1、上页,返回,下页,线性代数总复习,线性代数总复习,一、行列式,二、矩阵,三、向量之间关系,四、线性方程组解,五、特性值与特性向量,第1页,第1页,一、行列式,1、二阶三阶行列式计算,第2页,第2页,2、,n,阶行列式计算,性质1,行列式与它转置行列式相等.,性质2,互换行列式两行（列）,行列式变号.,性质3,行列式某一行（列）中所有元素都乘以同一数 ，等于用数 乘此行列式.,性质行列式中假如有两行（列）元素成百分比，则此行列式为零,(1),利用行列式性质计算,（化为三角形）,第3页,第3页,性质5若行列式某一列（行）元素都是两数之和.,性质把行列式某一列（行）各元素乘以同一数然后加到另一列(
2、行)相应元素上去，行列式不变,第4页,第4页,例 计算行列式,解,第5页,第5页,第6页,第6页,(2),利用行列式展开计算,定理 行列式等于它任一行（列）各元素与其相应代数余子式乘积之和，即,第7页,第7页,例,第8页,第8页,第9页,第9页,二、矩阵,1、矩阵逆求法,（1）公式法（伴随法）,第10页,第10页,（2）初等变换法,行初等变换,第11页,第11页,例1,求方阵 逆矩阵.,解,（公式法）,第12页,第12页,第13页,第13页,故,第14页,第14页,（初等变换法）,第15页,第15页,第16页,第16页,即,初等行变换,第17页,第17页,2、矩阵秩,矩阵秩求法,把矩阵用初等行
3、变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行行数就是矩阵秩.,第18页,第18页,例,解,第19页,第19页,第20页,第20页,第21页,第21页,三、向量之间关系,1、线性组合,向量 能,由向量组 线性表示,定义,第22页,第22页,存在矩阵 ，,使得,矩阵方程,有解,鉴定,线性表示,能由,第23页,第23页,线性表示,存在矩阵 ，,使得,矩阵方程,有解,第24页,第24页,例,设,证实向量 能由向量组 线性表示，并,求表示式。,解,只需证矩阵,与矩,阵,有相同秩。,下面把矩阵 化为行最简形：,法一,第25页,第25页,行初等变换,向量 可由向量组 线性表示。,第26页,第26页,由最简形
4、知，方程组,通解为,从而,其中 为任意常数。,第27页,第27页,法二,设,即,也即,第28页,第28页,其中 为任意常数。,解得其通解为,故向量 可由向量组 线性表示，且,其中 为任意常数。,第29页,第29页,定义,则称向量组 是线性相关，不然称它线性无关,2、线性相关性,第30页,第30页,定理,鉴定,第31页,第31页,第32页,第32页,例1,第33页,第33页,第34页,第34页,解,第35页,第35页,第36页,第36页,3、最大无关组及向量组秩,设有向量组,，,满足下面两个条件：,假如能在 中选出 个向量,（1）向量组 线性无关；,线性表示。,（2）向量组 中每一个向量都能由向
5、量组,则称向量组 为向量组,最大无关组,。,最大无关组所含向量个数 称为,向量组秩,。,第37页,第37页,向量组秩求法,向量组 秩,秩,矩阵,最大无关组求法,第38页,第38页,第39页,第39页,且 列向量组一个最大无关组为,第40页,第40页,因此,第41页,第41页,四、线性方程组解,定理,元线性方程组,1),有唯一解,2),无解,3),无穷多解,定理,元齐次线性方程组 有非零解,第42页,第42页,定理,设,矩阵 秩 ，,则齐次线性,解集 秩为,线性方程组,其中 为任意实数。,非齐次线性方程组通解,非齐次线性方程组,一个特解为,齐次线性方程组,基础解系为,则非齐次线性方程组,解解为,
6、第43页,第43页,例 求解非齐次方程组,解：,第44页,第44页,令,则,为任意常数）,法1：,第45页,第45页,法2：,令,得,又原方程组相应齐次方程组通解是,令,得基础解系,因此原方程组通解是,为任意常数）,第46页,第46页,五、特性值与特性向量,（1）如何求 特性值？,解特性方程,特性方程根即为矩阵 特性值。,（2）如何求属于特性值 特性向量？,解齐次线性方程组,其非零解即为属于特性值 特性向量,1、特性值与特性向量求法,第47页,第47页,例,设,求,A,特性值与特性向量,解,第48页,第48页,第49页,第49页,得基础解系为：,第50页,第50页,使得,则,若存在可逆矩阵 ，
7、1）为矩阵 特性值,（2）为相应于特性值 特性向量。,2、方阵对角化,第51页,第51页,A,能否对角化？若能对角,例,解,第52页,第52页,解之得基础解系,第53页,第53页,因此 可对角化,.,第54页,第54页,注意,即矩阵 列向量和对角矩阵中特性值位置,要互相相应,第55页,第55页,3、实对称矩阵对角化,第56页,第56页,利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵,将特性向量正交化;,3.,将特性向量单位化.,4.,2.,1.,详细环节,为：,第57页,第57页,例 设,求正交矩阵 ，,使得 为对角阵。,解,：,第58页,第58页,当 时，齐次线性方程组为,得基础解系,令,第59页,第59页,令,先正交化：,再单位化：令,第60页,第60页,当 时，齐次线性方程组为,令,得基础解系,单位化得,第61页,第61页,得正交矩阵,有,第62页,第62页,
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