2022北京广渠门中学初三9月月考数学(教师版).docx

2022北京广渠门中学初三9月月考
数 学
一、选择题（共16分，每题2分）
1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A 2，1，5 B. 2，1，－5 C. 2，0，－5 D. 2，0，5
2. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如果将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到一条新的抛物线，这条新的抛物线的表达式是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 顶点的横、纵坐标都是整数．若将△ABC 以某点为旋转中心，顺时针旋转 90°得到△DEF，则旋转中心的坐标是（ ）

A. （0，0） B. （1，0） C. （1，﹣1） D. （2.5，0.5）
5. 如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（ ）．

A B. C. 4 D. 6
6. 如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为，它的邻边长为，矩形的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（

A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 正比例函数关系，二次函数关系
C. 一次函数关系，正比例函数关系 D. 正比例函数关系，一次函数关系
7. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是（ ）

A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ①④
8. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为

A. B. C. D.
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 抛物线的顶点坐标是_________．
10. 将二次函数化成的形式为__________．
11. 如图所示，绕点P顺时针旋转得到，则旋转的角度是______．

12. 抛物线与x轴的交点坐标为_______，与y轴交点坐标为________．
13. 请写出一个有最小值，并且对称轴为直线的二次函数的解析式_______．
14. 二次函数的图像与x轴有交点，则k的取值范围是________．
15. 已知抛物线经过点、，则与的大小关系是_______．
16. 如图，在中，，是内的一个动点，满足．若，，则长的最小值为_______．

三、解答题
17. 解方程：．
18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为，，．

（1）将△OAB绕点O顺时针旋转得到，点A旋转后的对应点为．画出旋转后的图形，并写出点的坐标；
（2）△OAB关于点O中心对称得到，点B的对称点为．画出中心对称后的图形，并写出点的坐标．
19. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x＋c的部分图象经过点A(0，－3)，B(1，0) ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)结合函数图象，直接写出y＜0时x的取值范围．

20. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根小于2，求的取值范围．
21. 如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，，连接FE．

（1）求证：；
（2）若，，求的面积．

22. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
-1
0
1
2
…
y
…
-3
0
1
0
…

（1）求这个二次函数的表达式；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）写出y随x增大而减小的x的取值范围；
（4）若，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
23. 已知二次函数（是常数）．
（1）若该函数图象与轴有两个不同的交点，求的取值范围．
（2）若该二次函数图象与轴的其中一个交点坐标为，求一元二次方程的解．
24. 如图，二次函数y=(x+2)2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B．

（1）求二次函数与一次函数表达式．
（2）根据图象，写出满足(x+2)2≥kx+b－m的x的取值范围
25. 中国在2022年北京冬奥会上向全世界展示了“胸怀大局，自信开放，迎难而上，追求卓越，共创未来”的北京冬奥精神．跳台滑雪是北京冬奥会的比赛项目之一，下图是某跳台滑雪场地的截面示意图．平台AB长1米（即），平台AB距地面18米，以地面所在直线为x轴，过点B垂直于地面的直线为y轴，取1米为单位长度，建立平面直角坐标系，已知滑道对应的函数为．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落过程中的某位置（忽略空气阻力）．设运动员飞出时间为t秒，运动员与点A的竖直距离为h米，运动员与点A的水平距离为l米，经实验表明：．

（1）求滑道对应的函数表达式；
（2）当，时，通过计算判断运动员此时是否已落在滑道上；
（3在试跳中，运动员从A处飞出，运动员甲飞出的路径近似看作函数图像的一部分，着陆时水平距离为，运动员乙飞出的路径近似看作函数图像的一部分，着陆时水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）．
26. 在平面直角坐标系：xOy中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求直线BC的表达式；
（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点，与直线BC交于点．若，结合函数的图象，求的取值范围；
（3）若点，在抛物线上，且当时，都有，求的取值范围．
27. 已知：ABC和ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA＝BC，DA＝DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．
（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是　　．
（2）将图1中的ADE绕点A顺时针旋转90度，补全旋转后的图形，井判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

28. 对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值y，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．

（1）分别判断函数和是不是有界函数?若是有界函数，求其边界值；
（2）若函数的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；
（3）将函数的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足?

