2022北京一零一中学高一(下)期中数学(教师版).docx

2022北京一零一中学高一（下）期中
数 学
一、选择题（每题4分，答案写在题后的格子里）
1．在中，若，，，则角等于　　
A． B． C．或 D．或
2．已知，，，则　　
A． B． C． D．
3．在中，，则一定是　　
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．已知矩形中，，若，则　　

A． B． C． D．
5．下列各式中正确的是　　
A． B．
C． D．
6．已知函数，那么的值是　　
A． B． C． D．
7．将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是　　
A． B．
C． D．
8．已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么等于　　
A．1 B． C． D．2
9．若是的一个内角，且，则的值为　　
A． B． C． D．
10．已知函数，，的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象在轴上的截距为．关于函数有下列四个结论：
①的最小正周期为；
②的最大值为2；
①为的一个零点；
④为偶函数．
其中正确结论的个数是　　

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.
11．若角的终边经过点，则的值为　　．
12．已知，，且，则点的坐标为　　．
13．已知某扇形的圆心角是2，圆心角所对的弧长也是2，则该扇形的半径为　　；面积为　　．
14．已知，则的值域为 　　．
15．已知在中，有，则下列说法中：
①为钝角三角形；
②；
③．
正确说法的序号是　　．（填上所有正确说法的序号）
16．北京101中学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个音乐教室和一个图书馆，如图，若设音乐教室在处，图书馆在处，为测量，两地之间的距离，某同学选定了与，不共线的处，构成，以下是测量的数据的不同方案：①测量，，；②测量，，；③测量，，；④测量，，．其中一定能唯一确定，两地之间的距离的所有方案的序号是　　．

三、解答题（共36分）
17．（8分）已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．（10分）设向量，，，．
（1）求；
（2）若，求实数的值；
（3）若，，，求的值；
（4）若，，，求证：，，三点共线．
19．（9分）已知向量，，函数．
（1）求的最小值正周期；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）求函数在，的最大值及对应的值．
20．（9分）在中，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：．

参考答案
一、选择题（每题4分，答案写在题后的格子里）

1．【分析】由，以及的值，利用正弦定理求出的值，根据小于，得到小于，即可求出的度数．
【解答】解：，，，
由正弦定理得：，
，，
则．
故选：．
【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
2．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：因为，，，
所以，
则．
故选：．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
3．【分析】由正弦定理可得，可得，，可作出判断．
【解答】解：在中，，
由正弦定理可得，
同除以可得，
一定是直角三角形，
故选：．
【点评】本题考查三角形形状的判断，涉及正弦定理的应用，属基础题．
4．【分析】根据向量基本定理进行求解即可．
【解答】解：，
故选：．
【点评】本题主要考查平面向量的基本定理的应用，利用向量分解是解决本题的关键，是基础题．
5．【分析】利用三角函数线或三角函数的单调性，判断选项的正误即可．
【解答】解：，，所以不正确；
在，上，函数是增函数，所以不正确；
，，所以正确；
，，是增函数，所以不正确，所以不正确；
故选：．
【点评】本题考查三角函数线以及三角函数的单调性的应用，是中档题．
6．【分析】化简，直接代入求值．
【解答】解：

故选：．
【点评本题考查了三角函数的化简求值，属于基础题型．
7．【分析】先根据左加右减进行左右平移，然后根据横坐标伸长到原来的2倍时变为原来的倍进行横向变换．
【解答】解：将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为
再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是．
故选：．
【点评】本题主要考查三角函数的平移变换．平移的原则是左加右减、上加下减．
8．【分析】由于本题中未给出向量的坐标，故求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解．
【解答】解：、均为单位向量，它们的夹角为
，

