2021北京高三数学上学期期末汇编：平面解析几何(教师版).docx

2021北京高三数学上学期期末汇编：平面解析几何
一．选择题（共18小题）
1．（2020秋•房山区期末）若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为，则双曲线的标准方程为　　
A． B． C． D．
2．（2020秋•朝阳区期末）已知双曲线的左焦点为，右顶点为，过作的一条渐近线的垂线，为垂足．若，则的离心率为　　
A． B．2 C． D．
3．（2020秋•丰台区期末）若关于，的方程组无解，则　　
A．2 B． C．1 D．
4．（2020秋•昌平区期末）已知抛物线上一点到焦点的距离为5，那么点到轴的距离是　　
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2020秋•东城区期末）与圆相切于点的直线的斜率为　　
A． B． C． D．2
6．（2020秋•石景山区期末）若抛物线上的点到焦点的距离为10，则点到轴的距离是　　
A．6 B．7 C．8 D．9
7．（2020秋•海淀区期末）抛物线的准线方程是　　
A． B． C． D．
8．（2020秋•通州区期末）抛物线的准线方程是　　
A． B． C． D．
9．（2020秋•通州区期末）如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面，水面宽．若水面下降，则水面宽是　　（结果精确到（参考数值：，，

A． B． C． D．
10．（2020秋•西城区期末）已知半径为2的圆经过点，其圆心到直线的距离的最小值为　　
A．0 B．1 C．2 D．3
11．（2020秋•西城区期末）已知双曲线的焦距等于实轴长的2倍，则其渐近线的方程为　　
A． B． C． D．
12．（2020秋•朝阳区期末）设抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，是上一点．若，则　　
A． B．5 C． D．
13．（2020秋•石景山区期末）直线与圆的位置关系是　　
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
14．（2020秋•东城区期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于，两点，且，则点到轴的距离为　　
A．5 B．4 C．3 D．2
15．（2020秋•海淀区期末）已知直线，点和点，若，则实数的值为　　
A．1 B． C．2 D．
16．（2020秋•昌平区期末）已知直线与圆相交于，两点，且，那么实数的取值范围是　　
A． B． C．或 D．
17．（2020秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系中，已知直线与曲线从左至右依次交于，，三点．若直线上存在点满足，则实数的取值范围是　　
A． B．
C．，， D．
18．（2020秋•海淀区期末）如图所示，在圆锥内放入两个球，，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为，这两个球都与平面相切，切点分别为，，丹德林利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为双球．若圆锥的母线与它的轴的夹角为，，的半径分别为1，4，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则从点沿圆锥表面到达点的路线长与线段的长之和的最小值是　　)

A．6 B．8 C． D．
二．填空题（共10小题）
19．（2020秋•东城区期末）已知双曲线，为等边三角形．若点在轴上，点，在双曲线上，且双曲线的实轴为的中位线，则双曲线的离心率为　　．
20．（2020秋•海淀区校级期末）已知是双曲线的右焦点，是双曲线上的点，．
①若点在双曲线右支上，则的最小值为 　　；
②若点在双曲线左支上，则的最小值为 　　．
21．（2020秋•通州区期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，若以线段为直径的圆与直线在第一象限交于点，则直线的方程是　　．
22．（2020秋•顺义区期末）设抛物线的焦点为，则　　；若点在抛物线上，且，则点的坐标为　　．
23．（2020秋•房山区期末）在平面直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于，两点．若直线的倾斜角为，则的面积为　　．
24．（2020秋•石景山区期末）已知双曲线的两个焦点为，，一个顶点是，则的标准方程为　　；的焦点到其渐近线的距离是　　．
25．（2020秋•海淀区期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，则双曲线的渐近线方程为　　；　　．
26．（2020秋•昌平区期末）已知双曲线的离心率是，则双曲线的右焦点坐标为　　．
27．（2020秋•顺义区期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆相交于点，．给出下列三个命题：
①存在唯一一个，使得△为等腰直角三角形；
②存在唯一一个，使得为等腰直角三角形；
③存在，使的周长最大．
其中，所有真命题的序号为　　．
28．（2020秋•丰台区期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，那么该双曲线的离心率为　　．
三．解答题（共9小题）
29．（2020秋•海淀区校级期末）已知椭圆的离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知为坐标原点，，为椭圆上两点，若，且，求的面积．
30．（2020秋•通州区期末）已知椭圆的左、右顶点分别为点，，且，椭圆离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点，且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，直线，的交于点，求证：点在直线上．
31．（2020秋•顺义区期末）已知椭圆经过点和．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于，两点，且坐标原点到直线的距离为．求证：以为直径的圆经过点．
32．（2020秋•丰台区期末）已知椭圆过，两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线与轴交于点，过点作不垂直于坐标轴且与不重合的直线，与椭圆交于，两点，直线，分别交直线于，两点，求证：为定值．
33．（2020秋•石景山区期末）已知椭圆的离心率，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点和点，过点的动直线交椭圆于，两点在左侧），试讨论与的大小关系，并说明理由．
34．（2020秋•东城区期末）已知椭圆过点，，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆有且仅有一个公共点，且与轴交于点，不重合），轴，垂足为．求证：．
35．（2020秋•海淀区期末）已知椭圆的离心率为，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程及其长轴长；
（Ⅱ），分别为椭圆的左、右顶点，点在椭圆上，且位于轴下方，直线交轴于点．若的面积比的面积大，求点的坐标．
36．（2020秋•房山区期末）已知椭圆的离心率为，且过点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，线段的中点为，直线与椭圆交于，，证明：．
37．（2020秋•昌平区期末）已知椭圆的长轴长为4，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，判断是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．

