高中数学线性规划知识复习.doc

高中必修5线性计划
最快方法

简单线性计划问题
一、 知识梳理
1. 目标函数: Ｐ ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变 量 ｘ 和ｙ 函数, 称为目标函数．
2.可行域:约束条件所表示平面区域称为可行域.
3. 整点:坐标为整数点叫做整点．
4.线性计划问题:求线性目标函数在线性约束条件下最大值或最小值问题, 通常称为线性计划问题．只含有两个变量简单线性计划问题可用图解法来处理．
5. 整数线性计划:要求量取整数线性计划称为整数线性计划．
二、 疑难知识导析
线性计划是一门研究怎样使用最少人力、 物力和财力去最优地完成科学研究、 工业设计、 经济管理中实际问题专门学科.关键在以下两类问题中得到应用: 一是在人力、 物力、 财务等资源一定条件下, 怎样使用它们来完成最多任务; 二是给一项任务, 怎样合理安排和计划, 能以最少人力、 物力、 资金等资源来完成该项任务.
1.对于不含边界区域, 要将边界画成虚线．
2.确定二元一次不等式所表示平面区域有多个方法, 常见一个方法是“选点法”: 任选一个不在直线上点, 检验它坐标是否满足所给不等式, 若适合, 则该点所在一侧即为不等式所表示平面区域; 不然, 直线另一侧为所求平面区域．若 直 线 不 过 原点, 通 常 选 择 原 点 代入检验．
3. 平 移 直 线 ｙ＝－kｘ ＋Ｐ时, 直线必需经过可行域．
4对于有实际背景线性计划问题, 可行域通常是位于第一象限内一个凸多边形区域, 此时变动直线最好位置通常经过这个凸多边形顶点．
5.简单线性计划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下最优解, 不管这类题目是以什么实际问题提出, 其求解格式与步骤是不变: （1）寻求线性约束条件, 线性目标函数; （2）由二元一次不等式表示平面区域做出可行域; （3）在可行域内求目标函数最优解.

积储知识:
一． 1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上, 则点P坐标适合方程, 即Ax0+By0+C=0
2. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）, 则当B>0时, Ax0+By0+C>0;当B<0时, Ax0+By0+C<0
3. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）, 当B>0时, Ax0+By0+C<0;当B<0时, Ax0+By0+C>0
注意: （1）在直线Ax+By+C=0同一侧全部点, 把它坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数符号都相同,
（2）在直线Ax+By+C=0两侧两点, 把它坐标代入Ax+By+C,所得到实数符号相反,
即: 1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0同侧, 则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)>0
2.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0两侧, 则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)<0
二.二元一次不等式表示平面区域:
①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧全部点组成平面区域. 不包含边界;
②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧全部点组成平面区域且包含边界;
注意: 作图时,不包含边界画成虚线;包含边界画成实线.
三、 判定二元一次不等式表示哪一侧平面区域方法:
方法一:取特殊点检验; “直线定界、 特殊点定域
原因:因为对在直线Ax+By+C=0同一侧全部点(x,y),把它坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到实数符号都相同,所以只需在此直线某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C正负即可判定Ax+By+C>0表示直线哪一侧平面区域.特殊地, 当C≠0时, 常把原点作为特殊点, 当C=0时, 可用（0, 1）或（1, 0）当特殊点, 若点坐标代入适合不等式则此点所在区域为需画区域, 不然是另一侧区域为需画区域。
方法二: 利用规律:
1.Ax+By+C>0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）,
当B<0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）;
2.Ax+By+C<0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）
当B<0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）。
四、 线性计划相关概念:
①线性约束条件: ②线性目标函数:
③线性计划问题: ④可行解、 可行域和最优解:
经典例题一--------画区域
1. 用不等式表示以, , 为顶点三角形内部平面区域．
分析: 首先要将三点中任意两点所确定直线方程写出, 然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。
解: 直线斜率为: , 其方程为．
可求得直线方程为．直线方程为．
内部在不等式所表示平面区域内, 同时在不等式所表示平面区域内, 同时又在不等式所表示平面区域内（如图）．
所以已知三角形内部平面区域可由不等式组表示．
说明: 用不等式组能够用来平面内一定区域, 注意三角形区域内部不包含边界线．
2 画出表示区域, 并求全部正整数解．
解: 原不等式等价于而求正整数解则意味着, 还有限制条件, 即求．
依据二元一次不等式表示平面区域,
知表示区域以下图:
对于正整数解, 轻易求
得, 在其区域内整数解为
、 、 、 、 ．
3设, , ; , , , 用图表示出点范围．
分析: 题目中, 与, , 是线性关系．
可借助于, , 范围确定范围．
解: 由得
由, , 得画出不等式组所表示平面区域如图所表示．
说明: 题目条件隐蔽, 应考虑到已经有, , 取值范围．借助于三元一次方程组分别求出, , , 从而求出, 所满足不等式组找出范围．
4、 已知x,y,a,b满足条件: ,2x+y+a=6,x+2y+b=6
（1）试画出（）存在范围; （2）求最大值。
经典例题二------画区域, 求面积
例3 求不等式组所表示平面区域面积．
分析: 关键是能够将不等式组所表示平面区域作出来, 判定其形状进而求出其面积．而要将平面区域作出来关键又是能够对不等式组中两个不等式进行化简和变形, 怎样变形？需对绝对值加以讨论．
解: 不等式可化为或;
不等式可化为或．
在平面直角坐标系内作出四条射线:
, ,
则不等式组所表示平面区域如图, 因为与、 与相互垂直, 所以平面区域是一个矩形．
0
A
B
C
（图1）
依据两条平行线之间距离公式可得矩形两条边长度分别为和．所以其面积为．
经典例题三------求最值
一、 与直线截距相关最值问题
1.如图1所表示, 已知中三顶点,
点在内部及边界运动, 请你探究并讨论以下问题:
①在 点A 处有最大值 6 , 在边界BC处有最小值 1 ;
②在 点C 处有最大值 1 , 在 点B 处有最小值
0
A
B
C
（ 图2 ）
0
A
B
C