参考答案
一、选择题（共16分，每题2分）
1. 【答案】B
【分析】根据一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．
【详解】解：∵一元二次方程2x2+x-5=0，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是2、1、-5，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．
2. 【答案】C
【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
3. 【答案】D
【分析】根据抛物线平移的规律解答．
【详解】解：这条新的抛物线的表达式是，
故选：D．
【点睛】此题考查了抛物线平移的规律：左加右减，上加下减，熟记规律是解题的关键．
4. 【答案】C
【分析】利用网格特点，作AD和BE的垂直平分线，它们相交于点P，然后写出P点坐标即可．
【详解】∵将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转90°得到△DEF，
∴点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，
作线段AD和BE的垂直平分线，它们的交点为P（1，－1），
∴旋转中心的坐标为（1，－1）．

故选C．
考点：坐标与图形变化－旋转．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化——旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
5. 【答案】B
【分析】根据旋转的性质得出AC=AC1，∠BAC1=90°，进而利用勾股定理解答即可．
【详解】∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，
∴AC=AC1=2，∠CAC1=60°，
∵AB=3，AC=2，∠BAC=30°，
∴∠BAC1=90°，
∴在Rt△BAC1中，BC1=．
故选B．
【点睛】此题考查旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
6. 【答案】A
【分析】根据长方形的周长公式和面积公式得出y与x、S与x的关系式即可做出判断．
【详解】解：由题意可得：2x+2y=10，S=xy，
即：y=5﹣x，S=x(5﹣x)=﹣x2+5x，
∴y与x是一次函数关系，S与x是二次函数关系，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、矩形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键．
7. 【答案】B
【分析】利由抛物线的开口方向和位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0），代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的顶点坐标以及对称轴可对③进行判断；抛物线的对称性得出点的对称点是，则可对④进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴，故①正确；
∵抛物线的顶点为，且经过点，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），
∴，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴，即：b=-4a，
∵，
∴c=b-a=-5a，
∵顶点，
∴，即：，
∴m=-9a，即：，故③正确；
∵若此抛物线经过点，抛物线的对称轴为直线x=2，
∴此抛物线经过点，
∴，
∴一定是方程的一个根，故④错误．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置．
8. 【答案】B
【详解】分析： 根据抛物线的对称性即可判断出对称轴的范围.
详解：设对称轴为，
由（，）和（，）可知，，
由（，）和（，）可知，，
∴，
故选B．
点睛：考查抛物线的对称性，熟练运用抛物线的对称性质是解题的关键.
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 【答案】（1，2）
【分析】直接根据顶点公式的特点求顶点坐标即可得答案．
【详解】∵是抛物线的顶点式，
∴顶点坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）
【点睛】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法．解题的关键是熟知顶点式的特点．
10. 【答案】
【分析】利用配方法整理即可得解．
【详解】解：，
所以．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
(1)一般式：为常数)；
(2)顶点式：；
(3)交点式(与轴)：．
11. 【答案】##90度
【分析】根据旋转的性质可知，点与点对应，则旋转的角度是，勾股定理证明是直角三角形，即可求得，即可求解．
【详解】如图，连接

，

是直角三角形，且
绕点P顺时针旋转得到，
点与点对应，则旋转的角度是
故答案为：
【点睛】本题考查了求旋转角，勾股定理以及勾股定理的逆定理，找到旋转角是解题的关键．
12 【答案】 ①. ②.
【分析】令 则解方程求解抛物线与x轴的交点坐标，令 则 可得抛物线与y轴的交点坐标.
【详解】解：令 则
∴
解得：
∴抛物线与x轴的交点坐标为
令 则
∴抛物线与y轴交点坐标为
故答案为：；
【点睛】本题考查的是抛物线与坐标轴的交点坐标，掌握“根据坐标轴上点的坐标特点建立方程”是解本题的关键.
13. 【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意写出开口向上，即，对称轴为直线，即的二次函数解析式即可求解．
【详解】解：有最小值，并且对称轴为直线的二次函数的解析式为：．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
14. 【答案】且
【分析】根据二次函数的图像与x轴有交点，可得，代入求解即可．
【详解】解：二次函数的图像与x轴有交点，
，即，
解得：，
，
，
综上，k的取值范围是且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了二次函数与轴的交点问题，熟知二次函数：与轴有两个交点，则；与轴有一个交点，则；与轴没有交点，则；是解本题的关键．
15. 【答案】y1＜y2##y2>y1
【详解】解：∵点A(2，y1)点B（3,y2）经过抛物线y=x2-x-3，
∴y1=22-2-3=1， y2=32-3-3=3，
∴y1＜y2．
故答案为：y1＜y2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，已知两点的坐标，和函数的解析式，将点的坐标代人就可求出y的值，根据大小比较．此题属于基础题．
16. 【答案】2
【分析】取AC中点O，由勾股定理的逆定理可知∠ADC=90°，则点D在以O为圆心，以AC为直径的圆上，作△ADC外接圆，连接BO，交圆O于，则长的最小值即为，由此求解即可．
【详解】解：如图所示，取AC中点O，
∵，即，
∴∠ADC=90°，
∴点D在以O为圆心，以AC为直径的圆上，
作△ADC外接圆，连接BO，交圆O于，则长的最小值即为，
∵，，∠ACB=90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．

