高中数学选修1211回归的基本思想及其初步应用汇编.pptx

第一章第一章 统计案例统计案例什么是回归分析：什么是回归分析：“回归回归”一词是由英国生物学家一词是由英国生物学家F.Galton在研究人体身高的遗传问题时首先提在研究人体身高的遗传问题时首先提出的。出的。根据遗传学的观点，子辈的身高受父辈影响，以根据遗传学的观点，子辈的身高受父辈影响，以X记父辈身高，记父辈身高，Y记子辈身高。记子辈身高。虽然子辈身高一般受父辈影响，但同样身高的父亲，其子身高并不一致，因此，虽然子辈身高一般受父辈影响，但同样身高的父亲，其子身高并不一致，因此，X和和Y之间存在一种相关关系。之间存在一种相关关系。一般而言，父辈身高者，其子辈身高也高，依此推论，祖祖辈辈遗传下来，一般而言，父辈身高者，其子辈身高也高，依此推论，祖祖辈辈遗传下来，身高必然向两极分化，而事实上并非如此，显然有一种力量将身高拉向中心，身高必然向两极分化，而事实上并非如此，显然有一种力量将身高拉向中心，即子辈的身高有向中心回归的特点。即子辈的身高有向中心回归的特点。“回归回归”一词即源于此。一词即源于此。虽然这种向中心回归的现象只是特定领域里的结论，并不具有普遍性，但从虽然这种向中心回归的现象只是特定领域里的结论，并不具有普遍性，但从它所描述的关于它所描述的关于X为自变量，为自变量，Y为不确定的因变量这种变量间的关系看，和我们为不确定的因变量这种变量间的关系看，和我们现在的回归含义是相同的。现在的回归含义是相同的。不过，现代回归分析虽然沿用了不过，现代回归分析虽然沿用了“回归回归”一词，但内容已有很大变化，它是一一词，但内容已有很大变化，它是一种应用于许多领域的广泛的分析研究方法，在经济理论研究和实证研究中也发种应用于许多领域的广泛的分析研究方法，在经济理论研究和实证研究中也发挥着重要作用。挥着重要作用。问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间 的函数关系是y=xy=x2 2确定性关系问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否 -有一个确定性的关系？例如：在 7 块并排、形状大小相同的试验田上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455复习:变量之间的两种关系自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。1、定义：1）：相关关系是一种不确定性关系；注对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。2）：例例1 从某大学中随机选取从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。所示。编号12345678身高/cm165165 157 170 175 165 155 170体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。的女大学生的体重。案例1：女大学生的身高与体重解：解：1、选取身高为自变量、选取身高为自变量x，体重为因变量，体重为因变量y，作散点图：，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。刻画它们之间的关系。3、从散点图还看到，样本点散布在某一条从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数不能用一次函数y=bx+a描述它们关系描述它们关系。我们可以用下面的我们可以用下面的线性回归模型线性回归模型来表示：来表示：y=bx+a+e，其中，其中a和和b为模型的未知参数，为模型的未知参数，e称为随机误差称为随机误差。思考P3产生随机误差项e的原因是什么？思考产生随机误差项e的原因是什么？随机误差e的来源(可以推广到一般）：1、其它因素的影响：影响体重y 的因素不只是身高 x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；3、身高 x 的观测误差。函数模型与回归模型之间的差别函数模型：回归模型：可以提供选择模型的准则例例1 从某大学中随机选取从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。所示。5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。的女大学生的体重。根据最小二乘法估计根据最小二乘法估计 和和 就是未知参数就是未知参数a和和b的最好估计，的最好估计，所以回归方程是例例1 从某大学中随机选取从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。所示。5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。的女大学生的体重。所以回归方程是所以，对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为例例1 从某大学中随机选取从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。所示。5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。的女大学生的体重。探究探究P4：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？探究探究P4：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右。60.136kg不是每个身高为172cm的女大学生的体重的预测值，而是所有身高为172cm的女大学生平均平均体重的预测值体重的预测值。函数模型与回归模型之间的差别函数模型与回归模型之间的差别函数模型：回归模型：线性回归模型线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项增加了随机误差项e，因变量，因变量y的值的值由自变量由自变量x和随机误差项和随机误差项e共同确定，即共同确定，即自变量自变量x只能解析部分只能解析部分y的变化的变化。在统计中，我们也把在统计中，我们也把自变量自变量x称为解释变量称为解释变量，因变量因变量y称为预称为预报变量报变量。对回归模型进行统计检验 假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图中所有的点将完全落在回归直线上。但的影响，那么散点图中所有的点将完全落在回归直线上。但是，在图中，数据点并没有完全落在回归直线上。是，在图中，数据点并没有完全落在回归直线上。这些点散这些点散布在回归直线附近，所以一定是随机误差把这些点从回归直布在回归直线附近，所以一定是随机误差把这些点从回归直线上线上“推推”开了开了。因此，数据点和它在回归直线上相应位置的差异 是随机误差的效应，称 为残差。例如，编号为例如，编号为6的女大学生，计算随机误差的效应（残差）为：的女大学生，计算随机误差的效应（残差）为：编号编号12345678身高身高/cm165165157170175165155170体重体重/kg4857505464614359残差残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382编号编号12345678身高身高/cm165165157170175165155170体重体重/kg4857505464614359残差残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382 我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图残差图。表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。使用公式 计算残差残差图的制作及作用。坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；横轴为心的带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意对于远离横轴的点，要特别注意。身高与体重残差图 错误数据 模型问题 几点说明：第1个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。异常点我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是 显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。在线性回归模型中，R2表示解析变量对预报变量变化的贡献率。R2 越接近1，表示回归的效果越好（因为R2越接近1，表示解析变量和预报变量的线性相关性越强）。一般地，建立回归模型的基本步骤为：一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量解析变量，哪个变量是预报变量预报变量。（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系线性关系等）。（3）由经验确定回归方程的类型确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=bx+a）.（4）按一定规则估计回归方程中的参数估计回归方程中的参数（如最小二乘法最小二乘法）。（5）得出结果后分析残差图分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。例:某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表所示数据:广告费用广告费用X（万元）（万元）1416182022销售额销售额y (万元万元)1210753求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏例:某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表所示数据:广告费用广告费用X（万元）（万元）1416182022销售额销售额y (万元万元)1210753求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏作业：练习：练习：a.比数学3中“回归”增加的内容数学统计1.画散点图画散点图2.了解最小二乘法了解最小二乘法的思想的思想3.求回归直线方程求回归直线方程ybxa4.用回归直线方程用回归直线方程解决应用问题解决应用问题选修-统计案例5.引入线性回归模型引入线性回归模型ybxae6.了解模型中随机误差项了解模型中随机误差项e产产生的原因生的原因7.了解相关指数了解相关指数 R2 和模型拟和模型拟合的效果之间的关系合的效果之间的关系8.了解残差图的作用了解残差图的作用9.利用线性回归模型解决一类利用线性回归模型解决一类非线性回归问题非线性回归问题10.正确理解分析方法与结果正确理解分析方法与结果