平面并联机器人的运动学和动力学研究.doc

平面2自由度并联机器人运动学
和动力学研究
林协源1 刘冠峰1
（1.广东工业大学 广州 ）

摘要: 本文面向高速高精LED电子封装设备设计了一个高速高精2自由度平面并联机构（2-PPa并联机器人）。该机构由一个动平台和两个对称分布完全相同支链组成, 每个支链中都有一个移动副(驱动关节)和一个由平面平行四边形组成特殊转动动副。首先推导出该机器人运动学模型包含正反解; 其次结合焊线机实际工艺要求提出多项机构性能指标对该机构几何参数进行多目标优化; 然后基于Euler-Lagrange方程建立该机器人动力学方程, 最终经过算例分析两个移动副在动平台根据一定轨迹运动时其速度、 加速度和驱动力改变规律。这些为接下来研究该机器人动态性能和系统解耦控制等都含相关键意义。
关键词: 2自由度 平面并联机器人 运动学 动力学

Kinematic and Dynamic Analysis of a Planar Two-degree-freedom Parallel Manipulator
LIN Xieyuan1 LIU Guanfeng1
（1.Guangdong University of Technology Guangzhou ）

Abstract: In this paper, a type of planar 2-DOF parallel manipulator is proposed for uses in design of high- speed and high-accuracy LED packaging machines. The manipulator consists of a moving platform and two identical subchains. Each subchain is made of a prismatic joint (actuator) and a parallelogram with four passive revolute joints. We first derive the kinematic model of the manipulator. Then, we determine the optimal geometric parameters of the manipulator by solving a multi-goal optimization problem based on performance indices. We compute the dynamic equation use Euler-Lagrange formulation and use it to analyze the relationship between velocity, acceleration and driving torque of joints. This analysis is important for further study of the dynamic performance and the decoupling control methods for the manipulator.
Key words: 2-DOF Planar parallel manipulator Kinematics Dynamics

0 序言
在电子、 包装和食品等轻工业场所中, 机器人只需要3到4个自由度即可满足使用要求。串联机器人因为本身含有较大质量和惯性, 极难应用到需要高速高负载能力场所。并联机器人很好填补了串联机器人这方面不足。所以, 多年来少自由度并联机器人研究相当热门。其中3自由度并联机器人研究已是相当深入[1-4]。在Z方向只需要较小操作位移时, 末端搭载一个1或2自由度串联机构2自由度并联机器人相对应3或4自由度并联机器人会显得愈加经济适用。
清华大学曽提出过两种平面2-DOF并联机器人: 一个是PRRRP（P表示移动副, R表示转动副）并联机器人, 其中两移动副运动方向平行, 且机器人末端姿态是可变[5]; 一个是2-PPa（Pa表示平行四边形机构）并联机器人, 一样, 该机器人移动副运动方向也平行, 不过其末端姿态不可变[6]。文章[6]中并联机器人最终应用在了立式机床上。一样2-PPa并联机器人, 上海交通大学将其应用在高速高精度场所#。移动副运动方向平行机器人在移动副移动方向上有很好运动性能, 但在平面内垂直移动副运动方向方向上其运动性能便差了些, 通常是经过增加两移动副间距离来改善。
为了填补两移动副平行2-PPa并联机器人在某一方向上相对较差运动性能不足, 本文提出了一个两移动副运动方向正交2-PPa并联机器人, 如图1所表示。图中正方形表示末端动平台, 边长为2a; 两个长方形表示移动副（即滑块）, 分别用q1和q2表示; 圆圈表示转动副; 连接滑块和动平台是两平行连杆, 长为l。图中ωi ,μi分别为连杆和电机驱动单位方向矢量。

图1 平面2-DOF并联机器人实际构型
本文将从以下几方面展开: 推导出该机器人运动学模型, 并确定机器人结构尺寸; 基于Euler-Lagrange方程建立该机器人动力学方程; 最终经过仿真观察动平台根据一定轨迹和速度曲线运动时, 两个滑块速度、 加速度和受到作用改变情况。

1 运动学分析与参数确定
1.1 运动学分析
（1）求机器人反解。依据图1, 可得封闭矢量关系:

等式两边取摸, 可得:

由上式, 可得其位置逆解方程以下:
（1）
其中, 对于图1中, “±”号取“+”号。
（2）求机器人正解。依据（1）式, 可解得其运动学正解以下:
（2） （3）
因为压力角和实际工作原因, 取式（3）为其正解。
（3）求机器人Jacobian矩阵。依据式（3）分别对Q1和Q2求偏导, 可得其Jacobian矩阵:
（4）
式中, 。
1.2 机构参数优化设计
（1）机构性能指标
首先是局部条件系数（local conditioning index LCI）, 其取值范围为[0,1]。当动平台在某位置LCI为1时表示机器人在该位置位形各向同性, 灵巧性最好和控制精度最高[7, 8]。依据LCI定义, 其中分别表示J最小和最大奇异值。