【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最短距离，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键在于确定点D的运动轨迹．
三、解答题
17. 【答案】．
【分析】利用配方法变形为，再根据平方差公式变形为即可求解．
【详解】，
，
∴（x-1+3）(x-1-3)=0
，
则或，
解得．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种方法．
18. 【答案】（1），图见解析
（2），图见解析
【分析】（1）将点A，点B分别绕点O顺时针旋转得到其对应点，再与点O首尾顺次连接即可，根据点在坐标系中的位置写出坐标；
（2）分别作出点A，点B关于点O的对称点，再与点O首尾顺次连接即可，根据点在坐标系中的位置写出坐标．
【小问1详解】
解：旋转后的图形如下图所示，；
【小问2详解】
解：中心对称后图形如下图所示，．

【点睛】本题考查作旋转图形以及中心对称图形，解题的关键是掌握旋转变换的特点．
19. 【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，将坐标代入解析式得出解方程组即可；
（2）先求抛物线与x轴的交点，转化求方程的解，再根据函数y＜0，函数图像位于x轴下方，在两根之间即可．
【详解】解：(1) 抛物线经过点A(0，－3)，B(1，0) 代入坐标得：
，
解得，
所求抛物线的解析式是．
(2) 当y=0时，，
因式分解得：，
∴，
∴，
当y＜0时，函数图像在x轴下方，
∴y＜0时，x的取值范围为-3＜x＜1．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组，掌握待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组是解题关键．
20. 【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△＝（k−4）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝4，x2＝k，根据方程有一根小于2，即可得出k的取值范围．
【详解】（1）∵，
∴△=，
∴方程总有两个实数根．
（2）∵，
∴，
解得：，，
∵该方程有一个根小于2，
∴．
【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程表示出方程的两个根，熟练掌握当△≥0时，方程有两个实数根是解题关键．
21. 【答案】（1）证明见解析
（2）8
【分析】（1）根据正方形性质得到AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=，求得∠ABF=，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠BAF=∠DAE，得到△AEF是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质得到AE=2DE=4，于是得到结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=∠BAD=，
∴∠ABF=，
在△ABF与△ADE中，，
∴△ABF≌△ADE（SAS），
∴AF=AE；
【小问2详解】
解：由（1）知，△ABF≌△ADE，
∴∠BAF=∠DAE，
∴∠BAF+∠BAE=∠DAE+∠BAE=，
∴∠FAE=，
∴△AEF是等腰直角三角形，
在Rt△ADE中，∠D=，∠DAE=，DE=2，
∴AE=2DE=4，
∴△AEF的面积=．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证得△ABF≌△ADE是解题的关键．
22. 【答案】（1）
（2）见解析 （3）当x>1时，y随x增大而减小
（4）-3
∴当x>1时，y随x增大而减小．
【小问4详解】
由图可知：当时，-3的其中一个交点坐标为(-1，0)，
∴，解得，
∴一元二次方程=0为0，解得，．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键，方程ax2+bx+c=0的两根就是抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标．
24. 【答案】（1）y=(x+2)2－1，y=－x－1；（2）x≥－1或x≤－4
【分析】（1）用待定系数法可求得二次函数的解析式；由轴对称的性质可求得点B的坐标，用待定系数法可求得一次函数的解析式；
（2）将不等式移项可知，满足的的取值范围即是二次函数大于一次函数的的取值范围，根据图像和（1）中的结论即可求解．
【详解】解：1）∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴点C坐标，
∵对称轴，B、C关于对称轴对称，
∴点B坐标，
∵经过点A、B，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）∵，
∴，
即二次函数大于一次函数，
由图像可得，的取值范围为：或者．
【点睛】本题考查二次函数与不等式、待定系数法等知识，解题的关键是熟练运用待定系数法求解析式，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围．
25. 【答案】（1）
（2）动员此时没有落在滑道上
（3）<
【分析】（1）将代入，求出c即可；
（2）先计算出h和l，求出时y的值，与进行比较即可判断；
（3）分别将两个运动员飞出路径对应的函数与滑道对应的函数联立，求出着陆时的x值，进而求出与，即可判断．
【小问1详解】
解：由题意，点A的坐标为，且点A在滑道所在的抛物线上，
将，代入，得：，
解得：，
因此滑道对应的函数表达式为：；
【小问2详解】
解：当，时，
，，
当时，，
,
因此运动员此时没有落在滑道上；
【小问3详解】
解：将与联立，
得：，
化简得：，
解得：，，
可知；
同理，将与联立，
得：，
化简得：，
解得：，，
可知，
，
因此．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，掌握利用待定系数法求二次函数解析式和二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
26. 【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）利用抛物线解析式求得点B、C的坐标，利用待定系数法求得直线BC的表达式即可；
（2）由抛物线解析式得到对称轴和顶点坐标，结合图形解答即可；
（3）分三种情况进行讨论，当点M在对称轴的左侧，点N在对称轴的右侧，根据时，，求出的取值范围；当两个点都在对称轴的右侧，时，都有，求出的取值范围．当两个点都在对称轴的左侧，时，一定不成立．
【小问1详解】
解：由得到：，
∴A（1，0），B（3，0），
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的表达式为：，
则，

