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、三个矢量代表三个力，那么这三个力协力为,A.B.C.D.,矢量图解示例1,5/32,O,A,G,R,mg,L+l,R,F,N,F,T,由几何关系知,由力与几何相同得,解,:,如图所表示，一个重为,G,小环，套在竖直放置半径为,R光滑大圆环上有一劲度系数为,k,，自然长度为,L,(,L,2,R,)轻弹簧，其上端固定在大圆环最高点,A,，下端与小环相连，不考虑一切摩擦，则小环静止时弹簧与竖直方向夹角,为多大？,矢量图解示例2,6/32,m,mg,F,约,tan,-1,F,max,F,约,F,min,tan,-1,解,:,如图所表示，倾角为斜面与水平面保持静止,斜面上有一重为,G,物体,A,与斜面间动摩擦因数为,且tan,现给,A,施以一水平力,F,设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等,求水平推力,F,多大时物体能地斜面上静止？,矢量图解示例3,静摩擦力到达最大时,斜面约束力作用线方向与斜面法线成摩擦角!,7/32,F,1,F2,F,1,F,2,F,2,F,F,将力,F,分解为,F,1,和,F,2,两个分力，若已知,F,大小及,F,1,和,F,2,夹角,，且,为钝角，则当,F,1,、,F,2,大小相等时，它们大小为,;当,F,1,有最大值时，,F,2,大小为,.,专题2-问题1,解,:,8/32,F,1,如图所表示，放在水平面上质量为,m,物体，在水平恒力,F,1,作用下，刚好做匀速直线运动若再给物体加一个恒力，且使,F,1,F,2,（指大小），要使物体仍按原方向做匀速直线运动，力,F,2,应沿什么方向？此时地面对物体作用力大小怎样？,专题2-问题2,G,F,tan,-1,水平恒力与重力、地面约束力作用而平衡时,三力组成闭合三角形：,F,2,F,2,加,F,2,仍,组成闭合三角形：,解,:,9/32,如图所表示，一光滑三角支架，顶角为,=45，在,AB,和,AC,两光滑杆上分别套有铜环，两铜环间有细线相连，释放两环，当两环平衡时，细线与杆,AB,夹角60，试求两环质量比,M/m,小试身手题7,解,:,系统处于平衡时,两环所受绳拉力,沿绳且等值反向,支架施支持力,垂直各杆,以此为依据作每环三力平衡矢量图:,B,C,A,mg,Mg,F,T,F,T,对环,M,对环,M,/,2,/,2,10/32,如图所表示，用细绳拴住两个质量为,m,1,、,m,2,（,m,1,m,2,）质点，放在表面光滑圆柱面上，圆柱轴是水平，绳长为圆柱横截面周长1/4若绳质量及摩擦均不计，系统静止时，,m,1,处细绳与水平夹角是多少？,小试身手题8,解,:,系统处于平衡时,两质点所受绳拉力,沿绳切向且等值,圆柱施支持力,垂直柱面,以此为依据作每质点三力平衡矢量图:,O,m,1,m,2,m,1,g,m,2,g,对质点,1,对质点,2,F,T,F,T,11/32,解,:,如图所表示，两个质量相等而粗糙程度不一样物体,m,1,和,m,2,，分别固定在一细棒两端，放在一倾角为斜面上，设,m,1,和,m,2,与斜面摩擦因数为,1,和,2,，并满足tan=，细棒质量不计，与斜面不接触，试求两物体同时有最大静摩擦力时棒与斜面上最大倾斜线,AB,夹角,小试身手题11,系统处于平衡时,两物体所受轻杆力,等值反向,沿斜面上每物体受,下滑力、最大静摩擦力,及,杆作用力,，每物体三力平衡矢量关系如图:,A,B,m,1,m,2,分别以,a、b、c,表示各力：,c,b,a,c,在力矢量三角形中利用余弦定理,：,在力矢量三角形中利用余弦定理,：,代入题给数据,：,12/32,巧取研究对象,尽可能取整体,需“化内为外”时取部分,方程数不足时取部分,整、分结合，方便解题,13/32,取两环一线为研究对象,F,N,2,mg,F,f,F,取下环为研究对象,mg,F,F,T,F,T,一个直角支架,AOB,，,AO,水平放置，表面