广东省佛山市2017-2018学年高一上学期期末教学质量检测数学试题-Word版含解析.doc

2017-2018学年佛山市普通高中高一教学质量检测
数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B

∴集合
∵集合
∴
故选B
2. 下列函数既是奇函数，又是在区间上是增函数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】对于，函数，定义域是，有，且在区间是增函数，故正确；
对于，函数的定义域是，是非奇非偶函数，故错误；
对于，函数的定义域是，有，在区间不是增函数，故错误；
对于，函数的定义域是，有，是偶函数不是奇函数，故错误。
故选A
3. 已知，，且，则（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D. -1
【答案】D
【解析】∵，
∴
∵
∴
∴
故选D
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A

∴
∴
∴
故选A
5. 函数=的图像大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意函数的定义域是
∵
∴是偶函数
∴函数图像关于轴对称，故排除
当时，函数为增函数，故排除
故选A
点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
6. 已知，，则（ ）
A. 2 B. C. D. 1
【答案】D
【解析】∵，
∴
故选D
7. 已知偶函数在单调递减，则使得成立的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵函数为偶函数，
∴
∵函数在单调递减
∴，即
∴使得成立的的取值范围是
故选C
点睛：这个题目考查的是抽象函数的单调性和奇偶性，在不等式中的应用.解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.
8. 如图所示，是顶角为的等腰三角形，且，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵是顶角为的等腰三角形，且
∴
∴
故选D
9. 已知为锐角，且，，则（ ）
A. B. C. D.

【答案】B
【解析】∵为锐角，且
∴
∵，即
∴，即
∴∴
故选B
10. 若，则错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于，由，则，故正确；对于，，故正确；对于，，故正确；对于，，故错误
故选D
11. 将函数的图像向右平移个单位后得到的图像关于直线对称，则的最小正值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数，将其图像向右平移个单位后得到
∵这个图像关于直线对称
∴，即
∴当时取最小正值为
故选C
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.
12. 如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发，绕着点逆时针旋转，在旋转的过程中，记（），所经过的单位圆内区域（阴影部分）的面积为，记，则下列选项判断正确的是（ ）

A. 当时，
B. 对任意，且，都有
C. 对任意，都有
D. 对任意，都有
【答案】C
【解析】对于，当，故错误；对于，由题可知对于任意，为增函数，所以与的正负相同，则，故错误；对于，由，得对于任意，都有；对于，当时，，故错误.
故选C
D对任意，都有
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 计算：__________．
【答案】4
【解析】
故答案为4
14. 在平行四边形中，为上的中点，若与对角线相交于，且，则__________．
【答案】3
【解析】由题意如图：

根据平行线分线段成比例定理，可知，又因为，所以根据三角形相似判定方法可以知道
∵为的中点
∴相似比为
∴
∴
故答案为3
15. 已知函数同时满足以下条件：
①定义域为；②值域为；③，
试写出一个函数解析式__________．
【答案】或或或（不唯一）
【解析】函数定义域为R，值域为且为偶函数，满足题意的函数解析式可以为：或或
16. 已知函数，，那么函数的图像与函数的图像的交点共有__________个．
【答案】8
【解析】在同一坐标系中，分别画出函数，及函数的图像，如图所示：

由图可知，两个函数的图象共有8个交点
故答案为8
点睛：解决函数与方程问题的基本思想就是数形结合思想和等价转化思想，运用函数图象来研究函数零点或方程解的个数，在画函数图象时，切忌随手一画，可利用零点存在定理，结合函数图象的性质，如单调性，奇偶性，将问题简化。
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，进而利用二倍角的正弦函数公式即可计算得解；（2）由（1）及两角和的余弦函数公式，诱导公式即可计算得解．
试题解析：（1）由题意得：，
∴.
（2）∵，，
∴.
18. 已知函数 的图像如图所示.

