2018北京顺义初三二模数学含答案.docx

2018北京顺义初三二模
数 学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（2分）2022年冬奥会，北京、延庆、张家口三个赛区共25个场馆，北京共12个，其中11个为2008年奥运会遗留场馆，唯一一个新建的场馆是国家速滑馆，可容纳12000人观赛，将12000用科学记数法表示应为（　　）
A．12×103 B．1.2×104 C．1.2×105 D．0.12×105
2．（2分）用教材中的计算器依次按键如下，显示的结果在数轴上对应点的位置介于（　　）之间．

A．B与C B．C与D C．E与F D．A与B
3．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．菱形 C．平行四边形 D．正五边形
4．（2分）小明要去超市买甲、乙两种糖果，然后混合成5千克混合糖果，已知甲种糖果的单价为a元/千克，乙种糖果的单价为b元/千克，且a＞b．根据需要小明列出以下三种混合方案：（单位：千克）

甲种糖果
乙种糖果
混合糖果
方案1
2
3
5
方案2
3
2
5
方案3
2.5
2.5
5
则最省钱的方案为（　　）
A．方案1 B．方案2
C．方案3 D．三个方案费用相同
5．（2分）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，若A（0，2），B（1，1），则点C的坐标为（　　）

A．（1，﹣2） B．（1，﹣1） C．（2，﹣1） D．（2，1）
6．（2分）随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2分）根据北京市统计局发布的统计数据显示，北京市近五年国民生产总值数据如图1所示，2017年国民生产总值中第一产业、第二产业、第三产业所占比例如图2所示，根据以上信息，下列判断错误的是（　　）

A．2013年至2017年北京市国民生产总值逐年增加
B．2017年第二产业生产总值为5 320亿元
C．2017年比2016年的国民生产总值增加了10%
D．若从2018年开始，每一年的国民生产总值比前一年均增长10%，到2019年的国民生产总值将达到33 880亿元
8．（2分）已知正方形ABCD的边长为4cm，动点P从A出发，沿AD边以1cm/s的速度运动，动点Q从B出发，沿BC，CD边以2cm/s的速度运动，点P，Q同时出发，运动到点D均停止运动，设运动时间为x（秒），△BPQ的面积为y（cm2），则y与x之间的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）
9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是　 　．
10．（2分）如图，∠1，∠2是四边形ABCD的两个外角，且∠1+∠2＝210°，则∠A+∠D＝　 　度．

11．（2分）已知关于x的方程x2+mx+4＝0有两个相等的实数根，则m的值为　 　．
12．（2分）如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC＝40°，EF平分∠AED交AB于点F，则∠AFE＝　 　度．

13．（2分）方程﹣＝1的解是　 　．
14．（2分）如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM＝AC，BN＝BC，测得MN＝200m，则A，B间的距离为　 　m．

15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC可以看作是△DEF经过若干次图形的变化（平移、旋转、轴对称）得到的，写出一种由△DEF得到△ABC的过程　 　．

16．（2分）同学们设计了一个重复抛掷的实验：全班48人分为8个小组，每组抛掷同一型号的一枚瓶盖300次，并记录盖面朝上的次数，下表是依次累计各小组的实验结果．

1组
1～2组
1～3组
1～4组
1～5组
1～6组
1～7组
1～8组
盖面朝上次数
165
335
483
632
801
949
1122
1276
盖面朝上频率
0.550
0.558
0.537
0.527
0.534
0.527
0.534
0.532

根据实验，你认为这一型号的瓶盖盖面朝上的概率为　 　，理由是：　 　．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．（5分）计算：（π﹣2018）0+|﹣4|﹣3tan30°﹣（）﹣1．
18．（5分）先化简，再求值：•（1﹣），其中m＝2．
19．（5分）如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，DF⊥AE于点F，求证：∠AEB＝∠CDF．

20．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝2x+1交于点A（1，m）．
（1）求k、m的值；
（2）已知点P（n，0）（n≥1），过点P作平行于y轴的直线，交直线y＝2x+1于点B，交函数y＝（x＞0）的图象于点C．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当n＝3时，求线段AB上的整点个数；
②若y＝（x＞0）的图象在点A、C之间的部分与线段AB、BC所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，直接写出n的取值范围．

21．（5分）2018年4月12日上午，新中国历史上最大规模的海上阅兵在南海海域隆重举行，中国人民解放军海军多艘战舰、多架战机和1万余名官兵参加了海上阅兵式，已知战舰和战机总数是124，战舰数的3倍比战机数的2倍少8．问有多少艘战舰和多少架战机参加了此次阅兵．
22．（5分）如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）连接EC，若∠A＝30°，DC＝，求EC的长．