2021北京高三数学上学期期末汇编：平面解析几何
参考答案
一．选择题（共18小题）
1．【分析】由顶点坐标可知双曲线的焦点在轴上，再根据双曲线的几何性质，列得关于、、的方程组，解之即可．
【解答】解：由题意知，双曲线的焦点在轴上，且，
解得，，，
所以双曲线的标准方程为．
故选：．
【点评】本题考查双曲线标准方程的求法，熟练掌握、、的含义与关系是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题．
2．【分析】过点作于点，易知为的中点，从而有，由点到直线的距离公式可知，再由，代入相关数据，进行运算即可．
【解答】解：过点作于点，

，
点为的中点，
，
而点到渐近线的距离为，
，即，
，即，
或（舍，
离心率．
故选：．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，主要包含渐近线、离心率，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
3．【分析】由方程组无解得到直线与直线平行，再由直线与直线平行的性质能求出．
【解答】解：关于，的方程组无解，
直线与直线平行，
，
解得．
故选：．
【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．【分析】由抛物线的方程即可求出的值，再由抛物线的定义即可求解．
【解答】解：由抛物线的方程可得：，
又由抛物线的定义可知点到的距离等于点到抛物线的准线的距离，
则点到轴的距离为，
故选：．
【点评】本题考查了抛物线的方程以及定义，属于基础题．
5．【分析】根据题意，求出圆的圆心坐标，设圆心为，切点为，求出的斜率，由切线的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆，其圆心为，设圆心为，切点为
则，
则切线的斜率，
故选：．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及切线的性质，属于基础题．
6．【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可．
【解答】解：抛物线的准线方程为：，抛物线上的点到焦点的距离为10，
可得，则到轴的距离是：9．
故选：．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．
7．【分析】抛物线的焦点在轴上，且开口向右，，由此可得抛物线的准线方程．
【解答】解：抛物线的焦点在轴上，且开口向右，，
，
抛物线的准线方程为．
故选：．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，定型与定位是关键．
8．分析】直接利用抛物线方程，求解准线方程即可．
【解答】解：抛物线的准线方程是，
故选：．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，准线方程的求法，是基础题．
9．【分析】建立平面直角坐标系，设等轴双曲线的方程为，写出点的坐标，并将其代入方程，求得的值，再令，解出的值即可．
【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，

设等轴双曲线的方程为，
拱顶离水面，水面宽，
点为，
将其代入得，，
解得，
，
设水面下降后，水面宽为，此时点和的纵坐标均为，
把代入，有，解得
．
故选：．
【点评】本题考查等轴双曲线的概念，双曲线方程的应用，考查学生将所学知识运用于实际的能力，属于基础题．
10．【分析】求出到直线的距离，结合圆的半径，判断求解即可．
【解答】解：点到直线的距离为：，
因为半径为2的圆经过点，
所以圆心到直线的距离的最小值为：．
故选：．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离的应用，是基础题．
11．【分析】利用双曲线方程列出方程，推出，的关系，即可得到渐近线方程．
【解答】解：双曲线的焦距等于实轴长的2倍，
可得，所以，
其渐近线的方程为：．
故选：．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．
12．【分析】根据条件求出的纵坐标，进而求解结论．
【解答】解：
是上一点．且，
代入得，
，
故选：．
【点评】本题考查抛物线的性质以及计算能力，属于基础题．
13．【分析】由直线过定点圆的圆心，可知直线与圆相交．
【解答】解：直线过点，
而是圆的圆心，
直线与圆的位置关系是相交．
故选：．
【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．
14．【分析】根据题意得到的值，过点作垂直于准线于点，过点作垂直于于点，延长交于点，再利用三角形相似得到和的关系，从而得到，，的关系，求出，即可得到答案．
【解答】解：焦点到准线的距离为，
过点作垂直于准线于点，过点作垂直于于点，延长交于点，
则，
所以，
记，则，
因为，
所以，，
因为，为的中点，
所以，
即点到轴的距离为．
故选：．

