设有两块曲面S1S2它们方程依次为省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,设有两块曲面,S,1,S,2,它们方程依次为:,S,1,:,F,(,x,y,z,)=0,S,2,:,G,(,x,y,z,)=0,S,1,S,2,交线,C,上点一定同时满足这两个方程,而不在交线上点绝不会同时满足这两个方程.所以,即为交线,C,方程,称为,空间曲线,C,普通方程,.,(2),x,y,z,o,S,1,S,2,C,二、空间曲线及其方程,1.,空间曲线普通方程,第1页,x,2,+,y,2,=1,x,+,y,+,z,=2y,x,z,0,例5:,柱面,x,2,+,y,2,=1,与平面,x,+,y,+,z,=2,交线是一个圆,它普通方程是,第2页,2.空间曲线参数方程,将曲线,C,上动点坐标,x,y,z,都表示成一个参数,t,函数.,x,=,x,(,t,),y,=,y,(,t,),(3),z,=,z,(,t,),当给定,t,=,t,1,时,就得到,C,上一个点(,x,y,z,),伴随,t,变动便可得曲线,C,上全部点.方程组(2)叫做,空间曲线参数方程,.,第3页,例6:,假如空间一点,M,在圆柱面,x,2,+,y,2,=,a,2,上以角速度,绕,z,轴旋转,同时又以线速度,v,沿平行于,z,轴正方向上升(其中,v,都是常数),那末点,M,组成图形叫做,螺旋线,试建立其参数方程.,解:,取时间,t,为参数,设当,t,=0,时,动点位于,x,轴上一点,A,(,a,0,0),处,经过时间,t,由,A,运动到,M,(,x,y,z,),M,在,xOy,面上投影为,M,(,x,y,0).,x,y,z,h,A,O,M,t,M,第4页,(1)动点在圆柱面上以角速度,绕,z,轴旋转,所以经过时间,t,AOM,=,t,.,从而,x,=|,OM,|cos,AOM,=,a,cos,t,y,=|,OM,|sin,AOM,=,a,sin,t,(2)动点同时以线速度,v,沿,z,轴向上升.因而,z=MM,=,vt,得螺旋线参数方程,x,=,a,cos,t,y,=,a,sin,t,z=vt,注:,还能够用其它变量作参数.,x,y,z,A,O,M,t,M,第5页,y,x,z,A,O,M,t,M,比如:,令,=t,.,为参数;螺旋线参数方程为:,x,=,a,cos,y,=,a,sin,z=b,当,从,0,变到,0,+,是,z,由,b,0,变到,b,0,+,b,即,M,点上升高度与,OM,转过角度成正比.,尤其,当,=2,时,M,点上升高度,h,=2,b,h,在工程上称,h,=2,b,为,螺距,.,第6页,3.空间曲线在坐标面上投影,设空间曲线,C,普通方程,F,(,x,y,z,)=0,G,(,x,y,z,)=0,(4)由方程组(4)消去,z,后得方程,H,(,x,y,)=0,(5),方程(5)表示一个母线平行于,z,轴柱面,曲线,C,一定在柱面上,.,x,y,z,o,o,C,空间曲线 C,在,x O y,面上,曲线,必定包含于:,投影,H,(,x,y,)=0,z,=0,第7页,注:,同理可得曲线在,yOz,面或,xOz,面上投影曲线方程.,第8页,例7:,已知两个球面方程分别为:,x,2,+,y,2,+,z,2,=1,和,x,2,+(,y,1),2,+(,z,1),2,=1 求它们交线,C,在,xOy,面上投影曲线方程.,解:,联立两个方程消去,z,得,两球面交线,C,在,x O y,面上投影曲线方程为,椭圆柱面,第9页,设一个立体由上半球面和锥面,所围成,求它在,xoy,面上投影.,解:,半球面与锥面交线为,由方程消去,z,得,x,2,+,y,2,=1,y,x,z,O,x,2,+,y,2,1,于是交线,C,在,xoy,面上投影曲线为,x,2,+,y,2,=1,z,=0,这是,xoy,面上一个圆.,所以,所求立体在,xoy,面上投影为:,x,2,+,y,2,1,例8:,圆柱面),(,第10页,研究方法,是采取,平面截痕法.,6 二次,曲面标准方程,1.定义,由,x,y,z,二次方程,:,ax,2,+,by,2,+,cz,2,+,dxy,+,exz,+,fyz,+,gx,+,hy,+,iz,+,j,=0,所表示曲面,称为,二次曲面,.,其中,a,b,i,j,为常数且,a,b,不全为零.,c,d,e,f,第11页,z,o,x,y,O,2,用平面,z,=,k,去截割(要求|,k,|,c,),得椭圆,当|,k,|,c,时,|,k,|,越大,椭圆越小;,当|,k,|=,c,时,椭圆退缩成点.,2.