23．（6分）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，且＝，过点O作OE⊥AC于点E，⊙O的切线AF交OE的延长线于点F，弦AC、BD的延长线交于点G．
（1）求证：∠F＝∠B；
（2）若AB＝12，BG＝10，求AF的长．

24．（6分）某商场甲、乙、丙三名业务员2018年前5个月的销售额（单位：万元）如下表：
月份
销售额
人员
第1月
第2月
第3月
第4月

第5月
甲
6
9
10
8
8
乙
5
7
8
9
9
丙
5
9
10
5
11
（1）根据上表中的数据，将下表补充完整：
统计值
数值
人员
平均数（万元）
众数（万元）
中位数（万元）
方差
甲

8
8
1.76
乙
7.6

8
2.24
丙
8
5

（2）甲、乙、丙三名业务员都说自己的销售业绩好，你赞同谁的说法？请说明理由．
25．（6分）根据函数学习中积累的知识与经验，李老师要求学生探究函数y＝+1的图象．同学们通过列表、描点、画图象，发现它的图象特征，请你补充完整．
（1）函数y＝+1的图象可以由我们熟悉的函数　 　的图象向上平移　 　个单位得到；
（2）函数y＝+1的图象与x轴、y轴交点的情况是：　 　；
（3）请你构造一个函数，使其图象与x轴的交点为（2，0），且与y轴无交点，这个函数表达式可以是　 　．
26．（6分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+ax+2a+1的图象经过点M（2，﹣3）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与二次函数y＝x2+ax+2a+1的图象经过x轴上同一点，探究实数k，b满足的关系式；
（3）将二次函数y＝x2+ax+2a+1的图象向右平移2个单位，若点P（x0，m）和Q（2，n）在平移后的图象上，且m＞n，结合图象求x0的取值范围．

27．（7分）在等边△ABC外侧作直线AM，点C关于AM的对称点为D，连接BD交AM于点E，连接CE，CD，AD．
（1）依题意补全图1，并求∠BEC的度数；
（2）如图2，当∠MAC＝30°时，判断线段BE与DE之间的数量关系，并加以证明；
（3）若0°＜∠MAC＜120°，当线段DE＝2BE时，直接写出∠MAC的度数．

28．（7分）已知边长为2a的正方形ABCD，对角线AC、BD交于点Q，对于平面内的点P与正方形ABCD，给出如下定义：如果a≤PQ≤a，则称点P为正方形ABCD的“关联点”．
在平面直角坐标系xOy中，若A（﹣1，1），B（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），D（1，1）．
（1）在P1（﹣，0），P2（，），P3（0，）中，正方形ABCD的“关联点”有　 　；
（2）已知点E的横坐标是m，若点E在直线y＝x上，并且E是正方形ABCD的“关联点”，求m的取值范围；
（3）若将正方形ABCD沿x轴平移，设该正方形对角线交点Q的横坐标是n，直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于M、N两点．如果线段MN上的每一个点都是正方形ABCD的“关联点”，求n的取值范围．

2018北京顺义初三二模数学
参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：数据12000用科学记数法表示为1.2×104，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．【分析】此题实际是求﹣的值．
【解答】解：在计算器上依次按键转化为算式为﹣＝；
计算可得结果介于﹣2与﹣1之间．
故选：A．
【点评】本题主要考查了利用计算器计算结果，要求同学们能熟练应用计算器，熟悉计算器的各个按键的功能．
3．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合菱形、平行四边形、等边三角形、正五边形的性质求解．
【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：B．
【点评】此题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图形重合．
4．【分析】求出三种方案混合糖果的单价，比较后即可得出结论．
【解答】解：方案1混合糖果的单价为，
方案2混合糖果的单价为，
方案3混合糖果的单价为＝．
∵a＞b，
∴＜＜，
∴方案1最省钱．
故选：A．
【点评】本题考查了加权平均数，求出各方案混合糖果的单价是解题的关键．
5．【分析】根据A点坐标即可建立平面直角坐标．
【解答】解：由A（0，2），B（1，1）可知原点的位置，
建立平面直角坐标系，如图，
∴C（2，﹣1）
故选：C．

【点评】本题考查平面直角坐标系，解题的关键是建立直角坐标系，本题属于基础题型．
6．【分析】先求出两次掷一枚硬币落地后朝上的面的所有情况，再根据概率公式求解．
【解答】解：随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后情况如下：

