1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,绪论及数学准备,第零章,第1页,第零章第一节,矢量代数与张量初步,第2页,1,矢量代数与张量初步,直角坐标系中,矢量定义,矢量基本运算,第3页,矢量代数中两个主要公式,混合积,矢量微分,双重矢量积,注意次序不能颠倒,第4页,并矢与张量,（,普通,）,为单位并矢，张量基（9个分量）,矢,量与张量矩阵表示,第5页,张量运算,第6页,两并矢一次点乘,两并矢二次点乘,单位张量与矢量、张量点乘,第7页,补充练习题,（,0,，,，,1,，,1,）,计算,与矢量 垂直,即,证实,计算以下各式,证实以下各式,第8页,第零章
2、第二节,矢量场论复习,第9页,一、,场概念,2,矢量场论复习,描述一定空间中连续分布物质对象物理量。或说：若在一定空间中每一点，都对应着某个物理量确实定值，就说在这空间中确定了该物理场。,如：强度场、速度场、引力场、电磁场。,场用一个空间和时间,坐标函数来描述,：,稳,恒场（稳定场、静场）：场与时间无关,改变场（时变场）：场函数与时间有关,第10页,已,知场函数能够了解场各种性质：随时空改变关系（梯、散、旋度）。,已,知场函数梯度、散度、旋度能够确定场函数，,这是电动力学求解电磁场主要方法。,二、标量场梯度,在空间任意靠近两点函数 全微分,在空间某点任意方向上，导数有没有穷多个，其中有一个值最
3、大，这个方向导数最大值定义为梯度：,第11页,梯度意义：,空间某点标量场函数最大改变率,，刻画了标量场空间分布特征,等值面,：,常数曲面称为等值面。,梯度与等值面关系：,梯度与等值面垂直。,已知梯度即可求出沿任一方向方向导数。,三、矢量微分算子,既含有矢量性质，又含有微分性质,注意：,它能够作用在矢量上，能够作点乘、叉乘。,第12页,解：,=,？,例,1,：,第13页,解：,例,2,：,=,？,第14页,四、高斯定理与矢量场散度,矢,量族,在矢量场中对于给定一点，有一个方向，它沿某一曲线切线方向，这条曲线形成一条矢量线，又叫场线（对静电场称为电力线），无穷多条这么曲线组成一个矢量族。,矢,量场
4、通量,面元 通量：,有限面积 通量,意义：用来描述空间某一范围内场发散或会聚，它只具,有局域性质，不能反应空间一点情况。,有源,无源,负源,闭合曲面通量,第15页,高,斯公式,矢,量场散度,缩小到一点,若空间各点处处,则称 为无源场。,该点有源,该点无源,该点为负源,第16页,例子：,求,求,第17页,证实,证：,第18页,五、斯托克斯公式与矢量场旋度,矢量场环量（环流）,表明在区域内无涡旋状态，场线不闭合,表明在区域内存在涡旋状态，场线闭合,斯,托克斯公式（定理）,矢量 沿任一闭合曲线 积分称为环量,第19页,定义 为矢量场旋度，它在 法线方向上分量为单位面积上环量。刻画矢量场场线在空间某点
5、上环流特征。若空间各点 ，则称 为无旋场。,矢量场旋度,当L无限小：,第20页,例子：,证实,同理,证,=0,第21页,证实,证：,第22页,六、相关场四个定理,关,于散度旋度两个定理,正定理：标量场梯度必为无旋场，,即,逆定理：无旋场必能够表示为某一标量场梯度。,即若,，则,，,称为无旋场,标量,势函数。,2.,正定理,:,矢量场旋度必为无散场，即,逆定理,:,无源场必可表示为某个矢量场旋度。,即若,，则,，,称为无源场,矢量势函数。,第23页,亥姆霍兹定理,任意矢量场 均可分,解为无旋场 和无源场 之和。,即,可分解为,。,又称为,横场部分，可引入标势,，,又称为,纵场部分，可引入矢势,，
6、第24页,唯一性定理,定理,：,在空间某一区域内给定场散度和旋度以及,矢量场在区域边界上法线分量，,则该矢量场在区域内是唯一确定。,V,第25页,17951799年在哥廷根大学学习，1799年获博士学位。1870年任哥廷根大学数学教授和哥廷根天文台台长，一直到逝世。1855年2月23日在哥廷根逝世。他一生中共发表323篇（种）著作，提出404项科学创见（发表178项），在各领域主要成就有：（1）关于,静电学温差电和摩擦电研究,、,利用绝对单位（长度质量和时间）法则量度非力学量以及地磁分布理论研究；（2）利用几何学知识研究,光学系统近轴光线行为和成像,，,建立高斯定理光学；（3）天文学和大地测
7、量学中，如小行星轨道计算，地球大小和形状理论研究等；（4）结合试验数据测算，,发展了概率统计理论和误差理论，创造了最小二乘法，引入高斯定理误差曲线,。,另外，在纯数学方面，对数论、代数、几何学若干基本定理作出严格证实。,德国数学家和物理学家。1777年4月30日生于德国布伦瑞克，幼时家境贫困，聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。,高斯,第26页,第零章第三节,三度在坐标系中表示及一些主要公式,第27页,3,三度在坐标系中表示及一些主要公式,一、矢量微分算子（哈密顿算子）,二、柱坐标、球坐标与直角坐标关系,柱坐标与直角坐标关系,球坐标与直角坐标关系,第28页,三、“三度”在坐标系中详细表示形式,四、关于“三度”一些惯用公式,复,合函数 三度公式,积分变换公式,高斯公式,斯托克斯公式,利用混合积公式,第29页,格林公式,第一公式,第二公式,积分变换普通规则,第30页,普通变换规则证实,证：任取常矢量 点乘上式两端,左,1,。,=,2,。,证：任取常矢量点乘上式两端,左,第31页,矢,量微分算符惯用公式,1,。,3,。,4,。,5,。,6,。,7,。,8,。,9,。,10,。,2,。,第32页,4,函数与点电荷密度,一维,三维,第33页,电动力学中一个主要函数形式,证：,=0,/,点电荷密度分布,第34页,
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