1、23.动量和能量观点在力学中的综合应用
1.(2021·湖南怀化市一模)如图1所示，光滑轨道abc固定在竖直平面内，ab倾斜、bc水平，与半径R＝0.4 m竖直固定的粗糙半圆形轨道cd在c点平滑连接。可视为质点的小球甲和乙静止在水平轨道上，二者中间压缩有轻质弹簧，弹簧与两小球均不拴接且被锁定。现解除对弹簧的锁定，小球甲在脱离弹簧后恰能沿轨道运动到a处，小球乙在脱离弹簧后沿半圆形轨道恰好能到达最高点d。已知小球甲的质量m1＝2 kg，a、b的竖直高度差h＝0.45 m，小球乙在c点时轨道对其弹力的大小F＝100 N，弹簧恢复原长时两小球均在水平轨道上，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2
2、求：
图1
(1)小球乙的质量；
(2)弹簧被锁定时具有的弹性势能Ep；
(3)小球乙在半圆形轨道上克服摩擦力所做的功Wf。
答案 (1)1 kg (2)27 J (3)8 J
解析 (1)对小球甲，由机械能守恒定律得
m1gh＝m1v
对小球甲、乙，由动量守恒定律得m1v1＝m2v2
对小球乙，在c点，由牛顿第二定律得F－m2g＝m2
联立解得m2＝1 kg，v2＝6 m/s或m2＝9 kg，v2＝ m/s
小球乙恰好过d点，有m2g＝m2
解得vd＝＝2 m/s
由题意vd＜v2，所以小球乙的质量m2＝1 kg。
(2)由能量守恒定律有Ep＝m1v＋m2v
3、
解得弹簧被锁定时具有的弹性势能Ep＝27 J。
(3)对小球乙在半圆形轨道上运动的过程中，设摩擦力所做的功为Wf′，由动能定理有
－2m2gR＋Wf′＝m2v－m2v
解得Wf′＝－8 J，所以Wf＝8 J。
2.(2021·天津河东区高考一模)如图2所示，内壁光滑的直圆筒固定在水平地面上，一轻质弹簧一端固定在直圆筒的底端，其上端自然状态下位于O点处，将一质量为m、直径略小于直圆筒的小球A缓慢的放在弹簧上端，其静止时弹簧的压缩量为x0。现将一与小球A完全相同的小球B从距小球A某一高度的P处由静止释放，小球B与小球A碰撞后立即粘连在一起向下运动，它们到达最低点后又向上运动，并恰能回到
4、O点，已知两小球均可视为质点，弹簧的弹性势能为kx2，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，重力加速度g。求：
图2
(1)弹簧的劲度系数k；
(2)小球B释放时的高度h；
(3)小球A与小球B一起向下运动时速度的最大值vm。
答案 (1) (2)3x0 (3)
解析 (1)由平衡条件可知mg＝kx0
解得k＝。
(2)B球由静止下落后与A接触前的瞬时速度为v0，则有mgh＝mv
设A与B碰撞后的速度为v，有mv0＝2mv
碰后从粘在一起到返回O点，系统机械能守恒，取碰后瞬间所在平面为零势能面，则×2mv2＋kx＝2mgx0，解得h＝3x0。
(3)当加速度为零时，两球速度达到最大值，此时弹簧压缩量为x1，有2mg＝kx1
从最大速度到返回O点，系统机械能守恒，取最大速度处所在平面为零势能面，则
×2mv＋kx＝2mgx1，
解得vm＝。
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