至少有一次正面朝上的概率是，
故选：D．
【点评】本题考查了随机事件的概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
7．【分析】由条形图与扇形图中的数据及增长率的定义逐一判断即可得．
【解答】解：A、由条形图知2013年至2017年北京市国民生产总值逐年增加，此选项正确；
B、2017年第二产业生产总值为28000×19%＝5 320亿元，此选项正确；
C、2017年比2016年的国民生产总值增加了×100%＝9.08%，此选项错误；
D、若从2018年开始，每一年的国民生产总值比前一年均增长10%，到2019年的国民生产总值将达到2800×（1+10%）2＝33 880亿元，此选项正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查条形统计图与扇形统计图，解题的关键是根据条形统计图与扇形统计图得出具体数据．
8．【分析】根据题意，Q点分别在BC、CD上运动时，形成不同的三角形，分别用x表示即可．
【解答】解：（1）当0≤x≤2时，
BQ＝2x
y＝

当2≤x≤4时，如下图
y＝（4﹣x+4）×4﹣×（4﹣x）（8﹣2x）﹣×4×（2x﹣4）＝﹣x2+2x+8

由上可知
故选：B．
【点评】本题是双动点问题，解答时要注意讨论动点在临界两侧时形成的不同图形，并要根据图形列出函数关系式．
二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）
9．【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x+5≠0，
解得x≠﹣5，
故答案是：x≠﹣5．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零分式有意义得出不等式是解题关键．
10．【分析】利用邻补角的定义求出∠ABC+∠BCD，再利用四边形内角和定理求得∠A+∠D．
【解答】解：∵∠1+∠2＝210°，
∴∠ABC+∠BCD＝180°×2﹣210°＝150°，
∴∠A+∠D＝360°﹣150°＝210°．
故答案为：210．
【点评】本题考查了四边形的内角和定理以及邻补角的定义，利用邻补角的定义求出∠ABC+∠BCD是关键．
11．【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝0，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．
【解答】解：∵已知关于x的方程x2+mx+4＝0有两个相等的实数根，
∴△＝m2﹣4×1×4＝0，
解得：m＝±4．
故答案为：±4．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
12．【分析】由平角求出∠AED的度数，由角平分线得出∠DEF的度数，再由平行线的性质即可求出∠AFE的度数．
【解答】解：∵∠AEC＝40°，
∴∠AED＝180°﹣∠AEC＝140°，
∵EF平分∠AED，
∴∠DEF＝∠AED＝70°，
又∵AB∥CD，
∴∠AFE＝∠DEF＝70°．
故答案为：70
【点评】本题考查的是平行线的性质以及角平分线的定义．熟练掌握平行线的性质，求出∠DEF的度数是解决问题的关键．
13．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3+2x＝x﹣1，
解得：x＝﹣4，
经检验x＝﹣4是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
14．【分析】根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：∵AM＝AC，BN＝BC，
∴AB是△CMN的中位线，
∴AB＝MN＝100m，
故答案为：100．
【点评】本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15．【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可得到由△DEF得到△ABC的过程．
【解答】解：由题可得，由△DEF得到△ABC的过程为：
先以点O为旋转中心，逆时针旋转90°，再将得到的三角形沿x轴翻折．（答案不唯一）
故答案为：先以点O为旋转中心，逆时针旋转90°，再将得到的三角形沿x轴翻折．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，平移，对称，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小．
16．【分析】根据用频率估计概率解答即可．
【解答】解：∵在用频率估计概率时，试验次数越多越接近，所以取1﹣8组的频率值，
∴这一型号的瓶盖盖面朝上的概率为0.532，
故答案为：0.532，在用频率估计概率时，试验次数越多越接近，所以取1﹣8组的频率值．
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解答此题关键是用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27、28题每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、负指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1+4﹣3×﹣2
＝5﹣﹣2
＝3﹣．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•＝﹣，
当m＝2时原式＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．【分析】利用矩形的性质结合平行线的性质得出∠CDF+∠ADF＝90°，进而得出∠CDF＝∠DAF，由AD∥BC，得出答案．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AD∥BC，
∴∠CDF+∠ADF＝90°，
∵DF⊥AE于点F，
∴∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠CDF＝∠DAF．
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠CDF．
【点评】此题主要考查了矩形的性质以及平行线的性质，正确得出∠CDF＝∠DAF是解题关键．
20．【分析】（1）将A点代入直线解析式可求m，再代入y＝，可求k．
（2）①根据题意先求B，C两点，可得线段AB上的整点的横坐标的范围1≤x≤3，且x为整数，所以x取1，2，3．再代入可求整点，即求出整点个数．
②根据图象可以直接判断2≤n＜3．
【解答】解：（1）∵点A（1，m）在y＝2x+1上，
∴m＝2×1+1＝3．
∴A（1，3）．
∵点A（1，3）在函数的图象上，
∴k＝3．
（2）①当n＝3时，B、C两点的坐标为B（3，7）、C（3，1）．
∵整点在线段AB上
∴1≤x≤3且x为整数
∴x＝1，2，3
∴当x＝1时，y＝3，
当x＝2时，y＝5，
当x＝3时，y＝7，
∴线段AB上有（1，3）、（2，5）、（3，7）共3个整点．
②
由图象可得当2≤n＜3时，有五个整点．
【点评】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法，以及函数图象的性质．关键是能利用函数图象有关解决问题．
21．【分析】设有x艘战舰，y架战机参加了此次阅兵，根据题意列出方程组解答即可．
【解答】解：设有x艘战舰，y架战机参加了此次阅兵，
根据题意，得，
解这个方程组，得 ，
答：有48艘战舰和76架战机参加了此次阅兵．
【点评】此题考查二元一次方程组的应用，关键是根据题意列出等量关系进行解答．
22．【分析】（1）直接利用直角三角形的性质得出DE＝BE＝AB，再利用DE∥BC，得出∠2＝∠3，进而得出答案；
（2）利用已知得出在Rt△BCD中，∠3＝60°，DC＝，得出DB的长，进而得出EC的长．
【解答】（1）证明：∵AD⊥DB，点E为AB的中点，
∴DE＝BE＝AB．
∴∠1＝∠2．
∵DE∥BC，
∴∠2＝∠3．
∴∠1＝∠3．
∴BD平分∠ABC．

（2）解：∵AD⊥DB，∠A＝30°，
∴∠1＝60°．
∴∠3＝∠2＝60°．
∵∠BCD＝90°，
∴∠4＝30°．
∴∠CDE＝∠2+∠4＝90°．
在Rt△BCD中，∠3＝60°，DC＝，
∴DB＝2．
∵DE＝BE，∠1＝60°，
∴DE＝DB＝2．
∴EC＝＝＝．

【点评】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线与斜边的关系，正确得出DB，DE的长是解题关键．
23．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠GAB＝∠B，根据切线的性质得到∠GAB+∠GAF＝90°，证明∠F＝∠GAB，等量代换即可证明；
（2）连接OG，根据勾股定理求出OG，证明△FAO∽△BOG，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】（1）证明：∵＝，
∴＝．
∴∠GAB＝∠B，
∵AF是⊙O的切线，
∴AF⊥AO．
∴∠GAB+∠GAF＝90°．
∵OE⊥AC，
∴∠F+∠GAF＝90°．
∴∠F＝∠GAB，
∴∠F＝∠B
（2）解：连接OG．
∵∠GAB＝∠B，
∴AG＝BG．
∵OA＝OB＝6，
∴OG⊥AB．
∴，
∵∠FAO＝∠BOG＝90°，∠F＝∠B，
∴△FAO∽△BOG，
∴．
∴．

【点评】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
24．【分析】（1）利用平均数、众数、中位数的定义和方差的计算公式求解；
（2）利用甲的平均数大得到总营业额高，方差小，营业额稳定进行判断．
【解答】解：（1）甲的平均数＝（6+9+10+8+8）＝8.2；
乙的众数为9；
丙的中位数为9，
丙的方差＝[（5﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2+（5﹣8）2+（11﹣8）2]＝6.4；
故答案为8.2；9；9；6.4；
（2）赞同甲的说法．理由是：甲的平均数高，总营业额比乙、丙都高，每月的营业额比较稳定．
【点评】本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小．记住方差的计算公式．也考查了平均数、众数和中位数．
25．【分析】（1）根据函数图象的平移规律，可得答案；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据点的坐标满足函数解析式，可得答案．
【解答】解：（1）函数的图象可以由我们熟悉的函数的图象向上平移1个单位得到，
故答案为：，1；
（2）函数的图象与x轴、y轴交点的情况是：与x轴交于（﹣1，0），与y轴没交点，
故答案为：与x轴交于（﹣1，0），与y轴没交点；
（3）请你构造一个函数，使其图象与x轴的交点为（2，0），且与y轴无交点，这个函数表达式可以是 答案不唯一，
如：y＝﹣+1，
故答案为：y＝﹣+1．
【点评】本题考查了反比例函数图象，利用函数图象的平移规律是解题关键．
26．【分析】（1）将点M的坐标代入函数解析式，利用方程求得a的值即可；
（2）y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点是：（3，0），（﹣1，0）．分类求得实数k，b满足的关系式；
（3）结合图象解答．
【解答】解：（1把M（2，﹣3）代入y＝x2+ax+2a+1，可以得到4+2a+2a+1＝﹣3，
a＝﹣2
因此，二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点是：（3，0），（﹣1，0）．
当y＝kx+b（k≠0）经过（3，0）时，3k+b＝0；
当y＝kx+b（k≠0）经过（﹣1，0）时，k＝b．

（3）将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向右平移2个单位得到y＝x2﹣6x+5，对称轴是直线x＝3，
因此Q（2，n）在图象上的对称点是（4，n），
若点P（x0，m）使得m＞n，结合图象可以得出x0＜2或x0＞4．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；解（2）的关键是把点的坐标代入函数解析式；解（3）的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏．
27．【分析】（1）根据轴对称作出图形，先判断出∠ABD＝∠ADB＝y，再利用三角形的内角和得出x+y即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出四边形ABCD是菱形，进而得出∠CBD＝30°，进而得出∠BCD＝90°，即可得出结论；
（3）先作出EF＝2BE，进而判断出EF＝CE，再判断出∠CBE＝90°，进而得出∠BCE＝30°，得出∠AEC＝60°，即可得出结论．
【解答】解：（1）补全图形如图1所示，

根据轴对称得，AD＝AC，∠DAE＝∠CAE＝x，∠DEM＝∠CEM．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°．
∴AB＝AD．
∴∠ABD＝∠ADB＝y．
在△ABD中，2x+2y+60°＝180°，
∴x+y＝60°．
∴∠DEM＝∠CEM＝x+y＝60°．
∴∠BEC＝60°；

（2）BE＝2DE，
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
由对称知，AD＝AC，∠CAD＝2∠CAM＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴CD＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，且∠BAD＝2∠CAD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
由（1）知，∠BEC＝60°，
∴∠ECB＝90°．
∴BE＝2CE．
∵CE＝DE，
∴BE＝2DE．

（3）如图3，（本身点C，A，D在同一条直线上，为了说明∠CBD＝90°，画图时，没画在一条直线上）

延长EB至F使BE＝BF，
∴EF＝2BE，
由轴对称得，DE＝CE，
∵DE＝2BE，
∴CE＝2BE，
∴EF＝CE，
连接CF，同（1）的方法得，∠BEC＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∵BE＝BF，
∴∠CBE＝90°，
∴∠BCE＝30°，
∴∠ACE＝30°，
∵∠AED＝∠AEC，∠BEC＝60°，
∴∠AEC＝60°，
∴∠MAC＝180°﹣∠AEC﹣∠ACE＝90°．

【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，作出图形是解本题的关键．
28．【分析】（1）正方形ABCD的“关联点”中正方形的内切圆和外切圆之间（包括两个圆上的点），由此画出图形即可判断；
（2）因为E是正方形ABCD的“关联点”，所以E在正方形ABCD的内切圆和外接圆之间（包括两个圆上的点），因为E在直线上，推出点E在线段FG上，求出点F、G的横坐标，再根据对称性即可解决问题；
（3）因为线段MN上的每一个点都是正方形ABCD的“关联点”，分两种情形：①如图3中，MN与小⊙Q相切于点F，求出此时点Q的横坐标；②M如图4中，落在大⊙Q上，求出点Q的横坐标即可解决问题；
【解答】解：（1）由题意正方形ABCD的“关联点”中正方形的内切圆和外切圆之间（包括两个圆上的点），

观察图象可知：正方形ABCD的“关联点”为P2，P3；

（2）作正方形ABCD的内切圆和外接圆，

∴OF＝1，OG＝，．
∵E是正方形ABCD的“关联点”，
∴E在正方形ABCD的内切圆和外接圆之间（包括两个圆上的点），
∵点E在直线上，
∴点E在线段FG上．
分别作FF’⊥x轴，GG’⊥x轴，
∵OF＝1，，
∴，．
∴．
根据对称性，可以得出．
∴或．

（3）∵、N（0，1），
∴，ON＝1．
∴∠OMN＝60°．
∵线段MN上的每一个点都是正方形ABCD
的“关联点”，
①MN与小⊙Q相切于点F，如图3中，

∵QF＝1，∠OMN＝60°，
∴．
∵，
∴．
∴．
②M落在大⊙Q上，如图4中，

∵，，
∴．
∴．
综上：．
【点评】本题考查一次函数综合题、正方形的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
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