2021北京清华附中朝阳学校高一(上)10月月考数学(教师版).docx

2021北京清华附中朝阳学校高一（上）10月月考
数 学
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．（4分）设集合，，则下列各式中不正确的是　　
A． B． C． D．，
2．（4分）已知命题，，则是　　
A．， B．， C．， D．，
3．（4分）设，，，则　　
A． B． C． D．
4．（4分）下列不等式中成立的是　　
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．（4分）已知全集，1，且，则集合的真子集共有　　
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．（4分）若函数，则（5）等于　　
A． B．4 C．2 D．
7．（4分）下列函数中哪个与函数相等　　
A． B． C． D．
8．（4分）函数是　　
A．偶函数 B．奇函数
C．既不是奇函数，也不是偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数
9．（4分）已知定义在上的偶函数在上是减函数，则　　
A．（3） B．（3）
C．（3） D．（3）
10．（4分）已知且，则“”是“”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

11．（4分）直角梯形中，，，，直线截该梯形所得位于左边图形面积为，则函数的图象大致为　　
A． B． C． D．
12．（4分）对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　
A． B．， C．， D．，
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）.
13．（4分）函数的定义域是 　　．
14．（4分）已知函数，若，则　　．
15．（4分）不等式的解集是，则　　，　　．
16．（4分）已知实数，则的最小值是 　　．
17．（4分）已知函数，且在，上恒成立，则的取值范围是 　　．
18．（4分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出20种商品，第二天售出14种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有5种，后两天都售出的商品有4种，则该网店．
①第一天售出但第二天未售出的商品有　　种；
②这三天售出的商品最少有　　种．
三、解答题共6小题，共78分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
19．（13分）已知集合，或，．
（Ⅰ）求和；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围．

20．（13分）解下列不等式．
（1）；
（2）．

21．（13分）已知函数，且（1）．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）判断并证明的奇偶性；
（Ⅲ）判断函数在，上是单调递增还是单调递减？并证明．

22．（13分）如图，某学校准备修建一个面积为600平方米的矩形活动场地（图中的围栏，按照修建要求，中间用围墙隔开，使得为矩形，为正方形，设米，已知围墙（包括的修建费用均为每米800元，设围墙（包括的修建总费用为元．
（1）求出关于的函数解析式及的取值范围；
（2）当为何值时，围墙（包括的修建总费用最小？并求出的最小值．

23．（13分）设集合，．关于的不等式的解集为．
（Ⅰ）若，求实数的值；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若，求实数的取值范围．

24．（13分）对于集合，定义函数，对于两个集合，，定义集合．已知，2，3，4，5，，，3，9，27，．
（Ⅰ）写出（2）与（2）的值，并用列举法写出集合；
（Ⅱ）用表示有限集合所含元素的个数，求的最小值；
（Ⅲ）有多少个集合对，满足，，且．

2021北京清华附中朝阳学校高一（上）10月月考数学
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．【分析】由元素与集合的关系和集合与集合的关系可判断，，由集合元素互异可判断，由条件可得错误．
【解答】解：由元素与集合的关系和集合与集合的关系可得，
，正确，
，正确，
由集合元素互异，可得正确，
由题意，，故错误，
故选：．
【点评】本题考查元素与集合的关系和集合与集合的关系，考查集合元素互异性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断．
【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定为：，，
故选：．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．
3．【分析】欲求两个集合的交集，先得求集合，再求它与的交集即可．
【解答】解：对于，
因此，
故选：．
【点评】这是一个集合的常见题，属于基础题之列．
4．【分析】运用列举法和不等式的性质，逐一进行判断，即可得到结论．
【解答】解：对于，若，，则，故不成立；
对于，若，比如，，则，故不成立；
对于，若，比如，，则，故不成立；
对于，若，则，，即有，即，则，故成立．
故选：．
【点评】本题考查不等式的性质和运用，注意运用列举法和不等式的性质是解题的关键．
5．【分析】根据题意，易得，，由集合的元素数目与集合子集数目的关系，可得其子集的数目，排除其本身这个子集后可得其真子集的数目，即可得答案．
【解答】解：根据题意，全集，2，，且，
则，，
的子集有个，
其中真子集有个；
故选：．
【点评】本题考查集合的元素数目与集合子集数目的关系：若中有个元素，则有个子集．
6．【分析】把代入函数，能求出（5）的值．
【解答】解：函数，
（5）．
故选：．
【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．【分析】已知函数的定义域是，分别判断四个函数的定义域和对应关系是否和已知函数一致即可．
【解答】解：．函数的定义域为，两个函数的定义域不同．
．函数的定义域为，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．
．函数的定义域为，，对应关系不一致．
．函数的定义域为，两个函数的定义域不同．
故选：．
【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致，否则不是同一函数．
8．【分析】利用奇函数与偶函数的定义判断即可．
【解答】解：因为函数的定义域为，关于原点对称，
且，
所以函数为偶函数．
故选：．
【点评】本题考查了奇函数与偶函数定义的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
9．【分析】定义在上的偶函数在上是减函数，由偶函数的性质可得出，它在上是增函数，由此得到函数图象的变化规律，由此规则比较出（3）、、的大小，得出正确选项
【解答】解：定义在上的偶函数在上是减函数
此函数在上是增函数
由此知，函数图象上的点离轴越近，函数值越大

（3）
观察四个选项知，选项是正确的
故选：．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合，解题的关键是熟练掌握函数的奇偶性与函数单调性的关系，从而研究出函数在定义域上的单调性，比较出函数值的大小，本解法巧妙利用函数的性质得出函数图象的变化规律，由此得出三个函数值的大小，规律性强，值得借鉴
10．【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由得或，
由得或，
则“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系是解决本题的关键，是基础题．
11．【分析】本题考查的是函数的图象和分段函数的综合类问题．在解答的过程当中，首先应该直线的运动位置分析面积的表达形式，进而得到分段函数：然后分情况即可获得问题的解答．
【解答】解：由题意可知：当时，，
当 时，；
所以．
结合不同段上函数的性质，可知选项符合．
故选：．
【点评】本题考查的是函数的图象和分段函数的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分段函数的知识、分类讨论的思想以及函数图象的知识．值得同学们体会和反思．
12．【分析】当时，不等式恒成立，当时，则有 恒成立，故大于或等于 的最大值．再利用基本不等式求得得最大值，即可得到实数的取值范围．
【解答】解：当时，不等式恒成立，当时，则有，
故大于或等于 的最大值．
由基本不等式可得，，即 的最大值为，
故实数的取值范围是，，
故选：．
【点评】本题主要考查函数的恒成立问题，基本不等式的应用，求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）.
13．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0列式求解的范围得答案．
【解答】解：由题意，，解得．
函数的定义域是．
故答案为：．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
14．【分析】当时，；当时，，由此能求出结果．
【解答】解：函数，，
当时，，
解得或（舍；
当时，，解得，不合题意．
综上，．
故答案为：．
【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
15．【分析】不等式的解集是，故3，2是方程的两个根，由根与系数的关系求出，可得．
【解答】解：由题意不等式的解集是，
故3，2是方程的两个根，
，
，
故答案为：5；．
【点评】本题考查一元二次不等式的应用，解答本题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值．
16．【分析】根据题中所给的式子进行构造，然后利用不等式性质可求最值．
【解答】解：因为，可得，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查基本不等式，注意合理构造，属于基础题．
17．【分析】由题意可得，，，再运用基本不等式即可得到最小值，进而得到的范围．
【解答】解：函数，且在，上恒成立，
，，，
，当且仅当，即时取等号，
，，，
即的取值范围是，．
故答案为：，．
【点评】本题考查函数恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题．
18．【分析】①由题意画出图形得答案；②求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数．
【解答】解：①设第一天售出商品的种类集为，第二天售出商品的种类集为，第三天售出商品的种类集为，
如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有种；
②由①知，前两天售出的商品种类为种，第三天售出但第二天未售出的商品有种，
当这14种商品第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，
这三天售出的商品种类最少为29种．
故答案为：①15；②29．