（1）求函数的解析式；
（2）当时，求函数的最大值和最小值.
【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为-1.
【解析】试题分析：（1）由图可知，，可得，再将点代入得，结合，可得的值，即可求出函数的解析式；（2）根据函数的周期，可求 时函数的最大值和最小值就是转化为求函数在区间上的最大值和最小值，结合三角函数图象，即可求出函数的最大值和最小值.
试题解析：（1）由图可知：，则
∴，
将点代入得，，
∴，，即，
∵
∴
∴函数的解析式为.
（2）∵函数的周期是
∴求时函数的最大值和最小值就是转化为求函数在区间上的最大值和最小值.
由图像可知，当时，函数取得最大值为，
当时，函数取得最小值为.
∴函数在上的最大值为，最小值为-1.
点睛：已知图象求函数解析式的方法
（1）根据图象得到函数的周期，再根据求得．
（2）可根据代点法求解，代点时一般将最值点的坐标代入解析式；也可用“五点法”求解，用此法时需要先判断出“第一点”的位置，再结合图象中的点求出的值．
（3）在本题中运用了代点的方法求得的值，一般情况下可通过观察图象得到的值．
19. 如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，且，设.

（1）当时，求的值；
（2）求的最大值.
【答案】（1）0；（2）2.
【解析】试题分析：（1）以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，，，，由，得，即可求出的值；（2）由三角函数的定义可设，然后表示出，结合三角函数的图象与性质，即可求出最大值.
试题解析：（1）如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，

则，，，.
当时，，则，.
∴.
（2）由三角函数的定义可设，
则，，，
从而，
∴
∵
∴时，取得的最大值为2.
20. 国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼吸酒精含量阀值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫克升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝1瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：

该函数模型如下：

根据上述条件，回答以下问题：
（1）试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？
（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）
（参数数据：，，）
【答案】（1）喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值44.42毫克/百毫升；（2）喝1瓶啤酒后需6小时后才可以合法驾车.
【解析】试题分析：（1）由图可知，当函数取得最大值时，，根据函数模型，即可求出最大值；（2））由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时，然后解不等式，即可求出.
试题解析：（1）由图可知，当函数取得最大值时，，
此时，
当，即时，函数取得最大值为.
故喝1瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精含量达到最大值44.42毫克/百毫升.
（2）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时.
由，得：，
两边取自然对数得：
即，
∴，故喝1瓶啤酒后需6小时后才可以合法驾车
21. 已知函数，，设（其中表示中的较小者）.
（1）在坐标系中画出函数的图像；
（2）设函数的最大值为，试判断与1的大小关系，并说明理由.
（参考数据：，，）
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）根据（其中表示中的较小者），即可画出函数的图像；（2）由题意可知，为函数与图像交点的横坐标，即，设，根据零点存在定理及函数在上单调递增，且为连续曲线，可得有唯一零点，再由函数在上单调递减，即可得证.
试题解析：（1）作出函数的图像如下：

（2）由题意可知，为函数与图像交点的横坐标，且，
∴.
设，易知即为函数的零点，
∵，，
∴，
又∵函数在上单调递增，且为连续曲线，
∴有唯一零点
∵函数在上单调递减，
∴，即.
22. 已知，.
（1）当时，求函数在上的最大值；
（2）对任意的，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）3；（2）.
【解析】试题分析：（1）由，得出函数的解析式，根据函数图象，得函数的单调性，即可得到函数在上的最大值；（2）对任意的，都有成立，等价于对任意的，成立，再对进行讨论，即可求出实数的取值范围.
试题解析：（1）当时，，
结合图像可知，函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

又，，
所以函数在上的最大值为3.
（2） ，由题意得：成立.
①时，，函数在上是增函数，
所以，，
从而，解得，
故.

②因为，由，得：，
解得：或（舍去）
当时，，此时，，
从而成立，
故
当时，，此时，，
从而成立，
故，
综上所述：.
点睛：（1）对于形如，对任意的，恒成立的问题，可转化为恒成立的问题，然后根据函数的单调性将函数不等式转化为一般不等式处理；（2）解决不等式的恒成立问题时，要转化成函数的最值问题求解，解题时可选用分离参数的方法，若参数无法分离，则可利用方程根的分布的方法解决，解题时注意区间端点值能否取等号．

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