2023版大一轮数学人教A版-第6节-正弦定理和余弦定理.docx

第6节　正弦定理和余弦定理

知识梳理
1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
余弦定理
正弦定理
公式
a2＝b2＋c2－2bccos__A；
b2＝c2＋a2－2cacos__B；
c2＝a2＋b2－2abcos__C
＝＝＝2R
常见变形
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

A为锐角
A为钝角或直角
图形

关系式
a＝bsin A
bsin Ab
a≤b
解的个数
一解
两解
一解
一解
无解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).

1.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cosA＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.
2.三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>
sin B⇔cos Asin B，则A>B.(　　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素　　)
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
解析　(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.
(3)已知三角时，不可求三边.
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC不一定为锐角三角形.

2.在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，则cos B＝(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由余弦定理知cos B＝＝.
3.在△ABC中，cos A＝cos B，则这个三角形的形状为________.
答案　等腰三角形
解析　因为在△ABC中，cos A＝cos B，
所以A＝B，所以这个三角形为等腰三角形.

4.(2018·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为a2＋b2－c2＝2abcos C，
且S△ABC＝，
所以S△ABC＝＝absin C，所以tan C＝1.
又C∈(0，π)，故C＝.
5.(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则tan B＝(　　)
A. B.2 C.4 D.8

答案　C
解析　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝42＋32－2×4×3×＝9，得AB＝3，所以AB＝BC.过点B作BD⊥AC，交AC于点D，则AD＝AC＝2，BD＝＝，所以tan ∠ABD＝＝＝，
所以tan ∠ABC＝＝4.故选C.
6.(2019·浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上.若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.
答案　　

解析　如图，易知sin ∠C＝，
cos ∠C＝.
在△BDC中，由正弦定理可得
＝，
∴BD＝＝＝.
由∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝90°，
可得cos ∠ABD＝cos(90°－∠CBD)＝sin ∠CBD
＝sin[π－(∠C＋∠BDC)]
＝sin(∠C＋∠BDC)
＝sin ∠C·cos ∠BDC＋cos ∠C·sin ∠BDC
＝×＋×＝.

考点一　利用正、余弦定理解三角形
【例1】 (1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.
(2)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则等于(　　)
A.2 B.3 C. D.
答案　(1)75°　(2)D
解析　(1)由正弦定理，得sin B＝＝＝，所以B＝45°或135°，因为b断).
利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的.
【训练1】 (1)(多选题)(2021·烟台质检)在△ABC中，a＝5，c＝10，A＝30°，则角B的值可以是(　　)
A.105° B.15° C.45° D.135°
(2)如图所示，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，则sin C的值为________.
答案　(1)AB　(2)
解析　(1)∵a＝5，c＝10，A＝30°，
由正弦定理可得，＝，即＝，

