第01讲-有理数(知识点梳理)(记诵版)-【学霸计划】2022年中考数学大复习(知识.doc

第1讲 有理数知识点梳理

考点01 正数和负数
1.正数：像1,2,3,4,0.1等这样大于0的数叫作正数。正数的前面的“+”可以省略不写。
2.负数：像-0.2，-2，-6这样在正数前面加上符号“-”（负号）的数叫作负数。
3.注意事项：
（1）0既不是正数也不是负数，0是正数和负数的分界线；
（2）对于正数和负数，不能简单地理解为带“+”号的数就是正数，带负号的数就是负数，要根据正负数的含义，看其是符合正数的定义还是符合负数的定义。
4.正负习惯：习惯上把零上、增加、前进、海平面以上、收入、向南、盈利、上升等记为正，把与它们意义相反的量记为负。
考点02 有理数与数轴
1.有理数定义：正整数、0、负整数统称整数，正分数、负分数统称分数，整数和分数统称有理数。
2.有理数的分类

3.注意：
（1）整数可以看成是分母为1的分数，所以有理数都可以写成分数的形式；有限小数和无限循环小数都可以写成分数形式，所以有限小数和无限循环小数都是有理数。
（2）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数。
4.零的作用
（1）表示数的性质，例如0是自然数；
（2）表示没有，例如有5个本子，用+5表示，没有本子用0表示；
（3）表示正数与负数的分界。
5.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。数轴的三要素即原点、正方向和单位长度。
6数轴上的点与有理数
有理数都可以用数轴上的点来表示，任何一个有理数都能在数轴上找到与它对应的点，而且是唯一的点，但数轴上的点不一定都是有理数。
考点03 相反数和绝对值
1.相反数的代数意义：只有符号不同的两个数叫作互为相反数，把其中一个数叫作另一个数的相反数。0的相反数是0.
2.相反数的几何意义：两个互为相反数的数在数轴上所表示的点在原点的两侧且到原点的距离相等；这两点关于原点对称。
3.多重符号的化简：数字前面的“-”号的个数若有偶数个，化简结果为正；有奇数个时，花间结果为负。
4.相反数的性质：如果互为相反数，那么或或；反过来，如果，那么互为相反数。
5.绝对值的概念在数轴上，表示的点到原点的距离，叫作数的绝对值，记作，读作的绝对值。
6.绝对值的意义：
（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。距离原点越远，绝对值越大，距离原点越近，绝对值越小。
（2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值等于它本身；一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
或
7.有关绝对值的注意事项：
（1）因为距离是非负的，所以任何一个数的绝对值都是非负数，即；
（2）互为相反数的两个数因为到原点的距离相等，所以互为相反数的两个数的绝对值相等；
（3）含绝对值的四则运算一般要先去绝对值；
（4）两个负数，绝对值大的反而小。
考点04 有理数大小的比较
1.利用数轴进行有理数的比较：
（1）数轴上不同的点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
（2）正数大于0,0大于负数，正数大于负数。
2.利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。（在比较两个负数大小时，一般不改变两数原来的顺序，以免判断时失误）
3.倒数比较法：同号两数，倒数大的反而小。
4.差值比较法：设是任意两个有理数，若则；若，则；若，则。
5.商值比较法：设，则；；。
考点05 有理数的加减
1.有理数的加法法则：
（1）同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等且异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
（3）互为相反数的两个数相加得0；
（4）一个数与0相加，仍得这个数。
2.用字母表示有理数加法的运算法则：
（1）同号两数相加：
若，则；
若，则；
（2）异号两数相加：
若，且，则；
若，且，则；
若，且，则；
（3）一个数与0相加：；
3.有理数加法的运算律：
（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。（）（交换加数的位置时，不要忘记带上符号）
（2）加法结合律：3个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
4.有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，用字母表示为：。
5.有理数加、减法混合运算
（1）加减法统一成加法；
（2）有理数加、减混合运算的方法和步骤
第一步：用减法法则将减法转化为加法；
第二步：运用加法法则、加法交换律、加法结合律进行简便运算。
6.有理数加减混合运算的注意事项
（1）运用加法交换律，在交换各数的位置时要连同他们前面的符号一起交换；
（2）应用加法结合律时，应充分考虑同号加数结合、同分母或便于通分的加数结合、凑整的加数结合、互为相反数的加数结合等情形，从而选择适当的方法，使运算简便。
（3）若分数、小数混在一块运算时，可以把它们先统一成分数或小数再运算。
（4）如果有大括号和小括号，应当先进行小括号里的运算，再进行大括号里的运算。
（5）负的带分数拆分为整数与分数的和时，不要将负整数与负分数的和错拆为负整数与正分数的和。
考点06 有理数的乘除和乘方
1.有理数的乘法
（1）有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘仍得0.
（2）有理数乘法法则的推广：
①几个数相乘，有一个因数为0，积为0.
②几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定；负因数有奇数个，积为负；负因数为偶数个，积为正；积的绝对值等于各因数绝对值的积。
2.倒数的概念：乘积为1的两个数互为倒数。倒数的求法：若，则的倒数是；正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数。
3.有理数的乘法运算律：
（1）乘法的交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等（）；
（2）乘法结合律：3个数相乘，先把前两个数相乘或先把后两个数相乘，积相等。
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
4.有理数的除法法则
（1）有理数的除法法则1：除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。
（2）有理数的除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任意一个不为0的数仍得0.
5.有理数的乘除混合运算
（1）方法：有理数的乘除混合运算，先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则确定积的符号，最后将绝对值相乘得出结果。
（2）运算顺序：对于连除或乘除混合运算问题，可以按从左到右的顺序依次进行计算，也可以直接把除法转化为乘法来计算。
6.有理数的四则混合运算顺序：对于含有加、减、乘、除的有理数的混合运算顺序是：如果没有括号，应先做乘除法运算，后作加减法运算；如果有括号，则先进行括号内的运算，再做其他运算。
7.有理数的乘方：求个相同因数的积的运算叫作乘方，乘方的结果为幂。
表示个相同的因数相乘，记作，即：，中，叫作底数，叫作指数。
8.有理数的乘方运算法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0.
9.有理数混合运算的顺序：先乘方，再乘除，后加减；同级运算，按从左到右的顺序进行；如果有括号，先算括号里的运算（括号里的运算顺序是：先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。）
考点07 科学计数法和近似数
1.科学计数法：一般地，绝对值大于10的数都可以表示成的形式，其中，等于原数的整数位减1，这种计数的表示方法叫作科学计数法。
2.绝对值大于10的数用科学计数法表示时，的确定方法：
（1）的指数比原数的整数位少1，是整数位数只有一位的数。
（2）将原数的小数点从右向左移动，一直移到最高位的后面，这时得到的数就是，小数点移动的位数就是。
3.近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫作这个数的近似数。
（1）近似数与准确数的接近程度可以用精确度表示，近似数最末一个数字所处数位就是它的精确度。
（2）一般地，一个近似数四舍五入到哪一位就说这个数精确到哪一位。