2021北京初三(上)期中数学汇编：解直角三角形.docx

2021北京初三（上）期中数学汇编
解直角三角形
一、单选题
1．（2021·北京大兴·九年级期中）某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（　　）

A．3.5sin29° B．3.5cos29° C．3.5tan29° D．
2．（2021·北京市月坛中学九年级期中）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为(　　)

A．(54+10) cm B．(54+10) cm C．64 cm D．54cm
二、填空题
3．（2021·北京大兴·九年级期中）青岛位于北纬36°4′，在冬至日的正午时分，太阳的入射角为30°30′，因此在规划建设楼高为20米的小区时，两楼间的最小间距为______________米，才能保证不挡光．
4．（2021·北京市陈经纶中学分校九年级期中）已知在直角坐标平面上的机器人接受指令“”（，）后行动，结果为：在原地顺时针旋转A后，再向面对方向沿直线前行a．若机器人的位是在原点，面对方向是y轴的负半轴，则它完成一次指令后所在位置的坐标是________．
5．（2021·北京市三帆中学九年级期中）京剧作为一门中国文化的传承艺术，深受外国友人青睐．如图，在平面直角坐标系xOy中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G．点A，B，C，D分别是图形G与坐标轴的交点，已知点B的坐标为（0，），线段CD为半圆的直径，且CD=4，点M在半圆上，点N在抛物线上，N的纵坐标为，MN与y轴平行．下列关于图形G的四个结论，其中正确的有________ ．（填正确结论的序号）
①图形G关于直线y=0对称；
②线段MN的长为；
③扇形OMA的面积；
④当＜a＜2时，直线y=a与图形G有两个公共点．

6．（2021·北京大兴·九年级期中）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动、已知细绳的长度为厘米，当小球摆动到最高位置时，细绳偏转的角度为，那么小球在最高位置与最低位置时的高度差为________厘米（用所给数据表示即可）．

三、解答题
7．（2021·北京大兴·九年级期中）如图是某一过街天桥的示意图，天桥高CO为6米，坡道倾斜角∠CBO为45°，在距B点5米处有一建筑物DE．为方便行人上下天桥，市政部门决定减少坡道的倾斜角，但要求建筑物与新坡角A处之间地面要留出不少于3米宽的人行道．

(1)若将倾斜角改建为30°（即∠CAO＝30°），则建筑物DE是否要拆除？（≈1.732）
(2)若不拆除建筑物DE，则倾斜角最小能改到多少度（精确到1°）？
8．（2021·北京大兴·九年级期中）定义：在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，．点为平面内任意一点，若，且时，称点为线段的“居中点”．特别地，当，且时，又称点为线段的“正居中点”．抛物线与轴的正半轴交于点．

（1）若点是线段的“正居中点”，且在第一象限，则点的坐标为_____；
（2）若点是线段的“居中点”，则点的纵坐标的取值范围是________；
（3）将射线绕点顺时针旋转得到射线，已知点在射线上，若在第四象限内存在点，点既是线段的“居中点”，又是线段的“正居中点”，求此时点的坐标．
9．（2021·北京海淀·九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于第一象限的P，Q两点，给出如下定义：若y轴正半轴上存在点，轴正半轴上存在点，使，且（如图1），则称点与点为－关联点．

（1）在点，中，与为45°－关联点的是________；
（2）如图2，，， ．若线段上存在点，使点与点为45°－关联点，结合图象，求的取值范围；
（3）已知点，．若线段上至少存在一对30°－关联点，直接写出的取值范围．

10．（2021·北京四中九年级期中）在等边中，， ，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．

（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．
①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；
②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：；
（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当最小时，直接写出的面积．
11．（2021·北京一七一中九年级期中）如图1，在等边△ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点Q顺时针旋转，使得点A的对应点E落在射线BC上，连接BQ，设∠DAQ=α（0°＜α＜60°且α≠30°）．
（1）当0°＜α＜30°时，
①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE（用含α的式子表示）；
②探究线段CE，AC，CQ之间的数量关系，并加以证明；
（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE，AC，CQ之间的数量关系．

12．（2021·北京大兴·九年级期中）如图，矩形是供一辆机动车停放的车位示意图，已知，，，请你计算车位所占的宽度约为多少米？（，结果保留两位小数）

参考答案
1．A
【分析】解直角三角形求出AB即可．
【详解】在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝3.5米，∠BCA＝29°，
∴AB＝BC•sin∠ACB＝3.5•sin29°.
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，已知直角三角形的锐角及斜边，用正弦即可求得这个角的对边.
2．C
【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【详解】如图所示，

过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则
Rt△ACE中，AE=AC=×54=27（cm），
同理可得，BF=27cm，
又∵点A与B之间的距离为10cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），
故选C．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．

3．
【分析】根据题意作出图形，根据已知直角三角形的一个锐角和一边求另一边的问题．
【详解】解：如图，,

∴
即
故答案为：
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角比是解题的关键．
4．（-1，- ）．
【分析】根据题意画出图形，得出OA=2，∠AOC=30°，求出∠AOB，根据直角三角形的性质和三角函数求出OB、AB即可．
【详解】解：如图，设旋转后的对应点为A，作AB⊥x轴，垂足为B，
则∠BOA=60°，OA=2，
在Rt△AOB中，OB=OA•cos60°=1，AB=OA•sin60°=，
∴A（-1，- ）．
故答案为：（-1，- ）．
．

【点睛】此题考查了三角函数的应用，正确理解题意作出图形利用三角函数求值是解题的关键．
5．②④##④②
【分析】用待定系数法求出抛物线表达式，从而得出对称轴，令求出点坐标，即可得出的横坐标，由勾股定理求出点坐标，从而得出的长，由三角函数求出的度数，由扇形面积公式从而得出，由图像得出当时，直线与图形的交点个数．
【详解】
如图，交轴于点，
，
，，
设抛物线表达式为，
把代入解得：，
，
图形关于直线对称，故①错误；
令得：，
解得：或，
，
，
在中，，
，故②正确；
，，
，
，故③错误；
由图可知，，
当时，直线与图形有两个公共点，故④正确．

故答案为：②④．
【点睛】本题以半圆为抛物线合成的封闭图形为背景，曲线的对称性、整点问题，构造直角三角形，利用勾股定理求点的坐标．
6．
【分析】当小球在最高位置时，过小球作小球位置最低时细绳的垂线，在构建的直角三角形中，可根据偏转角的度数和细绳的长度，求出小球最低位置时的铅直高度，进而可求出小球在最高位置与最低位置时的高度差．
【详解】
解：如图：过A作AB⊥OC于B．
Rt△OAB中，OA=20厘米，∠AOB=28°，
∴OB=OA•cos28°=20×cos28°．
∴BC=OC-OB=20-20×cos28°=20（1-cos28°）．
故答案为
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，主要是余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题是解题的关键．
7．(1)要拆除；
(2)37°
【分析】（1）分别在△CAO和△CBO中，求出AO、BO的长度，最后比较AO+3与OE的长度，进行判断；
（2）若不拆除建筑物DE，则OA最长可以是11﹣3＝8m，在Rt△CAO中，求出∠CAO的度数即可．
（1）解：当∠CAO＝30°时，在Rt△CAO中，∵CO＝6m，tan∠CAO＝，∴AO＝（m），在Rt△CBO中，∵∠CBO＝45°，∴BO＝CO＝6m，∵AO+3＝＞11＝OE，因此建筑物DE要拆除；
（2）解：若不拆除建筑物DE，则OA最长可以是11﹣3＝8m，在Rt△CAO中，∵CO＝6m，tan∠CAO＝＝0.75，∴∠CAO≈37°，因此倾斜角最小能改到37°．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握“锐角的正切的含义”是解本题的关键.
8．（1）；（2）或；（3）
【分析】（1）利用抛物线的性质求出，在抛物线上作对称轴 ，交x轴于点N，则可得出，再利用C是OM的中点，得出，再利用三角函数求出即可求解；
（2）结合（1）的结论及“居中点”的定义，即可得出；
（3）利用“正居中点”和“居中点”的定义可得出相等的线段和角，在直角三角形中利用特殊角的三角函数值即可求出F点坐标，再通过平行线的性质找出E点的坐标即可 ．
【详解】解：

（1）抛物线的对称轴为 ，
令 ，则
∴ ，
在抛物线上作对称轴 ，交x轴于点N，
∴ ，点C在对称轴上，
∵C是OM的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴C；
（2）由（1）知线段OM的“正居中点”坐标为或，
∵C是线段OM的“居中点”，
∴点C在点的上方或的下方，
∴D纵坐标取值范围为或；
（3）点是线段的“居中点”，，
点在线段的垂直平分线上．
设线段的垂直平分线交轴于点．
，
．
点是线段的“正居中点”，

，，
．
，
．
是等边三角形，
．
在中，，
点在第四象限，
．
．
．
又，
．
．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，解直角三角形，特殊角的三角函数，等边三角形的性质及平行线的判定及性质，解题关键是读懂题意明白“正居中点”和“居中点”的性质．
9．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据题意作PA⊥y轴于点A，QB⊥x轴于点B，根据点P的坐标得出和是等腰直角三角形，然后根据得出是等腰直角三角形，即可求解；
（2）根据题意表示出为（0，），为（，0），然后表示出关联点所在的表达式，将y=4代入表达式表示出横坐标，根据在线段上可表示出横坐标的取值范围，即可求出m的取值范围；
（3）根据题意求出当点P，Q，B三点重合时n的值，然后根据30°角的三角函数值求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，作PA⊥y轴于点A，QB⊥x轴于点B，

∵P，，
∴，
∴，
∴和是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴当时，点Q的坐标为，
∴与为45°－关联点的是；
（2）解：如图所示，

对点P（m，8）（）而言，依定义，要使，则有：
为（0，），为（，0），
于是函数（）上的点Q即为点P的45°-关联点，
若当点Q在线段MN上时，，则有，
由，得，
解得．
（3）∵点Q和点P在线段AB上，
当点P离B点越近时，点Q的横坐标越小，
∴当点P，Q，B三点重合，点和点和O点重合，
如图所示，

作PE⊥y轴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当线段上至少存在一对30°－关联点时，．
【点睛】此题考查了平面直角坐标系中的动点问题，等腰直角三角形的性质，三角函数等知识，解题的关键是根据题意表示出点的坐标．
10．（1）①；②见解析；（2）
【分析】（1）①连接AG，根据题意得出△ABC和△GEF均为等边三角形，从而可证明△GBC≌△GAC，进一步求出AD＝3，AG＝BG＝，然后利用勾股定理求解即可；
②以点F为圆心，FB的长为半径画弧，与BH的延长线交于点K，连接KF，先证明出△BFK是顶角为120°的等腰三角形，然后推出△FEB≌△FHK，从而得出结论即可；
（2）利用“胡不归”模型构造出含有30°角的直角三角形，构造出，当N、P、J三点共线的时候满足条件，然后利用等边三角形的性质及判定、矩形的判定及性质以及解直角三角形的知识分别计算出PN与DN的长度，即可得出结论．
【详解】（1）解：①如图所示，连接AG，
由题意可知，△ABC和△GEF均为等边三角形，
∴∠GFB＝60°，
∵BD⊥AC，
∴∠FBC＝30°，
∴∠FCB＝30°，∠ACG＝30°，
∵AC＝BC，GC＝GC，
∴△GBC≌△GAC（SAS），
∴∠GAC＝∠GBC＝90°，AG＝BG，
∵AB＝6，
∴AD＝3，AG＝BG＝，
∴在Rt△ADG中，，
∴；

②证明：以点F为圆心，FB的长为半径画弧，与BH的延长线交于点K，连接KF，如图，
∵△ABC和△GEF均为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，∠EFH＝120°，
∴∠BEF+∠BHF＝180°，
∵∠BHF+∠KHF＝180°，
∴∠BEF＝∠KHF，
由辅助线作法可知，FB＝FK，则∠K＝∠FBE，
∵BD是等边△ABC的高，
∴∠K＝∠DBC＝∠DBA＝30°，
∴∠BFK＝120°，
在△FEB与△FHK中，

∴△FEB≌△FHK（AAS），
∴BE＝KH，
∴BE+BH＝KH+BH＝BK，
∵FB＝FK，∠BFK＝120°，
∴BK＝BF
即：；

（2）方法一：以为顶点，为一边，作，交于，过作于，设交于，如图：

中，，
最小即是最小，此时、、共线，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
在射线上运动，则在射线上运动，根据“瓜豆原理”， 为主动点，是从动点，为定点，，则、轨迹的夹角，
，
，
，
，
，
，
，
，
而，
，
四边形是矩形，
，
边中，，，
，
又，
，
等边中，，点为中点时，点为中点，
，，
中，，，
，，
中，，
，
．
方法二：如图，连接EQ，

∵在等边中，， ，
∴∠A＝60°，∠BDA＝90°，∠ABD＝30°，
∵点E、Q分别为AB、BD的中点，
∴EQ为△ABD的中位线，
∴EQAD，
∴∠BEQ＝∠A＝60°，∠BQE＝∠BDA＝90°，
∵∠BQE＝90°，∠ABD＝30°，
∴EQ＝，
∵点M为BE的中点，
∴ME＝＝EQ，
∵将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，
∴△EPF为等边三角形，∠PEF＝60°，PE＝EF＝PF，
∴∠BEQ＝∠PEF，
∴∠BEQ－∠PEQ＝∠PEF－∠PEQ，
即∠MEP＝∠QEF，
在△MEP与△QEF中，
，
∴△MEP≌△QEF（SAS）
∴∠EMP＝∠EQF＝90°，
∴MP⊥BE，
∴点P在射线MP上运动，
如图，以为顶点，为一边，作，交于，过作于，设交于，

则在中，，
最小即是最小，此时、、共线，如下图：

∵∠EMP＝90°，∠PML＝30°，
，
，
，
，
又∵，
，
四边形是矩形，
，
在等边中，，，
，
又，
，
在等边中，，点为中点时，点为中点，
，，
∴在中，，，
，，
∴在中，，
，
．
【点睛】本题考查等边三角形性质及应用，涉及旋转变换、解直角三角形、三角形全等的判定及性质、矩形的判定及性质等知识，难度较大，解题的关键是构造辅助线．
11．（1）图形见解析；∠BQE=60°+2α；（2）CE+AC=CQ；证明见解析；（3）AC-CE=CQ．
【分析】（1）①先根据等边三角形的性质的QA=QB，进而得出QB=QE，最后用三角形的内角和定理即可得出结论；
②延长CA到点F，使得AF=CE，连接QF，作QH⊥AC于点H．先判断出△QAF≌△QEC，得出QF=QC，再判断出△QCF是底角为30度的等腰三角形，再构造出直角三角形即可得出结论；
（2）同②的方法即可得出结论．
【详解】（1）当0°＜α＜30°时，
①画出的图形如图1所示，

∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°．
∵CD为等边三角形的中线，
∴CD是AB的垂直平分线，
∵Q为线段CD上的点，
∴QA=QB．
∵∠DAQ=α，
∴∠ABQ=∠DAQ=α，∠QBE=60°-α．
∵线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得，
∴QE=QA．
∴QB=QE．
∴∠QEB=∠QBE=60°-α，
∴∠BQE=180°-2∠QBE=180°-2（60°-α）=60°+2α；
②CE+AC=CQ；证明：
如图2，延长CA到点F，使得AF=CE，连接QF，作QH⊥AC于点H．

∵∠BQE=60°+2α，点E在BC上，
∴∠QEC=∠BQE+∠QBE=（60°+2α）+（ 60°-α）=120°+α．
∵点F在CA的延长线上，∠DAQ=α，
∴∠QAF=∠BAF+∠DAQ=120°+α．
∴∠QAF=∠QEC．
又∵AF=CE，QA=QE，
∴△QAF≌△QEC．
∴QF=QC．
∵QH⊥AC于点H，
∴FH=CH，CF=2CH．
∵在等边三角形ABC中，CD为中线，
点Q在CD上，
∴∠ACQ=∠ACB=30°，
即△QCF为底角为30°的等腰三角形．
∴CH＝CQ•cos∠HCQ＝CQ•cos30°＝CQ．
∴CE+AC=AF+AC=CF=2CH＝CQ．
（2）如图3，当30°＜α＜60°时，
在AC上取一点F使AF=CE，

∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°．
∵CD为等边三角形的中线，
∵Q为线段CD上的点，
∴CD是AB的垂直平分线，
由等边三角形的对称性得QA=QB．
∵∠DAQ=α，
∴∠ABQ=∠DAQ=α，∠QBE=60°-α．
∵线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得，
∴QE=QA．
∴QB=QE．
∴∠QEB=∠QBE=60°-α=∠QAF，
又∵AF=CE，QA=QE，
∴△QAF≌△QEC．
∴QF=QC．
∵QH⊥AC于点H，
∴FH=CH，CF=2CH．
∵在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在CD上，
∴∠ACQ=∠ACB=30°，
即△QCF为底角为30°的等腰三角形．
∴CH＝CQ•cos∠HCQ＝CQ•cos30°＝CQ．
∴AC-CE=AC-AF=CF=2CH＝CQ．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
12．车位所占的宽度约为米．
【分析】根据题意得出各角度数，再利用锐角三角函数关系求出即可．
【详解】由题意可得：∠BCE=60，
故EC=BCcos60=1(m),FC=DCcos30=5×=，
则EF=EC+FC=1+≈5.33(m).
答：车位所占的宽度EF约为5.33米.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用.

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