【点评】本题考查了抛物线性质的应用，涉及了抛物线定义的理解和应用，在涉及抛物线上的点到焦点距离的问题时，一般会转化为到准线的距离开解决．
15．【分析】由题意利用斜率公式，两直线平行的性质，求得 的值．
【解答】解：直线，点和点，
直线的斜率为，
若，则，求得，
故选：．
【点评】本题主要考查斜率公式，两直线平行的性质，属于基础题．
16．【分析】当弦长时，利用弦长公式求得弦心距，故当，则，由此求得的范围．
【解答】解：当弦长时，弦心距
若，则，
即圆心到直线的距离，
求得，，
故选：．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．
17．【分析】根据奇函数对称性得出，关于原点对称，于是，从而直线与单位圆有交点，根据点到直线的距离公式列出不等式求出的范围．
【解答】解：和都是奇函数，
为原点，且，两点关于原点对称．
原点为线段的中点，
，
直线上存在点满足，
，
．
即为单位圆上的点．
直线与单位圆有交点，
，解得或．
故选：．

【点评】本题考查了函数图象与方程的关系，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
18．【分析】在椭圆上任取一点，连接交于，交于点，连接，，，，，利用△△全等，得到，当点沿圆锥表面到达点的路线长与线段的长之和最小时，即当为直线与椭圆的交点时，求解即可得到答案．
【解答】解：如图所示，在椭圆上任取一点，连接交于，交于点，
连接，，，，，
在△与△中，，其中为球半径，
，为公共边，
所以△△，所以，
设沿圆锥表面到达的路径长为，
则，
当且仅当为直线与椭圆的交点时取等号，
，
故从点沿圆锥表面到达点的路线长与线段的长之和的最小值是6．
故选：．

【点评】本题以双球作为几何背景考查了椭圆知识的综合应用，涉及了两条线段距离之和最小的求解，解题的关键是确定当为直线与椭圆的交点时取得最值．
二．填空题（共10小题）
19．【分析】易知，等边的边长为，不妨取点为，将其代入双曲线的方程可得，再由，得解．
【解答】解：双曲线的实轴为的中位线，
等边的边长为，
假设点在第一象限，则点的坐标为，
将其代入双曲线的方程有，，
，
离心率．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，包含、、的含义与关系，离心率，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．
20．【分析】由题意知，，①当，，按此顺序三点共线时，取得最小值；②设双曲线的左焦点为，由双曲线的定义可知，，当，，按此顺序三点共线时，取得最小值．
【解答】解：由题意知，，
①，当且仅当，，按此顺序三点共线时，等号成立，
所以的最小值为9；

