第1节-平面向量的概念及线性运算.doc

第1节　平面向量的概念及线性运算
考纲要求　1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．

知识梳理
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算
定　义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

(1)交换律：
a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量

a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝，特别地， 一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．
2．中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．
3.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
4．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.
诊断自测

1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．(　　)
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　)
(3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(2)若b＝0，则a与c不一定平行．
(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上．

2．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等．则所有正确命题的序号是(　　)
A．① B．③ C．①③ D．①②
答案　A
解析　根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误．
3．设M为△ABC所在平面内一点，且＝3，则(　　)
A.＝－＋ B．＝－
C.＝＋ D．＝－
答案　A
解析　由＝3，得＝，
所以＝＋＝＋
＝＋(＋)＝－＋.

4．(2021·日照调研)若四边形ABCD满足＝且||＝||，则四边形ABCD的形状是(　　)
A．等腰梯形 B．矩形
C．正方形 D．菱形
答案　A
解析　因为＝，所以∥，且||＝||，所以四边形ABCD为以AD为上底边，BC为下底边的梯形．
又||＝||，因此四边形ABCD是等腰梯形．
5．(2021·长沙调研)已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案　A
解析　由＋＋＝0，得＋＝，
又O为△ABC的外接圆的圆心，
根据加法的几何意义，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，因此∠CAB＝30°.
6．(2020·哈尔滨质检)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________.
答案　－
解析　由已知2a－b≠0，依题意知向量a＋λb与2a－b共线，设a＋λb＝k(2a－b)，则有(1－2k)a＋(k＋λ)b＝0，因为a，b是两个不共线向量，故a与b均不为零向量，所以解得k＝，λ＝－.

考点一　平面向量的概念
1．给出下列四个命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是(　　)
A．②③ B．①② C．③④ D．②④
答案　A
解析　①不正确．两个向量的长度相等但它们的方向不一定相同．
②正确．∵＝，∴||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则||＝||，
∥且，方向相同，因此＝.
③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．
综上所述，正确命题的序号是②③.
2．设a，b都是非零向量，下列四个条件，使＝成立的充要条件是(　　)
A．a＝b B．a＝2b
C．a∥b且|a|＝|b| D．a∥b且方向相同
答案　D
解析　表示a方向的单位向量，因此＝的充要条件是a与b同向．
3．给出下列说法：
①非零向量a与b同向是a＝b的必要不充分条件；
②若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上；
③a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向；
④设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误说法的序号是________．
答案　④
解析　根据向量的有关概念可知①②③正确，对于④，当λ＝μ＝0时，a与b不一定共线，故④错误．
感悟升华　1.相等的向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．
2．向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可以比较大小．向量可以平移，与起点无关，平移后的向量与原向量相等．
3．(1)单位向量的特征是长度都是1个单位．
(2)零向量的特征是长度是0，并规定零向量与任何向量平行．
考点二　向量的线性运算
角度1　平面向量的加、减运算的几何意义
【例1】　已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下列结论正确的是(　　)
A．a∥b B．a⊥b
C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b
答案　B
解析　由已知a，b不共线，在▱ABCD中，设＝a，＝b，由|a＋b|＝|a－b|知||＝
||，从而▱ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.

角度2　向量的线性运算
【例2】　(2021·成都七中诊断)如图，AB是圆O的一条直径，C，D为半圆弧的两个三等分点，则＝(　　)

A.－
B．2－2
C.－
D．2－2
答案　D
解析　连接CD，∵C，D是半圆弧的三等分点，
∴CD∥AB，且AB＝2CD，
因此＝2＝2(－)＝2－2.
角度3　利用向量的线性运算求参数
【例3】　(2021·长春调研)在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝2CM，连接AM，点N为AM上一点且＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A. B． C．－ D．－
答案　A
解析　由题意，知＝＝(＋)＝＋×＝＋(－)
＝－＋，
又＝λ＋μ，
所以λ＝－，μ＝，则λ＋μ＝.
感悟升华　1.(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．
(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示．
2．与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程(组)即可求得相关参数的值．
【训练1】　(1)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A.－ B．－
C.＋ D．＋
(2)(2021·济南质检)在正六边形ABCDEF中，对角线BD，CF相交于点P.若＝x＋y，则x＋y＝(　　)
A．2 B． C．3 D．
答案　(1)A　(2)B
解析　(1)∵E是AD的中点，∴＝－，
∴＝＋＝－＋，
又知D是BC的中点，∴＝(＋)，
因此＝－(＋)＋＝－.
(2)如图，记正六边形ABCDEF的中心为点O，连接OB，OD，易证四边形OBCD为菱形，且P恰为其中心，

于是＝＝，
因此＝＋＝＋，因为＝x＋y，
所以x＝且y＝1，故x＋y＝.
考点三　共线定理及其应用
【例4】　(1)设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为________．
(2)(2021·合肥模拟)在平行四边形 ABCD中，若＝，AE交BD于F，则＝(　　)
A.＋ B．－
C.－ D．＋
答案　(1)－　(2)D
解析　(1)因为A，B，D三点共线，所以必存在一个实数λ，使得＝λ.
又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，
所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)
＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，
所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ2k＋1)e2，
又e1与e2不共线，所以
解得k＝－.
(2)如图所示，

∵＝，
∴E为CD中点，
设＝λ
＝λ
＝λ＝＋λ.
又∵点B，F，D共线，∴＋λ＝1，解得λ＝.
故＝＋.
感悟升华　1.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
2．向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立．
【训练2】　(1)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为(　　)
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
(2)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2＋x＋＝0成立的实数x的取值集合为________．
答案　(1)D　(2){－1}
解析　(1)因为A，B，C三点共线，所以∥，设＝m(m≠0)，则λa＋b＝m(a＋μb)，由于a与b不共线，所以所以λμ＝1.
(2)因为＝－，
所以x2＋x＋－＝0，
即＝－x2－(x－1)，因为A，B，C三点共线，
所以－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，
解得x＝0或x＝－1.
当x＝0时，x2＋x＋＝0，此时B，C两点重合，
不合题意，舍去．故x＝－1.

