专题跟踪检测(二十)-利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题.doc

专题跟踪检测（二十）
利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题
1．已知函数f(x)＝excos x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)∵f(x)＝excos x－x，
∴f(0)＝1，f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，
∴f′(0)＝0，
∴y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，
令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝－2exsin x≤0在上恒成立，且仅在x＝0处等号成立，
∴g(x)在上单调递减，
∴g(x)≤g(0)＝0，∴f′(x)≤0且仅在x＝0处等号成立，
∴f(x)在上单调递减，
∴f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f＝－.
2．已知函数f(x)＝(e为自然对数的底数)，f′(x)为f(x)的导函数，且f′(1)＝0.
(1)求实数c的值；
(2)若函数f(x)的图象在x＝0处的切线经过点(－1,0)，求函数f(x)的极值．
解：(1)因为f(x)＝，
所以f′(x)＝.
又f′(1)＝0，所以＝0，解得c＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝，所以f(0)＝1，
因为f′(x)＝，
所以f′(0)＝b－1，
所以f(x)的图象在x＝0处的切线方程为y－1＝(b－1)x，又该切线过点(－1,0)，所以b＝2，
所以f′(x)＝.
令f′(x)＝0，得x＝±1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)

极小值

极大值


由上表知，当x＝－1时，f(x)取得极小值，极小值为0；当x＝1时，f(x)取得极大值，极大值为.
3．已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋(x≥0)，其中a>0.
(1)若f(x)在x＝1处取得极值，求实数a的值；
(2)若f(x)的最小值为1，求实数a的取值范围．
解：(1)由题可得f′(x)＝－＝.
∵f(x)在x＝1处取得极值，
∴f′(1)＝0，∴＝0，解得a＝1.
经检验，a＝1时f(x)在x＝1处取得极小值，符合题意，∴a＝1.
(2)f′(x)＝，
∵x≥0，a>0，∴ax＋1>0，x＋1>0.
当a≥2时，在区间[0，＋∞)上f′(x)≥0，f(x)递增，f(x)的最小值为f(0)＝1.
当00，解得x> ；由f′(x)<0，解得0≤x< .
∴f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.
于是，f(x)在x＝ 处取得最小值f ．
综上可知，若f(x)的最小值为1，则实数a的取值范围是[2，＋∞)．
4．(2021·山师大附中月考)设函数f(x)＝(a∈R)．
(1)若f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值；
(2)若函数f(x)在[1,2]上为增函数，求实数a的取值范围．
解：(1)由题可得f′(x)＝
＝，
因为f(x)在x＝0处取得极值，所以f′(0)＝＝0，
所以a＝0.
当a＝0时，f′(x)＝＝，
令f′(x)＝0⇒x1＝0，x2＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0

＋
0
－
f(x)

极小值

极大值


f(x)在x＝0处取得极小值，满足题意，所以a＝0.
(2)f′(x)＝≥0在[1,2]上恒成立，但不恒为零，
即－x2－(a－2)x＋a≥0在[1,2]上恒成立，但不恒为零，
所以x2＋(a－2)x－a≤0在[1,2]上恒成立，但不恒为零，
所以解得a≤0.
当a＝0时，f′(x)＝不恒为零，所以实数a的取值范围为(－∞，0]．
5．设f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x(常数a>0)．
(1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；
(2)已知f(x)在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围．
解：(1)由f′(x)＝ln x－2ax＋2a，
可得g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)，
所以g′(x)＝－2a＝.
又a>0，当x∈时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，当x∈时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减．
所以函数y＝g(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)由(1)知，f′(1)＝0.
①当01，由(1)知f′(x)在内单调递增，可得当x∈(0,1)时，f′(x)<0，
当x∈时，f′(x)>0.
所以f(x)在(0,1)内单调递减，在内单调递增．所以f(x)在x＝1处取得极小值，不合题意．
②当a＝时，＝1，f′(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意．
③当a>时，0<<1，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
所以f(x)在x＝1处取极大值，符合题意．
综上可知，实数a的取值范围为.