②设双曲线的左焦点为，
由双曲线的定义知，，
所以，当且仅当，，按此顺序三点共线时，等号成立，
所以的最小值为11．
故答案为：9；11．
【点评】本题考查双曲线的定义与几何性质，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
21．【分析】求出的中点即为圆心，求出即为圆的半径，得到圆的方程与直线联立，求出点的坐标，即可得到直线的方程．
【解答】解：因为为坐标原点，点的坐标为，
所以的中点坐标为，且，
所以以线段为直径的圆的圆心为，半径，
所以圆的方程为，
联立方程，解得或，
因为点在第一象限，
所以，又，
所以直线的方程为，即．
故答案为：．
【点评】本题考查了直线方程的求解，涉及了圆的标准方程的求解、直线与圆交点的求解，属于中档题．
22．【分析】利用抛物线的焦点坐标，求解即可；利用抛物线的定义，转化求解的坐标．
【解答】解：抛物线的焦点为，
可得，解得；
点在抛物线上，且，设点的横坐标为，则，，
把代入抛物线方程，可得的纵坐标为：．
所以．
故答案为：4；．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，是基础题．
23．【分析】由抛物线的方程可得焦点的坐标及准线方程，由题意设直线的方程与抛物线联立求出两根之和，由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离可得弦长的值，求出原点到直线的距离，代入面积公式可得面积的值．
【解答】解：抛物线的焦点，准线方程为
由题意设直线的斜率，设，，，，
联立，整理可得：，
可得，
所以弦长，
原点到直线的距离，
所以，
故答案为：．
【点评】本题考查求抛物线的性质及点到直线的距离公式和三角形的面积公式，属于中档题．
24．【分析】设双曲线方程为，则，，由此能求出的方程，再求焦点到其渐近线的距离即可．
【解答】解：双曲线的两个焦点为，，一个顶点是，，
设双曲线方程为，且，，
，
的方程为：．
故其渐近线为，即，
的焦点到其渐近线的距离为：，
故答案为：，．
【点评】本题考查双曲线的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．
25．【分析】利用双曲线方程直接求解渐近线方程；求出焦点坐标，然后利用双曲线的定义求解即可得到．
【解答】解：双曲线的渐近线方程为：，
双曲线的焦点坐标，，
在双曲线上，
所以，
故答案为：；．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线方程的求法，定义的应用，是基础题．
26．【分析】利用离心率求出，然后求解双曲线的焦点坐标．
【解答】解：双曲线的离心率是，
可得，解得，则，
所以双曲线的右焦点坐标为．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，焦点坐标的求法，是基础题．
27．【分析】当时，最大，求出△为等腰直角三角形即可判断①；求出为等腰直角三角形时，的值，即可判断②；利用椭圆定义可得的周长最大值，结合的取值范围即可判断③．
【解答】解：由方程知，，，
当时，最大，此时，所以的最大值为，
又，所以△为等腰直角三角形，
即存在唯一一个，使得△为等腰直角三角形，故①正确；
当时，，由椭圆的对称性可得，，
所以，此时为等腰直角三角形，
当时，若为等腰直角三角形，则，
此时点的坐标为，代椭圆方程，解得，
故当或时，为等腰直角三角形，故②错误；
由椭圆的定义得，的周长
，
因为，所以，当过点时取等号，
所以，即直线过椭圆的右焦点时，的周长最大，
此时直线的方程为，满足，
所以存在，使的周长最大，故③正确．

故答案为：①③．

【点评】本题主要考查椭圆的性质，考查数形结合的解题思想，考查分析问题与求解问题的能力，是中档题．
28．【分析】由题意可得，即，结合，可得，开方可得的值．
【解答】解：由题意可得双曲线的渐近线方程为，
故可得，即，又，
故，，解得
故答案为：
【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解，属中档题．
三．解答题（共9小题）
29．【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率为，且经过点，列方程组，解得，，，进而可得答案．
（Ⅱ）设直线的方程为，，，，，联立直线与椭圆的方程，得，由△，得，结合韦达定理可得，，由，推出，进而设直线的方程为，联立直线的方程得，，代入椭圆的方程可得，再计算，，进而可得，解得，进而可得的面积，即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，解得，，，
椭圆方程为．
（Ⅱ）设直线的方程为，，，，，
联立与，得，
，
△，即，
则，，
因为，所以，
设直线的方程为，
联立直线的方程得，，
代入，
所以，化简得，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
得，解得，
此时，满足△，
由，
所以的面积．
【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
30．【分析】（Ⅰ）根据题意列方程组，得，，进而可得椭圆的方程．
（Ⅱ）分两种情况①若直线的斜率不存在时，②若直线的斜率存在时，直线，的交于点，是否早定直线上．
【解答】解：（Ⅰ）因为，椭圆离心率为，
所以解得，．
所以椭圆的方程是．
（Ⅱ）①若直线的斜率不存在时，如图，
因为椭圆的右焦点为，所以直线的方程是．
所以点的坐标是，点的坐标是．
所以直线的方程是，
直线的方程是．
所以直线，的交点的坐标是．
所以点在直线上．
②若直线的斜率存在时，如图．设斜率为．
所以直线的方程为．
联立方程组
消去，整理得，
显然△．不妨设，，，，
所以，．
所以直线的方程是．令，得．
直线的方程是．令，得．
所以