几个常见二次曲面.,(1)椭球面,1,用平面,z,=0,去截割,得椭圆,第12页,3,类似地,依次用平面,x,=0,平面,y,=0,截割,得椭圆:,尤其:,当,a=b=c,时,方程,x,2,+,y,2,+,z,2,=,a,2,表示球心在原点,o,半径为,a,球面,.,第13页,(2)椭圆抛物面:,1平面,z=k,(,k,0),截割,截线是平面,z=k,上椭圆.,k,=0时,为一点,O,(0,0,0);,伴随,k,增大,椭圆也增大.,z,y,x,o,2,用平面,y,=,k,去截割,截线是抛物线,第14页,3,类似地，用平面,x=k,去截割,截线是抛物线.,第15页,第16页,一、二阶行列式概念,设有数表,a,11,称,数,a,11,a,22,a,12,a,21,为对应于数表(1)二阶行列式，记为：,(1),副对角线,主对角线,1.定义1,a,12,a,21,a,22,(),(),1 n 阶行列式定义,第17页,当,a,11,a,22,a,12,a,21,0,时，,得唯一解,对于,a,11x,1,+,a,12,x,2,=,b,1,a,21,x,1,+,a,22,x,2,=,b,2,(1),2、二元一次 方程组求解公式,第18页,记,方程组(1)解能够表示为：,克莱姆(Gramer),法则,(2),a,11,x,1,+,a,12,x,2,=,b,1,a,21,x,1,+,a,22,x,2,=,b,2,第19页,引进记号：,(+),(+),(+),(),(),(),称为对应于数表(3)三阶行列式,二、三阶行列式,1.定义2,设有数表,(3),主对角线,副对角线,第20页,例 如：,第21页,易证：,对于线性方程组,(4),当,第22页,方程组有唯一解，记,则方程组(4)解为：,克莱姆,法则,第23页,三、排列与逆序数,由自然数1,2,n,组成一个有序数组,i,1,i,2,i,n,称为一个,n,级排列。,比如，由1，2，3可组成三级排列共有3!6个，它们是,n,级排列总数为,n,!,个。,定义3,3 2 1;,1 2 3;,1 3 2;,2 1 3;,2 3 1;,3 1 2;,第24页,一个排列中，若较大数,i,s,排在较小数,i,t,前面(,i,s,i,t,),时，称这一对数,i,s,i,t,组成一个,逆序,。,一个排列中逆序总数，称为它,逆序数,。记为,(,i,1,i,2,i,n,)，,简记为,。,1 3 2,(1 2 3)=0,(3 1 2)=2,(4 5 2 1 3)=7,比如：,2 1 3,3 1 2,第25页,(3)逆序数为偶数排列称为,偶排列,逆序数为奇数排列称为,奇排列,(4)将一个排列中两个位置上数交换，而其余不动，则称对该排列作了一次,对换,。,6,5,3 1,2,4,6,2,3 1,5,4,(=11),(=8),1,2,3,4,1,4,3,2,比如：,(=0),(=3),第26页,定理 1 每一个对换改变排列奇偶性,结论：在,n,(,2,),级排列中，奇偶排列各有个。,第27页,四、n,阶行列式定义,分析：,=0,=2,=2,=3,=1,=1,第28页,类似地：,第29页,n,阶行列式,定义4,第30页,例1,计算以下,n,阶行列式,0,0,0,第31页,0,第32页,0,第33页,行排列,列排列,2 1 3,(,=1,),1 3 2,(,=1,),(,=0,),1 2 3,(,=2,),3 1 2,考查：,第34页,定理2,n,阶行列式定义也可写成,推论：,第35页,例2：,选择,i,和,k,，,使,成为5阶行列式中一个带负号项,解:,其列标所组成排列为：,i,5 2,k,3,若取,i,=1，,k,4，,故,i,=4，,k,=1,时该项带负号。,可将给定项改为行标按自然次序，即,则,(1 5 2 4 3)=4，,是,偶排列,，,该项则带正号，,对换1，4位置，,则,4,5 2,1,3是,奇排列,。,第36页,一、行列式性质,性质1：,将行列式行、列交换，行列式值不变,即：,D,=,D,T,行列式,D,T,称为行列式,D,转置行列式,。,2 行列式性质,则,第37页,证：,显然有,b,ij,=,a,ji,(,i,j,=1,2,;,n,),则,设行列式,D,T,中位于第,i,行，第,j,列元素为,b,ij,第38页,性质2,交换行列式两行(列)，行列式仅改变符号,则,D,=,M,第39页,证：,在,M,中第,p,行元素,第,q,行元素,=D,第40页,推论1：,若行列式中有两行(列)对应元素相同，则行列式为零。