所以sin C＝，
∵a＜c，∴A＜C，
则C＝45°或C＝135°，
则B＝105°或B＝15°.
(2)设AB＝a，∵AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，
∴AD＝a，BD＝，BC＝.
在△ABD中，cos∠ADB＝＝，
∴sin∠ADB＝，∴sin∠BDC＝.
在△BDC中，＝，
∴sin C＝＝.
考点二　判断三角形的形状
【例2】 (1)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是(　　)
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
(2)(多选题)(2020·山东名校联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝＝(m∈N*)，则当m取不同值时，关于△ABC的形状，说法正确的是(　　)
A.当m＝2时，△ABC为锐角三角形
B.当m＝4时，△ABC为钝角三角形
C.当m＝6时，△ABC为等腰三角形
D.当m＝10时，△ABC为直角三角形
答案　(1)C　(2)BCD
解析　(1)法一　由余弦定理可得a＝2b·，
因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c，
从而△ABC为等腰三角形.
法二　由正弦定理可得sin A＝2sin Bcos C，
因此sin(B＋C)＝2sin Bcos C，
即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，于是sin(B－C)＝0，因此B－C＝0，即B＝C，
故△ABC为等腰三角形.
(2)因为＝＝，可得sin A∶sin B∶sin C＝6∶8∶m，由正弦定理＝＝＝2R，可得a∶b∶c＝6∶8∶m，
对于A，m＝2时，可得a∶b∶c＝3∶4∶1，可得b－a＝c，这样的三角形不存在，故A错误；
对于B，m＝4时，可得a∶b∶c＝3∶4∶2，可得B为最大角，
由余弦定理可得cos B＝＝－，可得△ABC是钝角三角形，故B正确；
对于C，m＝6时，可得a∶b∶c＝3∶4∶3，可得a＝c，△ABC为等腰三角形，故C正确；
对于D，m＝10时，可得a∶b∶c＝3∶4∶5，可得a2＋b2＝c2，△ABC为直角三角形，故D正确.可选BCD.
感悟升华　1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
【训练2】 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若选题)(2021·武汉调研)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(　　)
A.若tan A＋tan B＋tan C＞0，则△ABC是锐角三角形
B.若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形
C.若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
D.若＝＝，则△ABC是等边三角形
答案　(1)A　(2)ACD
解析　(1)由0，
所以sin C三角形中sin A>0，所以cos B<0，
即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.
(2)∵tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)，
∵tan A＋tan B＋tan C＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan C＝－tan C(1－tan Atan B)＋tan C＝tan Atan Btan C＞0，∴A，B，C均为锐角，∴选项A正确；
由acos A＝bcos B及正弦定理，可得sin 2A＝sin 2B，∴A＝B或A＋B＝，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴选项B错误；
由bcos C＋ccos B＝b及正弦定理，
可知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B，
∴sin A＝sin B，∴A＝B，则△ABC是等腰三角形，∴选项C正确；
由已知和正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C，A＝B＝C，则△ABC是等边三角形，∴选项D正确.
考点三　和三角形面积有关的问题
【例3】(2021·湖北八校一联)在条件①btan A＝(2c－b)tan B，②cos 2A＋2cos2＝1，③sin B＝2sin C中任选一个，补充到下列问题中，并给出问题解答.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，b＋c＝6，a＝2.
(1)求角A的值；
(2)求△ABC的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解　(1)若选①，由于△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且btan A＝(2c－b)tan B，
∴由正弦定理得sin B·＝(2sin C－sin B)·.
∵sin B≠0，∴sin Acos B＝2sin Ccos A－sin Bcos A，
即sin(A＋B)＝2sin Ccos A，即sin C＝2sin Ccos A.
∵sin C≠0，∴cos A＝.
又0＜A＜π，∴A＝.
若选②，∵cos 2A＋2cos2＝1，
化简可得2cos2A＋cos A＝1，
解得cos A＝或－1，且A∈(0，π)，∴A＝.
若选③，∵sin B＝2sin C，
即sin B＝2sin C，
可得sin B＝2sin C，
即sin B·＝2sin C，解得sin A＝.
又∵0＜A＜，∴A＝.
(2)由(1)及余弦定理可得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc.
由题知a＝2，b＋c＝6，∴bc＝4，
∴S△ABC＝bcsin A＝×4×sin ＝.
感悟升华　与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.
【训练3】(2020·北京卷)在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)sin C和△ABC的面积.
条件①：c＝7，cos A＝－；
条件②：cos A＝，cos B＝.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
解　(从条件①②中任选一个即可)
选条件①：c＝7，cos A＝－，且a＋b＝11.
(1)在△ABC中，由余弦定理，得
cos A＝＝＝－，
解得a＝8.
(2)∵cos A＝－，A∈(0，π)，∴sin A＝＝＝.
在△ABC中，由正弦定理，得
sin C＝＝＝.
∵a＋b＝11，a＝8，∴b＝3，
∴S△ABC＝absin C＝×8×3×＝6.
选条件②：cos A＝，cos B＝，且a＋b＝11.
(1)∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，cos A＝，cos B＝，
∴sin A＝＝＝，sin B＝＝＝.
在△ABC中，由正弦定理，可得
＝＝＝.
又∵a＋b＝11，∴a＝6，b＝5.
(2)sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×＝＝.
∴S△ABC＝absin C＝×6×5×＝.
射影定理的活用赏析
设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有：a＝bcos C＋ccos B；b＝ccos A＋acos C；c＝acos B＋bcos A.
注：以“a＝bcos C＋ccos B”为例，b，c在a上的射影分别为bcos C，ccos B，故名射影定理.
证明　如图，在△ABC中，AD⊥BC，
则bcos C＝CD，ccos B＝BD，
故bcos C＋ccos B＝CD＋BD＝BC＝a，
即a＝bcos C＋ccos B，
同理可证b＝ccos A＋acos C，
c＝acos B＋bcos A.
【例1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos A sin C，则下列等式成立的是(　　)
A.a＝2b B.b＝2a C.A＝2B D.B＝2A
[通法]　法一　因为sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，所以sin B＋
2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin(A＋C)，所以sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B，
即cos C(2sin B－sin A)＝0，
所以cos C＝0或2sin B＝sin A，
即C＝90°或2b＝a，
又△ABC为锐角三角形，所以0°理得
b＝2a×＋c×，
所以2b2＝a2＋3b2－c2，
即(a2＋b2－c2)＝a2＋b2－c2，
即(a2＋b2－c2)＝0，
所以a2＋b2＝c2或2b＝a，
又△ABC为锐角三角形，所以a2＋b2>c2，故2b＝a，故选A.
[优解]　由正弦定理及sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C得b＋2bcos C＝2acos C＋ccos A＝acos C＋(acos C＋ccos A)＝acos C＋b，即2bcos C＝acos C，又因为△ABC为锐角三角形，所以cos C≠0，则2b＝a.
答案　A
【例2】△ABC的内角A，BC的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝________.
[通法]　依题意得2b×＝a×＋c×，即a2＋c2－b2＝ac，所以2accos B＝ac，cos B＝.又0C中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝3，A＝60°，则边c＝(　　)
A.1 B.2 C.4 D.6
答案　C
解析　∵a2＝c2＋b2－2cbcos A，
∴13＝c2＋9－2c×3×cos 60°，
即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去).
2.已知△ABC，a＝，b＝，A＝30°，则c等于(　　)
A.2 B. C.2或 D.均不正确
答案　C
解析　∵＝，
∴sin B＝＝·sin 30°＝.
∵b>a，∴B＝60°或120°.
若B＝60°，则C＝90°，∴c＝＝2.
若B＝120°，则C＝30°，∴a＝c＝.
3.(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝42＋32－2×4×3×＝9，所以AB＝3，所以cos B＝＝＝.故选A.
4.(2021·郑州调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝b，A－B＝，则角C＝(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由题意得A＝B＋，所以sin A＝sin＝cos B，又a＝b，所以由正弦定理得sin A＝sin B，故cos B＝sin B所以tan B＝，因为B∈(0，π)，所以B＝，所以C＝π－－＝.
5.(2021·重庆诊断)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－bc＝a2，bc＝a2，则角C的大小是(　　)
A.或 B.
C. D.
答案　A
解析　由b2＋c2－bc＝a2，得b2＋c2－a2＝bc，
则cos A＝＝＝，
因为0又0<2C<，
即2C＝或，即C＝或.
6.(多选题)(2020·临沂模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，c＝3，A＋3C＝π，则下列结论正确的是(　　)
A.cos C＝ B.sin B＝
C.a＝3 D.S△ABC＝
答案　AD
解析　因为A＋3C＝π，A＋B＋C＝π，所以B＝2C.由正弦定理得＝，即＝，所以cos C＝，故A正确.因为cos C＝，所以sin C＝，所以sin B＝sin 2C＝2sin Ccos C＝2××＝，故B错误.因为cos B＝cos 2C＝2cos2C－1＝－，所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝，则cos A＝，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝(2)2＋32－2×2×3×＝1，所以a＝1，故C错误.S△ABC＝bcsin A＝×2×3×＝，故D正确.故选AD.
二、填空题
7.(2021·北京西城区模拟改编)在锐角三角形ABC中，若a＝2，b＝3，A＝，则cos B＝________.
答案　
解析　由正弦定理＝，得sin B＝＝＝，又△ABC为锐角三角形，所以cos B＝＝＝.