．
所以点在直线上．

【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
31．【分析】（Ⅰ）根据题意可得所以，，解得，进而可得椭圆的方程．
（Ⅱ）联立直线与椭圆的方程可得关于的一元二次方程，设，，，，由韦达定理得，，由点到直线的距离公式可得原点到直线的距离，解得，计算为0，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆经过点，所以，
又因为椭圆经过点，所以，解得，
所以椭圆的方程为，
（Ⅱ）证明：由，可得，
由题意，△，即，
设，，，，
所以，，
因为原点到直线的距离为，所以，
即，
因为

，
所以．
因此以为直径的圆过原点．
【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，定点问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
32．【分析】（Ⅰ）把点，的坐标代入椭圆方程，求出，的值，即可得到椭圆的方程；
（Ⅱ）先求出的值，设直线的方程为，，与椭圆方程联立，设，，，，利用韦达定理得到，再求出点，的纵坐标，得到的表达式，把上式代入化简，即可得到为定值1．
【解答】解：（Ⅰ）由椭圆过，两点，得，，
所以．
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ），，
直线的方程为：，
令得：，
设直线的方程为，，
由得，
且△，
设，，，，则，
记直线的方程为，
令，得点的纵坐标，
记直线的方程为，
令，得点的纵坐标，

所以为定值1．
【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的定义，考查了学生的计算能力，是中档题．
33．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出，结合离心率求解，即可得到椭圆方程．
（Ⅱ）依题意设直线的方程为，设，，，．联立消去，得，求出，的坐标，然后求解．的表达式，推出结果即可．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，，
又，解得，．
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）依题意设直线的方程为，设，，，．
联立消去，得，
则△，解得．
则，．
若，则，与式矛盾，所以．
同理．
所以直线和的斜率存在，分别设为和．
因为

，
所以．
所以．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
34．【分析】（Ⅰ）由题意及，，之间的关系求出，的值，进而求出椭圆的方程；
（Ⅱ）由题意开始直线的方程，与椭圆联立，由判别式为0求出参数之间的关系，设，的坐标，由题意可得，用直线的参数表示的坐标，进而求出与的表示，可证得．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，解得：，，
所以椭圆的方程为：；
（Ⅱ）由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，
，整理可得：，
由题意可得△，即，解得：
设，，，则，，
因为轴，所以，，
，
又因为，
所以可证：．
【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆相切的性质，及证明的方法，属于中档题．
35．【分析】（Ⅰ）由已知点，椭圆的离心率以及，，的关系式即可求解；
（Ⅱ）根据已知条件推出与平行，设出点的坐标，利用平行关系以及点在椭圆上联立方程即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：，
解得，，，
故椭圆的方程为：，且长轴长为；
（Ⅱ）因为点在轴下方，所以点在线段（不包括端点）上，
由（Ⅰ）可知，，
所以的面积为，
因为的面积比的面积大，
所以点在线段（不包括端点）上，且的面积等于的面积，
所以的面积等于的面积，
所以，
设，，
则，
因为点在椭圆上，所以，
解得，，
所以点的坐标为．
【点评】本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到三角形面积问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．
36．【分析】利用离心率为，且过点，列出方程组求解，，得到椭圆方程．
设直线的方程为：，由消去得：，通过△，推出的范围，设，，，，利用韦达定理，求直线的方程，与椭圆联立，求解、，利用弦长公式，计算证明即可．
【解答】解：根据题意：（4分）
所以椭圆的方程为．（5分）
证明：设直线的方程为：（6分）
由消去得：（7分）
即，
需△即（8分）
设，，，，中点，，
则，（9分）
（10分）
那么直线的方程为：即（11分）
由，
不妨令（12分）
那么

（13分）

（14分）
所以．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．
37．【分析】（Ⅰ）依题意长轴长为4，且离心率为．求出，，然后求解，得到椭圆方程．
直线，代入椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式求出，求出中点坐标，通过（1）当时，所以．（2）当时，线段的垂直平分线方程求出，得到，然后转化求解即可、
【解答】解：（Ⅰ）依题意，，离心率为，，则，（4分）
故椭圆的方程为．（5分）
是定值．（6分）
理由如下：
由已知得直线，（7分）
代入椭圆方程，消去得，（8分）
所以△，（9分）
设，，，则，，（10分）
所以
，
所以．（11分）
因为，
所以线段的中点为，（12分）
（1）当时，所以．（13分）
（2）当时，线段的垂直平分线方程为，
令，得，即，
所以，（14分）
所以，
综上所述，为定值4．（15分）
【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．
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