A级　基础巩固
一、选择题
1．已知下列各式：①＋＋；②＋＋＋；③＋＋＋；④－＋－，其中结果为零向量的是(　　)
A．① B．② C．①③ D．①④
答案　D
解析　利用向量运算，易知①，④的结果为零向量．
2．已知＝a＋5b，＝－3a＋6b，＝4a－b，则(　　)
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
答案　A
解析　由题意得＝＋＝a＋5b＝，又、有公共点B，所以A，B，D三点共线．故选A.
3．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)
A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a
答案　B
解析　当λ＞0时，a与λa的方向相同，A错，a与λ2a的方向相同，B正确；当|λ|<1时，
|－λa|<|a|，C错；|－λa|＝|λ||a|，D错，故选B.
4．在△ABC中，G为重心，记＝a，＝b，则＝(　　)
A.a－b B．a＋b
C.a－b D．a＋b
答案　A
解析　因为G为△ABC的重心，
所以＝(＋)＝a＋b，
所以＝＋＝－b＋a＋b＝a－b.
5．(2021·衡水调研)如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则＝(　　)

A．－＋ B.＋
C.－ D.－
答案　D
解析　＝－，
＝＋.
∵E为BC的中点，F为AE的中点，
∴＝，＝，
∴＝－＝－＝(＋)－
＝＋－，
又＝，∴＝－.
6. (2021·东北三省三校联考)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为DE的中点，若＝x＋，则x＝(　　)

A. B． C． D．
答案　C
解析　连接AE，因为F为DE的中点，所以＝(＋)，
而＝＋＝＋＝＋，
所以＝(＋)＝
＝＋，
又＝x＋，所以x＝.
7.如图所示，设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△ABC与△AOC的面积之比为(　　)

A．4∶1 B．2∶1
C．3∶2 D．4∶3
答案　B
解析　取AC的中点D，连接OD，

则＋＝2，
所以＝－，
所以O是AC边上的中线BD的中点，
所以S△ABC＝2S△OAC，
所以△ABC与△AOC面积之比为2∶1.
8．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是(　　)
A. B．
C. D．
答案　D
解析　设＝y，因为＝＋＝＋y
＝＋y(－)＝－y＋(1＋y).
因为＝3，∴＝3y，0<3y<1，
点O在线段CD上(与点C，D不重合)，
所以y∈，因为＝x＋(1－x)，
所以x＝－y，所以x∈.
二、填空题
9．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.
答案　
解析　∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得解得λ＝μ＝.
10．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.
答案　0
解析　依题意得＝－＝(＋)－＝－＋＋，因此x＋y＋z＝－1＋＋＝0.
11．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________．
答案　直角三角形
解析　＋－2＝－)＋(－)＝＋，－＝＝－，
∴|＋|＝|－|.
故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．
12．在△AOB中，＝，D为OB的中点，若＝λ＋μ，则λμ的值为________．
答案　－
解析　因为＝，所以＝(－)，
因为D为OB的中点，所以＝，
所以＝＋＝－＋(＋)
＝－＋＋(－)＝－，
所以λ＝，μ＝－，则λμ的值为－.
B级　能力提升
13．(多选题)(2021·济南调研)下列命题正确的是(　　)
A．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则＝
B．在△ABC中，若O点满足＋＋＝0，则O点是△ABC的重心
C．若a＝(1,1)，把a向右平移2个单位，得到的向量的坐标为(3,1)
D．在△ABC中，若＝λ，则P点的轨迹经过△ABC的内心
答案　BD
解析　如图，

A，B，C，D四点满足条件，但≠，故A错误；
对于B，设BC的中点为D，当＋＋＝0时，能得到＝－(＋)，所以＝－2，所以O是△ABC的重心，故B正确．
对于C，向量由向量的方向和模确定，平移不改变这两个量，故C错误．
对于D，根据向量加法的几何意义知，以，为邻边所得到的平行四边形是菱形，点P在该菱形的对角线上，由菱形的对角线平分一组对角，得P点在∠ACB的平分线所在直线上，故D正确．
14．(2021·河南名校联考)在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的点，且＝2，若＝λ＋，则λ＝(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
答案　A
解析　如图，设＝x，则＝－＝x－＝x(＋)－＝x－＝x＋(－)－

＝－＋.
因为＝λ＋，
所以x＝，解得x＝.
因此λ＝－＝－.
15．直线l上有不同的三点A，B，C，O是直线l外一点，对于向量＝(1－cos α)＋
sin α(α是锐角)总成立，则α＝________.
答案　45°
解析　因为直线l上有不同的三点A，B，C，所以存在实数λ，使得＝λ，
所以－＝λ(－)，
即＝(1－λ)＋λ，
所以所以sin α＝cos α，
因为α是锐角，所以α＝45°.
16．(2020·兰州诊断)在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是________．
答案　
解析　由已知AD＝1，CD＝，所以＝2.
因为点E在线段CD上，
所以＝λ(0≤λ≤1)．
因为＝＋＝＋λ＝＋，
又＝＋μ，所以μ＝.
因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤.