1、第五章 万有引力与航天
微专题29 万有引力定律及应用
1．万有引力和重力的关系：(1)考虑星球自转时星球表面上的物体所受重力为万有引力的分力．赤道：mg＝－mRω自2；两极：mg＝.(2)忽略自转时重力等于万有引力，即mg＝G，由此可得g＝、M＝、GM＝gR2等重要关系.2.天体质量和密度的估算：(1)由g、R估算；(2)由T、r估算．
1．近年来，人类发射了多枚火星探测器，对火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近似”匀速圆周运动，并测得该探测器运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k是一个常数)( )
A．ρ
2、＝ B．ρ＝kT
C．ρ＝kT2 D．ρ＝
答案 D
解析 由万有引力提供向心力知G＝mr，又M＝ρ·πR3和r＝R，联立解得ρ＝，3π为一常数，设为k，故选项D正确．
2．(多选)(2020·贵州黔东南州一模)假设地球为质量均匀分布的球体，已知地球表面赤道处的重力加速度大小为g，地球的半径为R，自转周期为T，引力常量为G.根据以上数据可以算出( )
A．地球的质量
B．地球表面两极处的重力加速度
C．同步卫星的质量
D．同步卫星的加速度
答案 ABD
解析 在两极的加速度为g0，故在赤道上有g0＝g＋R，可求解两极处的重力加速度，在地球两极表面有mg0＝G，解得
3、M＝，A、B正确；对于同步卫星，万有引力充当向心力，所以有G＝m()2(R＋h)，可求解同步卫星的轨道半径，然后根据m()2(R＋h)＝ma′，求解同步卫星的加速度，由于过程中，卫星的质量相互抵消，所以不能计算卫星的质量，C错误，D正确．
3．(多选)(2020·吉林长春外国语学校模拟)宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m的人站在可称体重的台秤上，用R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，g0表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，FN表示人对台秤的压力，则关于g0、FN下面正确的是( )
A．g0＝0 B．g0＝g
C．FN＝0 D．FN＝mg
4、答案 BC
解析 在地球表面处mg＝G，得GM＝gR2，对宇宙飞船，m′g0＝G，得g0＝g，故A错误，B正确；飞船内物体完全失重，FN＝0，故C正确，D错误．
4．(2020·湖南四校联考)已知地球和月球的半径之比R1∶R0＝4∶1，表面重力加速度之比g1∶g0＝6∶1，则地球和月球的密度之比ρ1∶ρ0为( )
A．2∶3 B．3∶2
C．4∶1 D．6∶1
答案 B
5．地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的( )
A.倍 B. 倍
C. 倍 D.倍
答案 B
解析
5、赤道上的物体随地球自转时：－FN＝mR0ω2＝ma，其中FN＝mg，要使赤道上的物体“飘”起来，即变为近地卫星，则应有FN＝0，则＝mR0ω′2，所以＝，又ω＝2πn，ω′＝2πn′，则＝ ，故B选项正确．
6．(2019·山东济南市质检)某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤道”处的重力加速度为g1，“极点”处的重力加速度为g2，若已知自转周期为T，则该天体的半径为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 对于处在“极点”处的物体，万有引力等于重力，则有G＝mg2，对于处在“赤道”处的同一物体，则有G－mg1＝mR，由以上两式可解得R＝，C正确
6、．
7．(2020·广西桂林市第一次联合调研)卫星绕某一行星的运动轨道可近似看成是圆轨道，观察发现每经过时间t，卫星运动所通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ.已知引力常量为G，由此可计算该行星的质量为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设卫星的质量为m，卫星做匀速圆周运动的轨道半径为r，由万有引力提供向心力，则有G＝m，其中r＝，v＝，联立可得M＝，故B正确，A、C、D错误．
8．(2020·河北保定市二模)某行星半径为R，其同步轨道卫星A距离行星表面高度为4R，周期为T，物体B静止在行星的赤道上．已知引力常量为G，下列说法中正确的是( )
A．A、B的向
7、心力大小之比为5∶1
B．A、B的向心加速度之比为4∶1
C．行星的质量为
D．行星的质量为
答案 D
解析 未告知物体质量，向心力无法计算，故A错误；同步卫星与星球表面赤道位置的物体周期相同，根据向心加速度公式a＝，同步卫星轨道半径为5R，A、B的向心加速度之比为5∶1，故B错误；根据公式＝mr，可得M＝，同步卫星轨道半径为5R，行星的质量为，故C错误，D正确．
9．已知在地球表面上，赤道处的重力加速度大小为g1，两极处的重力加速度大小为g2，地球自转的角速度为ω，引力常量为G，地球可视为质量分布均匀的球体，则地球的密度为( )
A.· B.·
C.· D.·
答案 D
解析 设地球半径为R，物体在两极处有＝mg2，物体在赤道处有＝mg1＋mω2R，联立解得M＝，R＝，则地球的密度ρ＝＝·，故D正确．
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