8.如图，在△ABC中，D是AB边上的点，且满足AD＝3BD，AD＋AC＝BD＋BC＝2，CD＝，则cos A＝________.
答案　0
解析　设BD＝x(x>0)，
则AD＝3x，AC＝2－3x，BC＝2－x，
易知cos∠ADC＝－cos∠BDC.
∴＝－，
解得x＝，故AD＝1，AC＝1，
∴cos A＝＝0.
9.(2020·长春二模改编)在△ABC中，C＝30°，cos A＝－，AC＝－2，则AC边上的高为________.
答案　
解析　依题意得sin A＝＝，则sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋
cos Asin C＝×－×＝.
由正弦定理得＝，得BC＝，所以AC边上的高为BC·sin C＝＝＝.
三、解答题
10.(2020·山东实验中学模拟)请给出一个b(b∈N*)的值，补充在下面的问题中，并解答该问题.
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，cos A＝，b＝________，求△ABC的面积.
注：只需给出一个b的值即可，若给出了多个值分别解答，按第一个解答计分.
解　因为cos A＝，A∈(0，π)，所以sin A＝，
由正弦定理＝，得sin B＝＝，
因为0＜sin B≤1，所以0＜b≤3，
又因为b∈N*，故b只能取1，2，3.
若b＝1，则sin B＝，因为b＜a，所以cos B＝，
所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，
所以S△ABC＝absin C＝××1×＝.
若b＝2，则sin B＝，因为b＜a，所以cos B＝，
所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，
所以S△ABC＝absin C＝××2×＝.
若b＝3，则sin B＝1，所以∠B＝90°，
所以c＝＝，
所以S△ABC＝ac＝××＝.
11.(2020·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.
(1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；
(2)若sin A＋sin C＝，求C.
解　(1)由题设及余弦定理，
得28＝3c2＋c2－2×c2×cos 150°，
解得c＝－2(舍去)或c＝2，从而a＝2.
因此△ABC的面积为×2×2×sin 150°＝.
(2)在△ABC中，A＝180°－B－C＝30°－C，
所以sin A＋sin C＝sin(30°－C)＋sin C
＝sin(30°＋C)，
故sin(30°＋C)＝.
而0°角形
C.当A＝2C时，△ABC的周长为15
D.当A＝2C时，若O为△ABC的内心，则△AOB的面积为
答案　ACD
解析　以BC的中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
可得B(－3，0)，C(3，0)，
4sin B＝5sin C，可得4b＝5c，设A(m，n)，
可得4＝5，
平方可得16(m2＋n2－6m＋9)＝25(m2＋n2＋6m＋9)，
即有m2＋n2＋m＋9＝0，
化为＋n2＝，
则A的轨迹为以为圆心，半径为的圆(除去与x轴的交点)，
可得△ABC的面积的最大值为×6×＝40，故A正确；
a＝6，4sin B＝5sin C，
即4b＝5c，设b＝5t，c＝4t，
由36＋16t2＝25t2，可得t＝2，
满足条件的△ABC可能是直角三角形，故B错误；
a＝6，4sin B＝5sin C，A＝2C，可得B＝π－3C，
由正弦定理可得4b＝5c，可得b＝，
由＝，可得＝
＝，
由sin C≠0，可得4cos2C－1＝，
解得cos C＝或－(舍去)，
sin C＝＝，
可得sin A＝2sin Ccos C＝2××＝，
由＝，可得c＝4，b＝5，
则a＋b＋c＝15，故C正确；
当A＝2C时，c＝4，b＝5，a＝6，sin A＝，
S△ABC＝bcsin A＝×5×4×＝.
设△ABC的内切圆半径为R，则R＝＝＝，
S△ABO＝cR＝×4×＝.故D正确.
13.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为________.
答案　9
解析　∵a2＝b2＋c2－bc，∴bc＝b2＋c2－a2，
∴cos A＝＝，∵A∈(0，π)，∴A＝.
法一　∵a＝3，
∴由正弦定理得＝＝＝＝2，
∴b＝2sin B，c＝2sin C，
则a＋b＋c＝3＋2sin B＋2sin C
＝3＋2sin B＋2sin
＝3＋3sin B＋3cos B＝3＋6sin，
∵B∈，∴当B＝时，周长取得最大值9.
法二　∵a＝3，
∴由余弦定理得9＝b2＋c2－bc，
∴(b＋c)2－3bc＝9，
∴(b＋c)2－9＝3bc≤3·，
∴(b＋c)2≤36，
∵b＋c＞0，∴0＜b＋c≤6，当且仅当b＝c时取“＝”，
∴a＋b＋c≤9，∴△ABC的周长最大值为9.
14.(2020·山东三校一联)在①cos C(acos B＋bcos A)＝csin C，②asin＝
csin A，③(sin B－sin A)2＝sin2C－sin Bsin A这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，当________时，求sin A·
sin B的最大值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解　若选①，由正弦定理得
cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin Csin C，
即cos Csin(A＋B)＝sin Csin C，
∵sin C≠0，∴tan C＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
∴A＋B＝，
∴sin A·sin B＝sin A·sin
＝sin A·
＝sin A·cos A＋sin2A
＝sin 2A＋(1－cos 2A)
＝sin＋，
∵A∈，∴2A－∈，
∴当A＝时，sin A·sin B取得最大值为.
若选②，由正弦定理得sin Asin ＝sin Csin A，
∵sin A≠0，∴cos ＝sin C＝2sin cos ，
∵cos ≠0，∴sin ＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
余下同①.
若选③，由正弦定理得(b－a)2＝c2－ba，
即a2＋b2－c2＝ba，∴cos C＝＝＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
余下同①.