故选：．
【点评】求向量的模一般有两种情况：若已知向量的坐标，或向量起点和终点的坐标，则或；若未知向量的坐标，只是已知条件中有向量的模及夹角，则求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解，考查运算能力，属基础题．
9．【分析】由为三角形的内角，且，判断得出的正负，将所求式子平方利用同角三角函数间的基本关系及完全平方公式变形，开方即可求出值．
【解答】解：为内角，且，
，，
即，
，
．
故选：．
【点评】此题考查了同角三角哦函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
10．【分析】首先利用函数的图象求出函数的关系式，进一步求出函数的周期，最值和对奇偶性进行判定．
【解答】解：根据函数的图象：，所以．
由于，解得．
由，整理得，解得．
当时，，
故为的一个零点．
由于，
所以不是偶函数．
故结论①②③正确．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.
11．【分析】根据角的终边经过点，可先求出的值，进而由二倍角公式可得答案．
【解答】解：角的终边经过点，

故答案为：．
【点评】本题主要考查正切函数的定义及二倍角公式．
12．【分析】设出点坐标，表示出，，代入，求出点的坐标．
【解答】解：设点，则
，；
又，
，
，；
．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题．
13．【分析】根据扇形的弧长公式求出扇形的半径，再计算扇形的面积．
【解答】解：扇形的圆心角是2，圆心角所对的弧长也是2，
所以该扇形的半径为；
面积为．
故答案为：1，1．
【点评】本题考查了扇形的弧长与面积公式应用问题，是基础题．
14．【分析】设，，可得，利用二次函数的性质即可求解．
【解答】解：设，，
则，
可得当时，，
当时，．
可得的值域为，．
故答案为：，．
【点评】本题考查了二倍角公式以及二次函数的性质，考查了函数思想，属于基础题．
15．【分析】由，利用数量积的定义可得，可得是钝角．再结合余弦定理、三角形的内角和定理、两角和差的余弦公式即可判断出．
【解答】解：①，
，
，
，
是钝角．
为钝角三角形，正确
②由余弦定理可得，；正确
③，，．正确
综上可得：正确说法的序号是①②③．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了数量积的定义、余弦定理、三角形的内角和定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．
16．【分析】①，利用余弦定理列出一元二次方程求得，可能解不唯一；
②，利用三角形内角和定理和正弦定理求得，解唯一；
③，利用余弦定理求得，解唯一；
④，只有三角不能求边的值．
【解答】解：对于①，测量，，，利用余弦定理，
解一元二次方程可以求得，可能解不唯一；
对于②，测量，，，利用三角形内角和定理求得，
再利用正弦定理求得，且解唯一；
对于③，测量，，，利用余弦定理直接求得，且解唯一；
对于④，测量，，，不能求得的值；
综上，定能唯一确定，两地之间的距离的方案序号是②③．
故答案为：②③．
【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是基础题．
三、解答题（共36分）
17．【分析】（1）由已知利用两角和的正切公式即可求解．
（2）利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可化简求解．
【解答】解：（1）因为，，
所以解得；
（2）．
【点评】本题考查了两角和的正切公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18．【分析】（1）利用向量的坐标运算结合向量的模即可求解．
（2）利用向量的垂直即可求解．
（3）利用向量的数乘和相等的坐标运算即可求解．
（4）利用向量的共线证明即可．
【解答】解：（1）向量，，
，．
（2），，，
，．
（3），
，，，，
，，
．
（4）证明：，，
，，
，与有公共点，
，，三点共线．
【点评】本题主要考查了平面向量的坐标计算，向量的共线和垂直，属中档题．
19．【分析】（1）由函数，利用数量积运算得出解析式，结合正弦函数性质得到其周期；
（2）利用正弦函数的单调性即可得出．
【解答】解：（1），则；
（2）令，解得，；
所以函数的单调递增区间为：，；
（3）当，时，，，则，．
的最大值为1，此时，即．
【点评】本题考查了数量积运算、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题．
20．【分析】边化角可得，可求，即可求；
选择②③，由正弦定理可求，求得，可求面积，选择①③，由余弦定理，可求，可求，从而可求面积．
【解答】解：（Ⅰ）因为，
所以由正弦定理可得，
因为，
所以，即，
因为，
则；
（Ⅱ）若选择②③，
由正弦定理，及，，得，所以，
因为，所以，，
，
所以．
若选择①③，
由余弦定理得，及，得，解得，
所以，所以．
【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
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