【点评】本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元素的个数判断，考查学生的逻辑思维能力，是中档题．
三、解答题共6小题，共78分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
19．【分析】（Ⅰ）先解一元二次不等式求出集合，再根据集合的基本运算即可求解
（Ⅱ）根据，建立条件关系即可求实数的取值范围．
【解答】解：，
或，，
（Ⅰ）或，，
（Ⅱ），或，
，或，或，
实数的取值范围，，．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，子集的应用，属于中档题．
20．【分析】（1）不等式化为，求出解集即可；
（2）不等式化为，求出不等式对应方程的两根并比较大小，从而求出不等式的解集．
【解答】解：（1）不等式可化为，
解得或，
所以不等式的解集为或；
（2）不等式可化为，
不等式对应方程的两根为和，
时，，不等式的解集为；
时，，不等式的解集为或；
时，，不等式的解集为或．
【点评】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式解法与应用问题，是基础题．
21．【分析】（1）根据题意，将代入函数 解析式，求解即可；
（2）利用奇函数的定义判断并证明即可；
（3）利用函数单调性的定义判断并证明即．
【解答】解：（1）根据题意，函数，且（1），
则（1），解得；
（2）由（1）可知，，其定义域为，关于原点对称，
又由，
所以是奇函数；
（3）在上是单调递增函数．
证明如下：
设，
，
因为，
所以，，
则，即，
所以在上是单调递增函数．
【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的判断，注意先求出函数的解析式，属于基础题．
22．【分析】（1）根据面积确定的长，利用围墙（包括的修建费用均为每米800元，即可求得函数的解析式．
（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：（1）设，则由题意可得，，且，
故，解得，
，
故关于的函数解析式为，．
（2），当且仅当，即时等号成立，
故当为20米时，围墙（包括的修建总费用最小，最小值为96000元．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握基本不等式是解本题的关键，属于中档题．
23．【分析】（Ⅰ）先求出集合，利用交集的定义可知从而求出的值，然后进行验证即可；
（Ⅱ）由题意可知，然后分，，，，四种情况分别求解即可；
（Ⅲ）先确定集合不是空集，然后利用，得到且，列出不等式组求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）集合，，
因为，
则，，
又集合，
则，整理可得，解得或，
当时，，，符合题意；
当时，，符合题意．
综上所述，或；
（Ⅱ）由题意，，
因为，则，
①当时，关于的方程无解，
所以△，解得；
②当时，，无解；
③当时，，解得；
④当，时，，无解．
综上所述，实数的取值范围为，．
（Ⅲ）关于的不等式的解集为，
因为△，
又，
所以△，
故，
因为，
则且，
所以，解得或
故实数的取值范围为．
【点评】本题考查了集合的综合应用，涉及了集合交集、并集、子集定义的理解与应用，元素与集合关系的应用，空集定义的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
24．【分析】（Ⅰ）直接利用新定义写出（2）和（2）的值，并用列举法写出集合；
（Ⅱ）要使的值最小，1，3一定属于集合，不能含有以外的元素，所以当集合为，4，5，6，9，27，的子集与集合，的并集时，从而得出的最小值；
先验证得到运算具有交换律和结合律，从而有，而，所以，所以，而，2，3，4，5，6，9，27，，从而得到满足条件的集合对有个．
【解答】解：（Ⅰ）（2），（2），
，4，5，6，9，27，．（3分）
（Ⅱ），，，
要使的值最小，
1，3一定属于集合，不能含有以外的元素，
所以当集合为，4，5，6，9，27，的子集与集合，的并集时，
的值最小，最小值是（8分）
（Ⅲ）因为，

所以运算具有交换律和结合律，
所以
而
所以，所以，而，2，3，4，5，6，9，27，
所以满足条件的集合对有个（13分）
【点评】本题考查子集与交集、并集运算的转换，集合的基本运算，考查逻辑推理能力，分类讨论思想的应用．
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