粗糙，,OB,竖直，表面光滑，,AO,上套有小环,P,，,OB,上套有小环,Q,，两环质量均为,m,，两环间由一不可伸长轻绳相连，并在某一位置平衡，如图所表示现将,P,向左移一小段距离，两环再次到达平衡，那么移动后平衡状态与原来相比，,AO,杆对,P,环支持力,F,N,、摩擦力,F,f,及细绳上拉力,F,T,改变情况是,A.,F,N,不变，,F,f,变大，,F,T,变大,B.,F,N,不变，,F,f,变小，,F,T,变小,C.,F,N,变大，,F,f,不变，,F,T,变大,D.,F,N,变大，,F,f,变小，,F,T,变大,P,Q,O,A,B,巧取研究对象示例1,14/32,3,1,2,取2、3两环为研究对象，3环重力设为,G,T,T,3,G,取2环为研究对象,T,2,G,由几何关系得,解,:,三根不可伸长相同细绳，一端系在半径为,r,0,环1上，彼此间距相等绳穿过半径为,r,0,第3个圆环，另一端用一样方式系在半径为2,r,0,圆环2上，如图所表示环1固定在水平面上，整个系统处于平衡试求第2个环中心与第3个环中心之距离（三个环用同种金属丝制作，摩擦不计）,巧取研究对象示例2,T,15/32,一个底面粗糙质量为,劈放在粗糙水平面上，劈斜面光滑且与水平面成30夹角，用一端固定轻绳系一质量为,m,小球，轻绳与斜面夹角为30,如图所表示当劈静止时，求绳中拉力大小；若地面对劈最大静摩擦力等于地面对劈支持力,k,倍为使整个系统静止，求,k,最小值,30,专题2-问题3,解,:,取小球为研究对象求绳中拉力:,30,取整体为研究对象求地面,k,值,(,M,+,m,),g,=tan,-1,k,tan,-1,k,16/32,如图所表示，一长,L,、质量均匀为,M,链条套在一表面光滑，顶角为圆锥上，当链条在圆锥面上静止时，链条中张力是多少？,专题2-问题4,解,:,链条受力含有旋转对称性链条各部分间张力属于内力,需将内力转化为外力，我们能够在链条中隔离出任一微元作为研究对象，链条其它部分对微元拉力就成为外力，对微元依据平衡规律求解:,F,T,F,T,F,i,链条微元处于平衡,mg,F,Ni,F,i,17/32,压延机由两轮组成，两轮直径各为,d,50 cm，轮间间隙为,a,0.5 cm，两轮按反方向转动，如图2-15上箭头所表示已知烧红铁板与铸铁轮之间摩擦系数,0.1问能压延铁板厚度,b,是多少？,a,b,分析铁板受力如图：,小试身手题2,解,:,F,N,F,f,铁板能前进，应满足,分析几何关系求角,：,解得,b,0.75 cm,18/32,物体处于平衡时,其各部分所受力作用线延长后必汇交于一点,其协力为零.,19/32,m,1,m,2,O,(,m,1,+,m,2,),g,取两球一杆为研究对象，分析受力,研究对象处于静止，所受三力矢量组成闭合三角形!,N,1,N,2,由力矢量三角形即得,巧解汇交力系示例1,如图所表示，一个半球形碗放在桌面上，碗口水平，,O,是球心，碗内表面光滑一根轻质杆两端固定有两个小球，质量分别是,m,1,、,m,2,，当它们静止时，,m,1,、,m,2,与球心连线跟水平面分别成6030角，则碗对两小球弹力大小之比是,A.12 B.1 C.1 D.,2,20/32,C,A,B,D,F,AB,BC,球系统为一“三力杆”！,由三力平衡关系图得,由几何关系图得,F,AB,细线,BC,与竖直成60角,巧解汇交力系示例2,如图所表示，,BC,两个小球均重,G,用细线悬挂而静止于,A,、,G,两点，细线,BC,伸直.求:,AB,和,CD,两根细线拉力各多大？细线,BC,与竖直方向夹角是多大？,21/32,如图所表示，光滑半球壳直径为,a,，与一光滑竖直墙面相切，一根均匀直棒,AB,与水平成60角靠墙静止，求棒长,专题2-问题5,解,:,棒,AB,受三力,:,A,B,O,G,F,A,F,B,棒,AB,处于静止,三力作用线汇交于一点!,在三角形,BCD,中由正弦定理,:,C,又,22/32,如图所表示，在墙角处有一根质量为,m,均匀绳，一端悬于天花板上,A,点，另一端悬于竖直墙壁上,B,点，平衡后最低点为,C,，测得绳长,AC=,2,CB,，且在,B,点附近切线与竖直成角，则绳在最低点,C,处张力和在,A,处张力各多大？