1、
高考专攻(七) 圆锥曲线中的定点问题
1．(2022·山西省名校联考(三模))已知直线l：y＝kx＋2与抛物线C：x2＝2py(p>0)相交于A，B两点，当k＝1时，在C上有且仅有三个点到l的距离为.
(1)求C的方程；
(2)若点P在直线y＝－2上，且BP与y轴平行，求证：直线AP恒过定点．
解：(1)由题意可知斜率为1的某直线与抛物线C相切且切点到直线y＝x＋2的距离为.
因为y＝，所以y′＝＝1，因此切点坐标为(p，)，所以＝，所以p＝1或p＝－9(舍去)，所以C的方程为x2＝2y.
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P(x2，－2)，
由得x2
2、－2kx－4＝0，
所以Δ>0，且x1＋x2＝2k，x1x2＝－4，
所以kx1x2＝－2(x1＋x2)．
又直线AP的方程为y＋2＝(x－x2)，
令x＝0，得y＋2＝.
因为y1＝kx1＋2，
所以y＋2＝＝＝2，
所以y＝0.
故直线AP恒过定点(0，0)．
2．(2022·江苏南通市模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过点P(0，)且斜率为1的直线l交双曲线C于A，B两点，且·＝3(O为坐标原点)．
(1)求双曲线C的标准方程．
(2)设Q为双曲线C右支上的一个动点，F为双曲线C的右焦点，在x轴的负半轴上是否存在定点M，使得∠QFM＝2∠QM
3、F？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设双曲线C的焦距为2c，
由双曲线C的离心率为2，知c＝2a，所以b＝a，
从而双曲线C的方程可化为－＝1.
联立得2x2－2 x－6－3a2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
因为Δ＝(－2 )2－4×2×(－6－3a2)＝72＋24a2>0，
所以x1＋x2＝，x1·x2＝－3－a2.
因为·＝3，
所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋)(x2＋)＝3，
于是2x1x2＋(x1＋x2)＋6＝2×(－3－a2)＋×＋6＝3，解得a＝1，
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2)假设存在
4、点M(t，0)(t<0)满足题设条件，
由(1)知双曲线C的右焦点为F(2，0)．
设Q(x0，y0)(x0≥1)为双曲线C右支上一点，
当x0＝2时，因为∠QFM＝2∠QMF＝90°，
所以∠QMF＝45°，于是MF＝QF＝＝3，所以t＝－1，即M(－1，0)．
当x0≠2时，tan∠QFM＝－kQF＝－，tan∠QMF＝kQM＝.
因为∠QFM＝2∠QMF，所以－＝.
将y＝3x－3代入并整理得－2x＋(4＋2t)x0－4t＝－2x－2tx0＋t2＋3，
所以解得t＝－1，即M(－1，0)．
综上，满足条件的点M存在，其坐标为(－1，0)．
3．已知抛物线C：y2＝
5、2px(p>0)与直线l：x＋2y＝0交于M，N两点，且线段MN的中点为P(8，yP)．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点P作直线m交抛物线于点A，B，求证：以弦AB为直径的圆恒过点(4，4)．
解：(1)由题意知，yP＝－×8＝－4.
设M，N两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，显然x1≠x2，所以kMN＝＝＝－.
又y1＋y2＝2yP＝－8，
所以kMN＝－＝－＝－，解得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)当直线m的斜率存在时，
设直线m：y＝k(x－8)－4(k≠0)，A(x3，y3)，B(x4，y4)．
联立整理得ky2－4y－32k－
6、16＝0，Δ>0，y3＋y4＝，y3y4＝－32－，
所以x3＋x4＝＋16＝＋16，
x3x4＝＝＋64.
令Q(4，4)，
则·＝(x3－4)(x4－4)＋(y3－4)(y4－4)
＝x3x4－4(x3＋x4)＋16＋y3y4－4(y3＋y4)＋16
＝＋64－4(＋16)＋16＋(－32－)－＋16＝0，所以QA⊥QB，故以弦AB为直径的圆恒过点(4，4)．
当直线m的斜率不存在时，直线m：x＝8，
此时直线m与抛物线的两个交点分别为(8，4 )，(8，－4 )，不妨令A(8，4 )，B(8，－4 )，
此时＝(4，4 －4)，＝(4，－4 －4)，
则·＝16－(4
7、 ＋4)(4 －4)＝0，
所以QA⊥QB，故以弦AB为直径的圆过点(4，4)．
综上所述，以弦AB为直径的圆恒过点(4，4)．
4．(2022·海南一模)在△ABC中，已知B(－，0)，C(，0)，AD⊥BC交BC于点D，H为AD的中点，满足BH⊥AC，点H的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)过点M(0，)作直线l交曲线C于P，Q两点，求证：以PQ为直径的圆恒过定点．
解：(1)设H(x，y)，A(x，2y)，＝(x＋，y)，
＝(x－，2y)，
因为BH⊥AC，所以·＝0，即(x＋)(x－)＋2y2＝0，整理得x2＋2y2＝2，即＋y2＝1.
在△ABC中，三
8、顶点不可能共线，所以y≠0，
故曲线C的方程为＋y2＝1(y≠0)．
(2)若直线l的斜率不存在，可得圆的方程为x2＋y2＝1，
若直线l的斜率为0，可得圆的方程为x2＋(y－)2＝.
两个圆的公共点为N(0，－1)，若直线l的斜率存在且不为0时，设其方程为y＝kx＋(k≠0)，
联立可得(2k2＋1)x2＋kx－＝0，
Δ>0恒成立，设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由韦达定理得
所以·＝(x1，y1＋1)·(x2，y2＋1)＝x1x2＋(y1＋1)(y2＋1)
＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋
＝＋＋
＝＝0.
即NP⊥NQ，以PQ为直径的圆经过定点N(0，－1)．
综上所述，以PQ为直径的圆经过定点N(0，－1)．
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