2020-2022北京高一(上)期末数学汇编：函数的概念及其表示.docx

2020-2022北京高一（上）期末数学汇编
函数的概念及其表示
一、单选题
1．（2022·北京顺义·高一期末）函数的定义域为（）
A． B．
C． D．
2．（2022·北京通州·高一期末）已知函数表示为

设，的值域为，则（）A．， B．，
C．， D．，
3．（2022·北京西城·高一期末）函数的定义域是（）
A． B．
C． D．
4．（2022·北京丰台·高一期末）已知函数，那么（）
A．-2 B．-1 C． D．2
5．（2021·北京市第八中学京西校区高一期末）已知函数的定义域是，满足且对于定义域内任意x，y都有成立那么的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2021·北京·高一期末）设函数,
A．3 B．6 C．9 D．12
7．（2021·北京石景山·高一期末）若则一定有
A． B． C． D．
8．（2020·北京西城·高一期末）函数的定义域为（）
A． B．
C． D．
9．（2020·北京石景山·高一期末）函数的定义域是（）
A． B． C． D．
二、填空题
10．（2022·北京丰台·高一期末）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.现有两名剪纸艺人创作甲､乙两种作品，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横､纵坐标分别为第i名艺人上午创作的甲作品数和乙作品数，点的横､纵坐标分别为第i名艺人下午创作的甲作品数和乙作品数，i=1，2.给出下列四个结论：

①该天上午第1名艺人创作的甲作品数比乙作品数少；
②该天下午第1名艺人创作的乙作品数比第2名艺人创作的乙作品数少；
③该天第1名艺人创作的作品总数比第2名艺人创作的作品总数少；
④该天第2名艺人创作的作品总数比第1名艺人创作的作品总数少.
其中所有正确结论的序号是___________.
11．（2022·北京石景山·高一期末）函数的定义域是___________.
12．（2022·北京市怀柔区教科研中心高一期末）函数定义域是___．
13．（2021·北京东城·高一期末）函数的定义域为________．
14．（2021·北京石景山·高一期末）设则__________.
15．（2020·北京·首都师范大学附属中学高一期末）函数的定义域为_________.
三、解答题
16．（2020·北京西城·高一期末）设函数其中P，M是非空数集．记f(P）＝{y|y＝f(x)，x∈P}，f(M)＝{y|y＝f(x)，x∈M}．
（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，求f(P)∪f(M)；
（Ⅱ）若P∩M＝∅，且f(x)是定义在R上的增函数，求集合P，M；
（Ⅲ）判断命题“若P∪M≠R，则fP)∪f(M)≠R”的真假，并加以证明．
四、双空题
17．（2022·北京大兴·高一期末）能说明命题“如果函数与的对应关系和值域都相同，那么函数和是同一函数”为假命题的一组函数可以是________________，________________．
18．（2021·北京大兴·高一期末）已知函数，，且，，则________；的一个解析式可以是________．
19．（2020·北京房山·高一期末）已知函数当时，的值域为________；若在R上单调递减，则a的取值范围是________.
20．（2020·北京东城·高一期末）已知函数，则_____；若，则实数_____．