图2 l=121、 a=80和工作空间为100*100相关原点中心对称时时, 工作空间内各点灵巧度分布图
由上图可知, 动平台在要求工作空间里, 在越靠近y=-x直线区域, 机器人灵巧性和控制精度等越好; 反之, 越差。 其次是全局条件系数（global conditioning index GCI）, 是将LCI推广到整个工作空间内, 可衡量机器人在整个工作空间内灵巧性和控制精度等[9, 10]。可依据下式:

其中W表示机器人工作空间;
。
最终是全局速度系数(global velocity index GVI), 其值越大越好。由机器人速度模型可得:

其中为单位输入速度。
故, 由上式可得: 和, 其中为矩阵特征值。将最大和最小输出速度定义为局部速度系数（local velocity index LVI）, 在这基础上, 经过下式定义全局速度指数（global velocity index GVI）

其中W为机器人工作空间。
（2）依据动平台需求确定机构参数范围。
依据动平台实际运动需求, 给定动平台工作空间为相关图1中原点中心对称边长2a正方形所围面积, 即X和Y方向范围都是[-a,a]。取工作空间为正方形, 可由局部条件系数说明中看出。
由式（3）可得:

依据机器人结构对称性, 可得:
（5）
将式（7）代入式（1）, 再结合机器人机构对称性, 可得:

（3） 优化机器人机构参数
优化方程与约束条件以下所表示:

目标函数中, 第一项是为了得到机器人很好结构百分比, 以后两项是为了避免动平台取值太过靠近边界。
相关l约束是为了确保机器人工作空间在x和y方向上都包含[-50,50], 同时避免杆长过长。
和是为了让机器人在整个工作空间内尽可能满足高速高精性能要求。
和为加权系数, 在此分别去为0.3、 0.4和0.3。
解上述方程可知其取整后最优解为: f=-1.0251, 此时l=160mm a=85mm。以下图所表示。

图3 a、 l与f关系图
1.3 机器人模型
依据给定尺寸, 设计机器人以下图所表示。

图4 机器人示意图
2 动力学
因为该机器人是在平面内工作, 能够不考虑重力原因, 故其关节空间Euler-Lagrange动力学方程为:

其中矩阵表示机器人惯性矩阵, 可经过计算整个机器人动能取得;
矩阵表示离心力和哥氏力矩阵, 其中cijk（i, j, k=1,2）是第一类Christoffel symbols[11], 可经过下式计算得到,
;
向量表示滑块受到作用力。
3 PD与解耦控制
4 总结
（1）2-PPa并联机器人末端运动空间为100mm*100mm, 连杆长度l=160mm, 量滑块有效行程为108mm, 两滑块X和Y轴上起点都为距离原点182mm处。
（2） 该机器人末端平台运动需要两个移动副耦合生成。
（3） 移动副所受作用仿真为直线电机选型提供了理论依据。
在本文中, 经过实际设计要求和运动性能指标, 确定了机构尺寸参数, 并完成了机器人设计; 完成了机器人Euler-Lagrange动力学模型推导; 最终给定机器人一定结构参数和设定动平台速度曲线, 观察两个滑块速度、 加速度和受力曲线。以上这些为接下来研究该机器人动态性能和系统解耦控制等都含相关键意义。
接下来研究关键是对整个机器人进行CAE分析, 分析其模态及在运动过程中形变等, 进而优化机器人参数, 然后加工制造出样机, 并在样机上进行解耦控制等研究。
参考文件:
[1]. Chablat, D. and P. Wenger. Architecture optimization of a 3-DOF translational parallel mechanism for machining applications, the orthoglide. .
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[8]. Lopez-Cajun, J.A.C. The dexterity index of serial-type robotic manipulators. 1988: ASME Trends and Developments in Mechanism, Machines and Robotics.
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[10]. Merlet, J.P., ed. Parallel Robots. , Springer. 394.
[11]. Mark W. Spong, S.H.M.V., ed. Robot Modeling and Control. , Wiley. 496.

作者介绍: 林协源, 男, 1989年出生, 硕士。关键研究方向为并联机器人。
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刘冠峰(通信作者), 男, 1955年出生, 博士, 教授, 博士硕士导师。关键研究方向为机器人操作理论、 算法和应用, 机器人控制系统设计, 机器人3D仿真, 工业机器人产业化。
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