直接证明与间接证明-反证法(上课).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,-,反证法,直接证明与间接证明,1,复习,1.直接证明的两种基本证法：,综合法和分析法,2.这两种基本证法的推证过程和特点：,由因导果,执果索因,3、在实际解题时，两种方法如何运用？,通常用分析法,寻求思路,，再由综合法,书写过程,综合法,已知条件,结论,分析法,结论,已知条件,2,思考？,将9个球分别染成红色或白色.那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗?,分析:假设有某种染法使红色球和白色球的个数都不超过4,则球的总数应不超过4+4=8,这与球的总数是9矛盾.因此,无论怎样染,至少有5个球是同色的.,3,把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为,间接证明,注：反证法,是最常见的,间接证法,，,一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），,经过正确的推理，最后得出矛盾,。,因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，,这样的证明方法叫做,反证法,（归谬法）。,定义,反证法的思维方法：,正难则反,4,其过程包括：,反设,假设命题的结论不成立；,存真,由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。,归谬,从假设出发，经过一系列正确的推理，得出,矛盾,；,归缪矛盾,（1）与已知条件矛盾；,（2）与已有公理、定理、定义矛盾；,（3）自相矛盾。,5,说明：,常用的正面叙述词语及其否定：,正面,词语,等于,大于（）,小于(b0，那么,7,用,反证法证题,的一般步骤是什么？,（1）,假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立,。,（2）从这个,假设出发,，经过推理论证，得出,矛盾,；,（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确,。,假设结论反面成立,正确推理导出矛盾,否定假设肯定结论,8,练习：,1,“,自然数,a,，,b,，,c,中恰有一个偶数,”,的否定为(),A自然数,a,，,b,，,c,都是奇数,B自然数,a,，,b,，,c,都是偶数,C自然数,a,，,b,，,c,中至少有两个偶数,D自然数,a,，,b,，,c,都是奇数或至少有两个偶数,答案,D,解析,恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数，其二是至少有两个偶数,9,2命题,“,三角形中最多只有一个内角是直角,”,的结论的否定是 (),A有两个内角是直角,B有三个内角是直角,C至少有两个内角是直角,D没有一个内角是直角,答案,C,解析,“,最多,”,与,“,至少,”,互为否定，,“,一个,”,对应,“,两个,”,10,3,已知a0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。,11,应用反证法的情形：1)直接证明困难;,(2)需分成很多类进行讨论,（3)结论为,“至少”、“至多”、“有无穷多个”,-,类命题；,（4）结论为,“唯一”,类命题；,正难则反!,12,用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。,已知,：如图，在O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.,求证：,弦AB、CD不被P平分.,例 2,证明：,假设弦AB、CD被P平分,，,连结,AD、BD、BC、AC,D,P,O,B,A,C,因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ACBD是平行四边形,所以,因为 ABCD为圆内接四边形,所以,因此,所以，对角线AB、CD均为直径，,这与已知条件矛盾，即假设不成立,所以，弦AB、CD不被P平分。,13,用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。,已知,：如图，在O中，弦AB、CD交于点P，且AB、CD不是直径.,求证,：,弦AB、CD不被P平分.,P,O,B,A,D,C,例 2,由于P点一定不是圆心O，连结OP，根据垂径定理的推论，有,所以，弦AB、CD不被P平分。,证明：,假设弦AB、CD被P平分，,即过点P有两条直线与OP都垂直，,这与垂线性质矛盾，即假设不成立,证法二,OPAB，OPCD，,14,例3,求证：若两条平行直线,a,，,b,中的一条与平面,相交，则另一条也与平面,相交,证明不妨设直线,a,与平面,相交，,b,与,a,平行，从而要证,b,也与平面,相交假设,b,不与平面,相交，则必有下面两种情况：(1),b,在平面,内由,a,b,，,a,平面,，得,a,平面,，与题设矛盾,15,(2),b,平面,.,则平面,内有直线,b,，使,b,b,.,而,a,b,，故,a,b,，因为,a,平面,，所以,a,平面,，这也与题设矛盾,综上所述，,b,与平面,只能相交,点评直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反证法，注意该命题的否定形式不止一种，需一一驳倒，才能推出命题结论正确,16,1.求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60.,证明假设,ABC,的三个内角,A,、,B,、,C,都小于60，,即,A,60，,B,60，,C,60.,相加得,A,B,C,180.,这与三角形内角和定理矛盾，所以,A,、,B,、,C,都小于60的假定不能成立，从而，一个三角形中，至少有一个内角不小于60.,练习：,17,18,证明：,用反证法证明a。,假设直线a与平面不平行，,则点A不在直线b上，否则ab=A与ab矛盾。,过点A在平面内作直线cb，由ab得ac。,而Aa，且Ac，即ac=A，这与ac相,矛盾,。,于是假设错误，故原命题正确。,则由于a不在平面内，有a与相交，设a=A。,19,总结提炼,1,.用反证法证明命题的一般步骤是什么?,用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等,反设,归谬,结论,2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?,20,推理,合情推理 演绎推理,（归纳、类比）（三段论）,证明,直接证明 间接证明,（分析法、综合法）（反证法）,数学公理化思想,21,