,专题2-问题6,A,C,解,:,取,BC,段,绳为研究对象:,mg/,3,最低点,C,处张力,F,TC,为,F,T,C,F,B,取,AC,段绳为研究对象:,F,T,C,F,A,2,mg/,3,2mg/,3,23/32,如图所表示，有一轻杆,AO,竖直放在粗糙水平地面上，,A,端用细绳系住，细绳另一端固定于地面上,B,点，已知,=30，若在,AO,杆中点施一大小为,F,水平力，使杆处于静止状态，这时地面,O,端作用力大小为_，方向_。,F,A,B,O,60,F,与杆成30,小试身手题1,解,:,分析杆,AO,受力:,研究对象处于静止，所受三力矢量组成闭合三角形!,24/32,一均匀光滑棒，长,l,，重,，静止在半径为,半球形光滑碗内，如图所表示l/,22,R,假如,为平衡时角度，,P,为碗边作用于棒上力求证：,P,（,l,4,R,）,G,；,（cos2,cos,）,l,4,R,分析棒受力如图：,小试身手题3,解,:,G,P,棒,处于平衡,三力作用线汇交于一点!,F,B,由几何关系：,三力组成闭合三角形!,A,B,Q,P,O,由正弦定理:,在力三角形中,25/32,一吊桥由六对钢杆悬吊着，六对钢杆在桥面上分列两排，其上端挂在两根钢绳上，如图所表示为其一侧截面图已知图中相邻两钢杆间距离均为9m，靠桥面中心钢杆长度为5m（即,CC,=,DD,=5m），,AA,=,FF,，,BB,=,EE,，又已知两端钢绳与水平成45角，若不计钢杆与钢绳自重，为使每根钢杆承受负荷相同，则,AA,=_ m，,BB,=,m,小试身手题4,A,B,C,D,E,F,45,45,A,B,C,D,E,F,A,B,C,D,E,F,45,45,A,B,C,D,E,F,A,B,C,45,A,B,C,解,:,F,CD,F,A,3,F,F,CD,F,A,3,F,2,F,F,B,2,F,F,CB,F,CB,F,F,F,B,综合利用三技巧,14,8,26/32,如图所表示，一根重量为,G,绳子，两端固定在高度相同两个钉子上，在其最低点再挂上一重物设,、,分别是绳子在最低点和悬点处切线与竖直方向夹角，试求所挂物体重量,小试身手题5,解,:,G,/2,F,T,G,0,绳最低点受重物拉力：,半边绳受力：,F,T,F,T,三力组成闭合三角形!,对力三角形利用正弦定理：,27/32,如图所表示，半圆柱体重,G,，重心,C,到圆心,O,距离为4,R/,3,，其中,R,为圆柱体半径如半圆柱体与水平面间摩擦因数为,，求半圆柱体被拉动时所偏过角度,小试身手题6,解,:,F,C,G,P,由半圆柱处于平衡,三力作用线汇交于一点,来确定地面约束力!,半圆柱所受三力矢量组成闭合三角形,F,约,摩擦角,由三角形与几何三角形相同,得,28/32,如图所表示，,一个半径为,R,光滑圆柱面放置在水平面上柱面上置一线密度为光滑均匀铁链，其一端固定在柱面顶端,A,，另一端,B,恰与水平面相切试求铁链,A,端所受拉力以及均匀铁链重心位置,小试身手题9,A,B,解,:,求,A,处拉力介绍两种方法,方法一微元法,将铁链均匀细分,n,等分,n,研究第,i,元段:,1,2,3,i,n,微元处于静止,有,即,i=,1,i=,2,i=n,则,续解,29/32,利用数列和公式,利用极限,读题,续解,30/32,方法二元功法,A,B,O,确定链子重心,可用三力杆平衡法!,读题,C,由图示三力汇交平衡关系得,在图示三角形中由正弦定理,31/32,F,如图所表示，对均匀细杆一端施力,F,，力方向垂直于杆要将杆从地板上慢慢地无滑动地抬起，试求杆与地面间最小摩擦因数,小试身手题10,解,:,杆处于一系列可能动态平衡,当杆抬起,重力、地面约束力及,F,力三力汇交，,以此为依据作杆三力平衡矢量图:,F,约,由图示几何关系,整理得,利用基本不等式性质：,32/32,