解得：，
∴直线BC的表达式为．
【小问2详解】
解：由得到：，
∴抛物线的对称轴是直线x＝2，顶点坐标是（2，−1），
∵直线轴，
∴，
∴，
令y＝−1时，则由y＝−x＋3得到x＝4，
∵，
∴，即．

【小问3详解】
解：当点M在对称轴的左侧，点N在对称轴的右侧，即，，
当，，
即，
整理得：；
当两个点都在对称轴的右侧，时，
∵，y随x的增大而增大，
∴一定成立，
此时；
当两个点都在对称轴左侧，时，
∵，y随x的增大而减小，
∴一定不成立；
综上分析可知，的取值范围为：．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，求一次函数解析式，解答（2）题时，利用了“数形结合”的数学思想，解答（3）时注意分类讨论．
27. 【答案】（1），；（2）成立，见解析；
【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，再利用，，即可得出答案；
（2）根据旋转的性质得出，再证明，进而得出，，，即可得出与的位置关系及数量关系．
【详解】解：（1）由题意可得：
∵为的中点
∴，，
∴
∴，
∵，
∴
∵为等腰直角三角形
∴
∴
∴且
（2）成立，
延长至点，使得，连接，如下图：

在和中

∴
∴，
∵
∴，
∴
∵

∴
∴
在和中

∴
∴，
∴
又∵
∴且
点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及图形的旋转，正确利用全等三角形的判定得出是解题的关键．
28. 【答案】（1）函数不是有界函数，是有界函数，边界值为3
（2）
（3）或
【分析】（1）根据有界函数的定义和函数边界值的定义进行判断；
（2）根据一次函数增减性、边界值确定，再结合自变量的取值范围和题意可得，解此不等式组可得的取值范围；
（3）要分情况讨论，易判断不符合题意，故；结合已知函数解析式可得函数过点和，以此求得其平移后的点坐标，进而可得或，由此即可求得的取值范围．
【小问1详解】
解：根据有界函数的定义可知，函数不是有界函数，
是有界函数，边界值为：；
【小问2详解】
解：，
∴随的增大而减小，
∵ 函数的最大值也是2，
当时，，
∴．
当时，，
根据题意可得：，
解得；
【小问3详解】
解：若，函数向下平移个单位后，时，函数值小于，此时函数的边界值，与题意不符，故．
当时，，即过点，
当时，，即过点，
将，都向下平移个单位，得到，，
根据题意可得：或，
或，
或．
【点睛】本题考查一次函数的性质，二次函数的性质，有界函数的定义以及解一元一次不等式组等知识点，属于中档题，难度一般，根据有界函数的定义结合边界值列出不等式组是解题的关键．

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