参考答案
1．A
【分析】由被开方数非负求解即可
【详解】由题意得，解得，
所以函数的定义域为，
故选：A
2．A
【分析】根据所给函数可得答案.
【详解】根据题意得，的值域为.
故选：A.
3．B
【分析】解不等式组即可得定义域.
【详解】由得：
所以函数的定义域是.
故选：B
4．A
【分析】直接代入计算即可.
【详解】
故选：A.
5．C
【解析】根据题意令，代入，即可得出，即可求出的值.
【详解】解：对于定义域内任意x，y，都有成立，
令，
得：，
.
故选：C.
6．C
【详解】.故选C.
7．D
【详解】本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选
8．D
【解析】根据偶次方根被开方数非负、分母不为0，可建立等式关系，进而可求出函数的定义域.
【详解】由题意，可得，解得或.
所以函数的定义域为.
故选：D.
9．D
【解析】要使函数有意义，只需满足分母不为零，被开方数不为负数即可.
【详解】因为，
所以，
解得且，
所以函数定义域为，
故选：D
【点睛】本题主要考查了有函数解析式的定义域的求法，属于容易题.
10．①②④
【分析】根据点的坐标的意义结合图形逐个分析判断即可
【详解】对于①，由题意可知，的横､纵坐标分别为第1名艺人上午创作的甲作品数和乙作品数，由图可知的横坐标小于纵坐标，所以该天上午第1名艺人创作的甲作品数比乙作品数少，所以①正确，
对于②，由题意可知，的纵坐标为第1名艺人下午创作的乙作品数，的纵坐标为第2名艺人下午创作的乙作品数，由图可知的纵坐标小于的纵坐标，所以该天下午第1名艺人创作的乙作品数比第2名艺人创作的乙作品数少，所以②正确，
对于③，④，由图可知，的横、纵坐标之和大于的横、纵坐标之和，所以该天第2名艺人创作的作品总数比第1名艺人创作的作品总数少，所以③错误，④正确，
故答案为：①②④
11．
【分析】根据偶次方根的被开方数非负得到不等式，解得即可；
【详解】解：因为，所以，解得，即函数的定义域为
故答案为：
12．
详解】试题分析：根据偶次方根式下被开方数非负，有因此函数定义域是，注意结果要写出解集性质.
考点：函数定义域
13．
【解析】解不等式组可得答案.
【详解】由函数有意义得，解得且.
所以函数的定义域为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法：
1、有分式时：分母不为0；
2、有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0；
3、有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0；
4、有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0；
5、有指数函数形式时：底数和指数都含有，指数底数大于0且不等于1；
6、有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1.
14．
【分析】先求，再求的值.
【详解】由分段函数可知，
.
故答案为：
【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题型.
15．
【分析】根据对数真数大于零，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.
【详解】依题意有，解得.
故答案为
【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，考查对数的性质，属于基础题.
16．（Ⅰ）[0，+∞）；（Ⅱ）P＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M＝{0}；（Ⅲ）真命题，证明见解析
【解析】(Ⅰ)求出f(P)＝[0，3]，f(M)＝(1，+∞)，由此能过求出f(P)∪f(M)．
(Ⅱ)由f(x)是定义在R上的增函数，且f(0)＝0，得到当x＜0时，f(x)＜0，(﹣∞，0)⊆P．同理可证(0，+∞)⊆P．由此能求出P，M．
(Ⅲ)假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f(P)∪f(M)＝R．证明0∈P∪M．推导出f(﹣x0)＝﹣x0，且f(﹣x0)＝﹣(﹣x0)＝x0，由此能证明命题“若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R”是真命题．
【详解】(Ⅰ)因为P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，
所以f(P)＝[0，3]，f(M)＝(1，+∞)，
所以f(P)∪f(M)＝[0，∞)．
(Ⅱ)因为f(x)是定义在R上的增函数，且f(0)＝0，
所以当x＜0时，f(x)＜0，
所以(﹣∞，0)⊆P．同理可证(0，+∞)⊆P．
因为P∩M＝∅，
所以P＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，M＝{0}．
(Ⅲ)该命题为真命题．证明如下：
假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f(P)∪f(M)＝R．
首先证明0∈P∪M．否则，若0∉P∪M，则0∉P，且0∉M，
则0∉f(P)，且0∉f(M)，
即0∉f(P)∪f(M)，这与f(P)∪f(M)＝R矛盾．
若∃x0∉P∪M，且x0≠0，则x0∉P，且x0∉M，
所以x0∉f(P)，且﹣x0∉f(M)．
因为f(P)∪f(M)＝R，
所以﹣x0∈f(P)，且x0∈f(M)．
所以﹣x0∈P，且﹣x0∈M．
所以f(-x0)＝﹣x0，且f(-x0)＝﹣(﹣x0)＝x0，
根据函数的定义，必有﹣x0＝x0，即x0＝0，这与x0≠0矛盾．
综上，该命题为真命题．
【点睛】本题考查函数新定义问题，考查学生的创新意识，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17．（答案不唯一）；
【分析】根据所学函数，取特例即可.
【详解】根据所学过过的函数，可取，，
函数的对应法则相同，值域都为，
但函数定义域不同，是不同的函数，故命题为假.
故答案为：；
18．48
【解析】根据题意可逐项求出，利用累乘法可得，令可求出函数的一个解析式.
【详解】根据题意得
，
，
累乘可得，又，，
令，则，，
的一个解析式可以是.
故答案为：48；
19．
【解析】当时，分别求出和时的值域，再求并集即可；在R上单调递减，则需要时单调递减和，即可解出答案.
【详解】由题意，当时，，
所以当时，的值域为，
当时，单调递减，，又，
所以时的值域为，
所以的值域为；
若在R上单调递减，则需时单调递减，
以及时，，
故，
故.
故答案为：；
【点睛】本题主要考查求函数值域、指数函数和分段函数的图像性质，属于中档题
20．或
【解析】结合已知函数解析式,把代入即可求解,结合已知函数解析式及,对进行分类讨论分别求解．
【详解】,
则；
,
①当时,可得,即,
②当时,可得,即,
综上可得或．
故答案为：；或
【点睛】本题考查了求分段函数的函数值的问题,解题时应对自变量进行分析,是基础题．

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