2若、 满足条件求最大值和最小值．
分析: 画出可行域, 平移直线找最优解．
解: 作出约束条件所表示平面区域, 即可行域, 如图所表示．
作直线, 即, 它表示斜率为, 纵截距为平行直线系, 当它在可行域内滑动时, 由图可知, 直线过点A时, 取得最大值, 当过点时, 取得最小值．
∴　 ∴　
注: 可化为表示与直线平行一组平行线, 其中为截距, 尤其注意: 斜率范围及截距符号。即注意平移直线倾斜度和平移方向。
变式: 设x,y满足约束条件

分别求: (1)z=6x10y, (2)z=2x-y,(3)z=2x-y, 最大值, 最小值。
二、 与直线斜率相关最值问题
表示定点P（x0,y0)与可行域内动点M(x,y)连线斜率.
例2　设实数满足, 则最大值是__________．
解析: 画出不等式组所确定三角形区域ABC, 表示两点确定直线斜率, 要求z最大值, 即求可行域内点与原点连线斜率最大值．
0
A
B
C
（图1）
能够看出直线OP斜率最大, 故P为与交点,
即A点．∴．故答案为．
3.如图1所表示, 已知中三顶点,
点在内部及边界运动, 请你探究并讨论以下问题:
若目标函数是或, 你知道其几何意义吗？你能否借助其几何意义求得和？
三、 与距离相关最值问题
（配方）结构表示定点Q （x0,y0)到可行域内动点N(x,y)距离平方或距离。
1.已知, ．求最大、 最小值．
分析: 令, 目标函数是非线性．而可看做区域内点到原点距离平方．问题转化为点到直线距离问题．
解: 由得可行域(如图所表示)为, 而到, 距离分别为和． 所以最大、 最小值分别是50和．
2.已知求最小值
解析: 作出可行域如图3, 并求出顶点坐标A（1, 3）、 B（3, 1）、 C（7, 9）．而表示可行域内任一点（x, y）到定点M（0, 5）距离平方, 过M作直线AC垂线, 易知垂足Ｎ在线段上, 故z最小值是．
练习: 1..给出平面区域如右图所表示, 若使目标函数z=ax+y (a > 0 )取得最大值最优解有没有穷多个, 则a值为（B ）
A. B. C.4 D.
2、 在坐标平面上, 不等式组所表示平面区域面积为
3.三角形三边所在直线分别为x-y+5=0, x+y=0, x-3=0, 求表示三角形内部区域不等式组.

4.．已知, 求最大值为 。