,证实:,交换行列式这两行，有,D,=,D,，,故,D,=0,第41页,性质3,若行列式某一行(,列)全部元素都乘以数,k,，,等于该行列式乘以数,k,，,即：,第42页,证实：,推论2：,若行列式中某行(列)全为零，则行列式为零。,推论3：,若行列式中有两行(列)对应元素成百分比，则该行列式为零。,第43页,性质4,若行列式中某一行(列)各元素都是两个数和，则该行列式等于两个行列式和。,即:,第44页,证实：,+,第45页,性质5,把行列式某一行(列)各元素乘以数,k,后加到另一行(列)对应元素上去，行列式值不变。,即：,第46页,用,r,i,表示,D,第,i,行,c,j,表示,D,第,j,列,r,i,r,j,表示交换,i、j,两行,r,i,k,表示第,i,行乘以,k,r,i,+,k,r,j,表示第,j,行乘以,k,加到第,i,行,r,i,k,表示第,i,行提出公因子,k,记号：,第47页,例1,计算行列式,解：,第48页,例2,计算行列式,解：,D,c,1,c,2,r,2,r,1,第49页,r,4,5,r,1,r,2,r,3,r,3,+4,r,2,r,4,8,r,2,第50页,例3：,计算,解,：,x,+,x,x,+,x,x,+,x,第51页,第52页,在,n,阶行列式,余下元素按原来次序组成一个,n,1,阶行列式，,称为元素,a,ij,余子式,，记作,M,ij,，,中，划去元素,a,ij,所在行和列，,(1),i+j,称为,a,ij,代数余子式,，记作,余子式带上符号,3行列式按行(列)展开 与克莱姆法则,1.定义1,一.拉普拉斯展开定理,第53页,比如：,在四阶行列式,中，,a,23,余子式,M,23,和代数余子式,A,23,，,分别为：,第54页,考查三阶行列式,其中：,A,11,A,12,，,A,13,分别为,a,11,a,12,a,13,代数余子式.,三阶行列式可用其二级子式线性组合表示。,第55页,考查三阶行列式,其中：,A,11,A,12,，,A,13,分别为,a,11,a,12,a,13,代数余子式.,三阶行列式可用其二级子式线性组合表示。,第56页,再考查二阶行列式,二阶行列式也可由其子,式组合表示,.,第57页,例3.,计算三阶行列式,解,：,D,第58页,还可看出,+0,=84,12,=72,=,D,+36,=,24,+60,=72,=,D,第59页,+84,=,12,24,=72,=,D.,以及,第60页,定理1,(,Laplace,展开定理,)行列式等于它任一行(列)各元素与其对应代数余子式乘积之和。,或,即：,第61页,证实步骤：,证,第62页,证,第63页,第64页,解：,r,2,r,1,r,4,+5,r,1,按,c,2,展开,r,1,+4,r,2,r,3,8,r,2,例4,用Laplace,展开定理求例2,2,第65页,按,c,1,展开,第66页,例5,证实四阶范德蒙行列式,第67页,证：,D,4,r,4,x,1,r,3r,3,x,1,r,2,r,2,x,1,r,1,按,c,1,展开,第68页,r,3,x,2,r,2,r,2,x,2,r,1,按,c,1,展开,第69页,推论：,n,阶范德蒙(Vandermonde)行列式,第70页,定理2,行列式任一行(列)各元素与另一行(列)对应元素代数余子式乘积之和等于零。,或,即：,第71页,综合定理1和定理2，得：,或,第72页,定理3,(,克莱姆法则,),(1),系数行列式,设线性方程组,二.克莱姆法则,第73页,其中,D,i,(,i,=1,2,n,)是用常数项,b,1,b,2,;,b,n,代替,D,中第,i,列各元素而得到,n,阶行列式，即：,(2),则方程组(1)有,唯一解,，且解可表示为：,(,i,=1,2,n,),第74页,例3,解线性方程组,解：,方程组系数行列式,所以方程组有唯一解。,第75页,又：,第76页,所以：,D,=6,D,1,18,D,2,=0,D,3,=6,D,4,=6,第77页,注：,在方程组(4.1)中，若全部常数项,b,1,=,b,2,=,b,n,=0，,则方程组称为,n,元齐次线性方程组,。,(3),显然有,零解,x,1,=,x,2,=,x,n,=0,第78页,结论1：,若齐次线性方程组(3)系数行列式,D,0，,则方程组只有零解。,平凡解,结论2：,若齐次线性方程组(3)有非零解，则系数行列式,D,=0。,非平凡解,第79页,