得r＝，所以圆锥的高是h＝＝，体积是V＝πr2h＝π.
答案　π
5．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)已知△ABC为等腰直角三角形，斜边BC上的中线AD＝2，将△ABC沿AD折成60°的二面角，连接BC，则三棱锥C－ABD的体积为________．
解析　由题意可得∠CDB＝60°，DC＝DB，所以△DCB是边长为2的等边三角形，且AD⊥平面DCB，所以三棱锥C－ABD的体积为S△BCD·AD＝××2×2sin 60°×2＝.
答案　
6．(2017·南京、盐城模拟)设一个正方体与底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为________．
解析　由题意可得正四棱锥的高为2，体积为×(2)2×2＝8，则正方体的体积为8，所以棱长为2.
答案　2
7．(2017·苏州调研)将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r1，r2，r3，则r1＋r2＋r3＝________.
解析　由题意可得三个扇形的弧长分别为，，5π，分别等于三个圆锥底面圆的周长，则r1＝，r2＝，r3＝，所以r1＋r2＋r3＝＋＋＝5.
答案　5
8．(2017·泰州模拟)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为BD1的中点，三棱锥O－ABD的体积为V1，四棱锥O－ADD1A1的体积为V2，则的值为________．

解析　V1＝V三棱锥D1－ABD＝V三棱锥B－ADD1＝V四棱锥B－ADD1A1＝V四棱锥O－ADD1A1＝V2，则＝.
答案　
二解答题
9．(2015·全国Ⅱ卷)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
解　(1)交线围成的正方形EHGF如图：

(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因为EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6.
故S四边形A1EHA＝×(4＋10)×8＝56，
S四边形EB1BH＝×(12＋6)×8＝72.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为(也正确)．
10．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2所示．

(1)求证：BC⊥平面ACD；
(2)求几何体D－ABC的体积．
(1)证明　在题图中，可得AC＝BC＝2，
从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC，
又平面ADC⊥平面ABC，
平面ADC∩平面ABC＝AC，
BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面ACD.
(2)解　由(1)可知，BC为三棱锥B－ACD的高，BC＝2，S△ACD＝2，∴VB－ACD＝S△ACD·BC＝×2×2＝，由等体积性可知，几何体D－ABC的体积为.
11．(2015·全国Ⅰ卷改编)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，

书中有如下问题“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有________斛(保留整数)．
解析　设圆锥底面半径为r，因为米堆底部弧长为8尺，所以r＝8，r＝≈(尺)，所以米堆的体积为V＝××π×2×5＝(立方尺)，又1斛米的体积约为1.62立方尺，所以该米堆有÷1.62≈22(斛)．
答案　22
12．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若＝，则的值为________．
解析　棱长为a的正方体的体积V1＝a3，表面积S1＝6a2，底面半径和高均为r的圆锥的体积V2＝πr3，侧面积S2＝πr2，则＝＝，则a＝r，所以＝＝.
答案　
13．(2017·南通调研)在体积为的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB＝1，BC＝2，BD＝3，则CD的长度为________．
解析　四面体ABCD的体积为××2×3sin∠CBD×1＝sin∠CBD＝，则∠CBD＝60°或∠CBD＝120°.当∠CBD＝60°时，CD2＝9＋4－2×3×2×＝7，CD＝；当∠CBD＝120°时，CD2＝9＋4＋2×3×2×＝19，CD＝，故CD的长度为或.
答案　或
14．一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm.
(1)求三棱台的斜高；
(2)求三棱台的侧面积和表面积．
解　(1)设O1，O分别为正三棱台ABC－A1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O1O＝，过O1作O1D1⊥B1C1，OD⊥BC，

则D1D为三棱台的斜高；过D1作D1E⊥AD于E，
则D1E＝O1O＝，
因O1D1＝×3＝，OD＝×6＝，
则DE＝OD－O1D1＝－＝.
在Rt△D1DE中，
D1D＝＝＝(cm)．
故三棱台的斜高为 cm.
(2)设c，c′分别为上、下底的周长，h′为斜高，
S侧＝(c＋c′)h′＝(3×3＋3×6)×＝(cm2)，
S表＝S侧＋S上＋S下＝＋×32＋×62＝(cm2)．
故三棱台的侧面积为 cm2，
表面积为 cm2.